Spazi affini, rette e piani

Lezioni 39 e 40 (videolezioni n. 39–40). Prerequisiti: Sottospazi vettorialiUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali →, Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →, Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →. Seguito: Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →, Fasci di pianiI piani che contengono una retta r = {f₁ = 0, f₂ = 0} sono tutti e soli i piani λf₁ + μf₂ = 0, con (λ, μ) ≠ (0, 0): è il fascio di piani di asse r. Serve a trovare in un colpo il piano per r che passa per un punto, è parallelo a una direzione o è ortogonale a un altro piano. Varianti: fascio di piani paralleli, stella di piani per un punto.Fasci di piani →, Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →. Esercizi: Esercizio 104 · rette sghembe e perpendicolare comune (appello 17/6/2025), Esercizio 108 · un sottospazio affine di A4 (appello 1/2/2022).

Punti e vettori

In $\mathbb{R}^3$ una terna $(1, 2, 0)$ può indicare due cose diverse: una posizione (un punto dello spazio) oppure uno spostamento (una freccia, che si può applicare in qualunque punto). Finora, negli spazi vettoriali, c'era solo il secondo significato, e c'era un punto privilegiato, l'origine $\vec 0$: un sottospazio vettoriale deve passare per l'origine. La retta $y = x + 1$ del piano non è un sottospazio vettoriale, eppure è un oggetto geometrico del tutto ragionevole. Lo spazio affine serve a trattare anche questi oggetti.

Definizione. Lo spazio affine reale $n$-dimensionale $\mathbb{A}^n = \mathbb{A}^n_{\mathbb{R}}$ è l'insieme $\mathbb{R}^n$ i cui elementi si chiamano punti, insieme allo spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ e alle due operazioni:

• punto più vettore: $P + v$ è il punto ottenuto spostando $P$ del vettore $v$ (componente per componente);
• punto meno punto: $Q - P$ è l'unico vettore $v$ tale che $P + v = Q$, cioè il vettore che va da $P$ a $Q$, scritto anche $\overrightarrow{PQ}$.

Proprietà: $(P + v) + w = P + (v + w)$; $P + \vec 0 = P$; $(Q - P) + (R - Q) = R - P$ (andare da $P$ a $Q$ e poi da $Q$ a $R$ equivale ad andare da $P$ a $R$).

Esempio. $P = (1, 2, 0)$, $Q = (4, 0, 1)$: $\overrightarrow{PQ} = Q - P = (4 - 1, \ 0 - 2, \ 1 - 0) = (3, -2, 1)$ e infatti $P + (3, -2, 1) = (1 + 3, \ 2 - 2, \ 0 + 1) = (4, 0, 1) = Q$. È lo stesso vettore "spostamento" usato in fisica per la posizione relativa di due punti (Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →, Fisica Generale 1).

Che cosa non ha senso. Sommare due punti ($P + Q$ dipende dalla scelta dell'origine: spostando l'origine il risultato cambia). Ha senso invece il punto medio

$$M = P + \tfrac12 (Q - P) = \frac{P + Q}{2},$$

perché è una combinazione con coefficienti di somma $1$. Il motivo: se si sposta l'origine di un vettore $c$, ogni punto $P$ diventa $P - c$, e $\frac12(P - c) + \frac12(Q - c) = \frac{P + Q}{2} - c$, cioè il punto medio si sposta insieme a tutti gli altri punti; con $P + Q$ invece si otterrebbe $(P + Q) - 2c$, un punto diverso. Esempio: il punto medio di $P = (1, 2, 0)$ e $Q = (4, 0, 1)$ è $\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}\right) = \left(\frac52, 1, \frac12\right)$.

Sottospazi affini

Definizione. Un sottospazio affine di $\mathbb{A}^n$ è un insieme della forma $$L = P + W = \{ P + w : w \in W \},$$ con $P$ un punto e $W$ un sottospazio vettorialeUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali → di $\mathbb{R}^n$, detto spazio direttore (o giacitura) di $L$. La dimensione di $L$ è $\dim W$ (la DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione → dello spazio vettoriale $W$, cioè il numero di vettori di una sua base).

Esempio. In $\mathbb{A}^2$ la retta $L = (1,0) + \langle (1,1) \rangle = \{(1 + t, t)\}$ ha spazio direttore $\langle (1,1) \rangle$ e dimensione $1$. Le sue coordinate soddisfano $x - y = 1$, cioè $y = x - 1$: è la retta per l'origine $W: y = x$ traslata del vettore $P = (1, 0)$. Non passa per l'origine ($0 - 0 \ne 1$), quindi non è un sottospazio vettoriale.

In $\mathbb{A}^2$ gli iperpiani sono le rette, in $\mathbb{A}^3$ sono i piani.

Fatti fondamentali.

• Il punto base si può cambiare: se $Q \in L$ allora $L = Q + W$. (Se $Q = P + w_0$, ogni punto $P + w$ si riscrive $Q + (w - w_0)$, e $w - w_0 \in W$.)
• Lo spazio direttore è determinato da $L$: $W = \{ Q - Q' : Q, Q' \in L \}$, l'insieme dei vettori che congiungono due punti di $L$. (Se $Q = P + w$ e $Q' = P + w'$, allora $Q - Q' = w - w' \in W$ perché $W$ è chiuso rispetto alla differenza; viceversa ogni $w \in W$ è $(P + w) - P$, differenza di due punti di $L$.) Quindi due scritture $P + W = P' + W'$ dello stesso insieme hanno per forza $W = W'$.
• $L$ è un sottospazio vettoriale se e solo se passa per l'origine ($\vec 0 \in L$, cioè $P \in W$). (Un sottospazio vettoriale deve contenere $\vec 0$; se invece $\vec 0 \in L$, per il primo fatto $L = \vec 0 + W = W$.)

Equazioni parametriche

Scelta una baseDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi → $\{w_1, \dots, w_r\}$ di $W$, ogni $w \in W$ si scrive in un solo modo come $t_1 w_1 + \dots + t_r w_r$, quindi ogni punto di $L$ è

$$X = P + t_1 w_1 + \dots + t_r w_r, \qquad t_1, \dots, t_r \in \mathbb{R}.$$

Scritte componente per componente sono le equazioni parametriche di $L$: $r$ parametri liberi, uno per ogni direzione.

Retta per due punti $A \ne B$: punto base $A$, vettore direttore $B - A$:

$$X = A + t(B - A).$$

Per $t = 0$ si ottiene $A$, per $t = 1$ si ottiene $B$, per $t = \frac12$ il punto medio, per $0 \le t \le 1$ il segmento $AB$.

Esempio. Retta per $A = (1, 2, 0)$ e $B = (3, 1, 1)$: $B - A = (3 - 1, \ 1 - 2, \ 1 - 0) = (2, -1, 1)$, e scrivendo $X = A + t(B - A)$ componente per componente

$$r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{cases}$$

Piano per tre punti non allineati $A, B, C$ (cioè $B - A$ e $C - A$ non proporzionali, quindi linearmente indipendentiUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →: generano uno spazio direttore di dimensione $2$; se fossero proporzionali i tre punti starebbero su una retta e i piani che li contengono sarebbero infiniti):

$$X = A + s(B - A) + t(C - A).$$

Esempio. $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 2, 0)$, $C = (0, 0, 3)$: $B - A = (-1, 2, 0)$, $C - A = (-1, 0, 3)$, non proporzionali (la seconda componente è $2$ nel primo e $0$ nel secondo, mentre la prima è $-1$ in entrambi: nessun $c$ dà $(-1, 2, 0) = c(-1, 0, 3)$), e

$$\pi: \ (x, y, z) = (1, 0, 0) + s(-1, 2, 0) + t(-1, 0, 3) = (1 - s - t, \ 2s, \ 3t).$$

Equazioni cartesiane

Teorema. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile $AX = B$ in $n$ incognite è un sottospazio affine di $\mathbb{A}^n$ con spazio direttore $W = \operatorname{Ker} A$ e dimensione $n - \operatorname{rango}(A)$. Viceversa ogni sottospazio affine si può descrivere così.

Esempio. $x + y = 2$ in $\mathbb{A}^2$: $A = (1 \ \ 1)$, una soluzione è $(1, 1)$, il nucleo è $\{x + y = 0\} = \langle (1, -1) \rangle$, quindi le soluzioni sono $(1,1) + \langle (1,-1) \rangle$, una retta affine con $W = \operatorname{Ker} A$ di dimensione $2 - 1 = 1$.

La prima parte è la struttura delle soluzioniUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → di un sistema: soluzione particolare $X_0$ più soluzioni dell'omogeneo, cioè $X_0 + \operatorname{Ker} A$. (Se $AX_0 = B$ e $AX = B$, allora $A(X - X_0) = B - B = 0$, cioè $X - X_0 \in \operatorname{Ker} A$.) La dimensione viene dal teorema della nullità più rangoIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →: $\dim \operatorname{Ker} A = n - \dim \operatorname{Im} A = n - \operatorname{rango}(A)$. Per il viceversa: si scrivono le equazioni cartesiane $AX = 0$ di $W$ (come in Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospaziProcedura da esame per i sottospazi di K^n: base da generatori (riduzione a scala delle righe), base da equazioni (incognite libere), equazioni cartesiane da una base (eliminare i parametri), intersezione (mettere a sistema), somma (unire i generatori) e Grassmann come controllo.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →) e si sceglie $B = AP$, così che $P$ sia una soluzione.

Conteggio delle equazioni. Un sottospazio affine di dimensione $r$ in $\mathbb{A}^n$ richiede $n - r$ equazioni indipendenti: un iperpiano una sola, una retta di $\mathbb{A}^3$ due. (Dalla formula del teorema: $r = n - \operatorname{rango}(A)$, quindi $\operatorname{rango}(A) = n - r$, e servono almeno $n - r$ righe indipendenti.)

L'equazione di un iperpiano e il vettore normale

Un iperpiano ha una sola equazione

$$a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = b, \qquad (a_1, \dots, a_n) \ne \vec 0 .$$

Il suo spazio direttore è il nucleo, cioè le soluzioni dell'equazione omogenea: $W = \{ x : a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0 \} = \{ x : n \cdot x = 0 \}$ con $n = (a_1, \dots, a_n)$, perché il primo membro è proprio il prodotto scalareIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli → di $n$ con $x$. È l'insieme dei vettori ortogonali a $n$, cioè $W = \langle n \rangle^\perp$ (il complemento ortogonaleL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali → di $\langle n \rangle$, di dimensione $n - 1$). Quindi:

I coefficienti delle incognite formano un vettore $n$ ortogonale all'iperpiano (vettore normale). Il termine noto decide solo "dove" sta l'iperpiano: iperpiani con lo stesso $n$ e termini noti diversi sono paralleli.

Piano con normale assegnata per un punto. Il piano per $P_0$ ortogonale a $n$ è $n \cdot (X - P_0) = 0$: i punti $X$ tali che il vettore da $P_0$ a $X$ è ortogonale a $n$. Esempio: per $P_0 = (1, -1, 2)$ e $n = (2, 1, -3)$, $2(x - 1) + (y + 1) - 3(z - 2) = 0$; sviluppando, $2x - 2 + y + 1 - 3z + 6 = 0$, cioè $2x + y - 3z + 5 = 0$. Controllo: in $P_0$ si ha $2 - 1 - 6 + 5 = 0$ ✓.

Retta di $\mathbb{A}^3$ come intersezione di due piani

$$r: \begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \end{cases} \qquad \text{con } (a_1, b_1, c_1), (a_2, b_2, c_2) \text{ non proporzionali}.$$

La condizione "normali non proporzionali" significa $\operatorname{rango}\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{pmatrix} = 2$: allora la retta ha dimensione $3 - 2 = 1$, come deve (se le normali fossero proporzionali i due piani sarebbero paralleli o coincidenti). Il vettore direttore $v$ deve essere ortogonale a entrambe le normali $n_1 = (a_1, b_1, c_1)$ e $n_2 = (a_2, b_2, c_2)$ (sta nello spazio direttore di entrambi i piani): lo si trova risolvendo il sistema omogeneo, oppure con il prodotto vettorialeIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto → $v = n_1 \times n_2$.

Passare da un tipo di equazioni all'altro

Da parametriche a cartesiane: si eliminano i parametri. Per la retta $r$ dell'esempio ($x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = t$): dalla terza $t = z$, sostituendo nelle altre

$$r: \begin{cases} x - 2z - 1 = 0 \\ y + z - 2 = 0 \end{cases}$$

Verifica con $B = (3, 1, 1)$: $3 - 2 - 1 = 0$ ✓, $1 + 1 - 2 = 0$ ✓.

Per il piano per $A$, $B$, $C$ dell'esempio: dalla seconda e dalla terza equazione ($y = 2s$, $z = 3t$) si ricava $s = \frac{y}{2}$, $t = \frac{z}{3}$, e sostituendo nella prima $x = 1 - \frac y2 - \frac z3$. Moltiplicando per $6$ (il minimo comune multiplo dei denominatori) si ha $6x = 6 - 3y - 2z$, e portando tutto a sinistra:

$$\pi: \ 6x + 3y + 2z = 6 .$$

Verifica: $A$: $6 = 6$ ✓; $B$: $6 = 6$ ✓; $C$: $6 = 6$ ✓. In alternativa si cerca un vettore $n$ ortogonale a $B - A$ e $C - A$ (con il prodotto vettoriale: $(-1, 2, 0) \times (-1, 0, 3) = (6, 3, 2)$) e si impone il passaggio per $A$.

Da cartesiane a parametriche: si risolve il sistema.

Un piano. $x - 2y + z = 4$: una equazione in tre incognite, rango $1$, quindi $3 - 1 = 2$ incognite libere. Si scelgono come parametri $y = s$, $z = t$ e si ricava $x = 4 + 2y - z = 4 + 2s - t$; separando la parte costante e i coefficienti di $s$ e di $t$:

$$(x, y, z) = (4, 0, 0) + s(2, 1, 0) + t(-1, 0, 1).$$

Controllo: i due vettori direttori sono ortogonali alla normale $(1, -2, 1)$: $2 - 2 + 0 = 0$ ✓, $-1 + 0 + 1 = 0$ ✓.

Una retta. $x + y - z = 1$, $x - y = 3$: dalla seconda $x = 3 + y$; dalla prima $z = x + y - 1$, e sostituendo $x$: $z = (3 + y) + y - 1 = 2 + 2y$. Con $y = t$ (l'unica incognita libera, perché il rango è $2$):

$$(x, y, z) = (3, 0, 2) + t(1, 1, 2).$$

Controllo: $(1, 1, 2)$ è ortogonale a $(1, 1, -1)$ ($1 + 1 - 2 = 0$) e a $(1, -1, 0)$ ($1 - 1 = 0$) ✓.

Posizione reciproca

Due sottospazi affini $L = P + W$ e $L' = P' + W'$ si dicono:

• incidenti se $L \cap L' \ne \emptyset$;
• paralleli se $W \subseteq W'$ oppure $W' \subseteq W$ (per due rette: vettori direttori proporzionali; per due piani di $\mathbb{A}^3$: normali proporzionali);
• sghembi se $L \cap L' = \emptyset$ e $W \cap W' = \{\vec 0\}$ (non si incontrano e non hanno direzioni in comune).

L'intersezione si trova mettendo a sistema le equazioni cartesiane, oppure sostituendo le parametriche di uno nelle cartesiane dell'altro.

Due rette di $\mathbb{A}^3$

Le rette sghembe esistono solo da dimensione $3$ in su: in $\mathbb{A}^2$ due rette non parallele si incontrano sempre.

Criterio con i ranghi. Se $r: A_1 X = B_1$ e $s: A_2 X = B_2$ (due equazioni ciascuna), si considera il sistema di $4$ equazioni in $3$ incognite con matrice $A = \binom{A_1}{A_2}$ ($4 \times 3$) e completa $(A \mid B)$ ($4 \times 4$):

Perché la tabella funziona:

• il teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → dice che il sistema ha soluzioni (le rette si incontrano) se e solo se $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \mid B)$; quando i due ranghi sono diversi non c'è nessun punto comune;
• lo spazio delle soluzioni dell'omogeneo $AX = 0$ è $W_r \cap W_s$ (le direzioni comuni alle due rette) e ha dimensione $3 - \operatorname{rango}(A)$. Con $\operatorname{rango}(A) = 2$ è una retta per l'origine: le due rette hanno lo stesso spazio direttore. Con $\operatorname{rango}(A) = 3$ è $\{\vec 0\}$: nessuna direzione comune;
• $\operatorname{rango}(A)$ non può scendere sotto $2$, perché le due righe di $A_1$ sono già indipendenti, e $\operatorname{rango}(A \mid B) \le \operatorname{rango}(A) + 1$ (si aggiunge una sola colonna).

In pratica: sghembe $\iff \det(A \mid B) \ne 0$, perché $\det(A \mid B) \ne 0$ vuol dire $\operatorname{rango}(A \mid B) = 4$, e allora $\operatorname{rango}(A) = 3$ (una matrice $4 \times 3$ ha rango al massimo $3$) (determinanteIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → diverso da zero significa righe indipendenti).

Esempio. $r: X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 0)$ e $s: X = (0, 1, 1) + u(1, -1, 0)$. Direttori non proporzionali. Punti comuni: si uguagliano le componenti, $1 + t = u$, $t = 1 - u$, $0 = 1$ (terza componente): impossibile. Sghembe.

Lo stesso risultato con i ranghi. Cartesiane di $r$: $x = 1 + t$, $y = t$, $z = 0$; eliminando $t = y$ si ha $x - y = 1$, $z = 0$. Cartesiane di $s$: $x = u$, $y = 1 - u$, $z = 1$; eliminando $u = x$ si ha $x + y = 1$, $z = 1$. Quindi

$$(A \mid B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Con $R_3 \to R_3 - R_1$ e $R_4 \to R_4 - R_2$ (operazioni che non cambiano il determinante) diventa $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$; scambiando $R_2$ e $R_3$ (il determinante cambia segno) si ottiene una matrice triangolare con diagonale $1, 2, 1, 1$. Quindi $\det(A \mid B) = -2 \ne 0$: sghembe ✓.

Con $s': X = (2, 1, 0) + u(1, -1, 0)$ invece: $1 + t = 2 + u$, $t = 1 - u$, $0 = 0$. Si sostituisce la seconda nella prima: $1 + (1 - u) = 2 + u$, cioè $2 - u = 2 + u$, quindi $u = 0$ e $t = 1 - 0 = 1$: le rette si incontrano in $(1 + 1, 1, 0) = (2, 1, 0)$. Incidenti.

Retta e piano di $\mathbb{A}^3$

Retta $X = P + tv$, piano $n \cdot X = d$. Sostituendo: $n \cdot P + t\,(n \cdot v) = d$.

• $n \cdot v \ne 0$: un solo valore di $t$, la retta interseca il piano in un punto;
• $n \cdot v = 0$ ($v$ ortogonale alla normale, cioè parallelo al piano): l'equazione diventa $n \cdot P = d$, che non contiene più $t$. Se è falsa nessun $t$ va bene e la retta è parallela al piano senza toccarlo; se è vera ogni $t$ va bene e la retta è contenuta nel piano.

Esempio. $r: X = (3, 0, 2) + t(1, 1, 2)$ e $\pi: x + y + z = 1$, con $n = (1, 1, 1)$. Si ha $n \cdot v = 1 + 1 + 2 = 4 \ne 0$ e $n \cdot P = 3 + 0 + 2 = 5$, quindi $5 + 4t = 1$, $t = -1$: il punto di intersezione è $(3 - 1, \ 0 - 1, \ 2 - 2) = (2, -1, 0)$ (controllo: $2 - 1 + 0 = 1$ ✓). Con il piano $x - y = 3$, invece, $n = (1, -1, 0)$ e $n \cdot v = 1 - 1 + 0 = 0$, e $n \cdot P = 3$ è uguale al termine noto: la retta è contenuta nel piano (è infatti una delle due equazioni con cui era stata scritta sopra).

Due piani di $\mathbb{A}^3$

Normali proporzionali: piani paralleli (coincidenti se anche le equazioni sono proporzionali). Normali non proporzionali: si intersecano in una retta. È di nuovo Rouché-Capelli, con due equazioni in tre incognite: se le normali non sono proporzionali $\operatorname{rango}(A) = 2 = \operatorname{rango}(A \mid B)$ e le soluzioni formano una retta ($3 - 2 = 1$ parametro); se sono proporzionali $\operatorname{rango}(A) = 1$ e il sistema ha soluzioni (piani coincidenti) solo se anche $\operatorname{rango}(A \mid B) = 1$.

Esempio. $x + y - z = 1$ e $2x + 2y - 2z = 5$: le normali $(1, 1, -1)$ e $(2, 2, -2)$ sono proporzionali (fattore $2$), ma il termine noto non lo è ($5 \ne 2 \cdot 1$): piani paralleli distinti. Con $x + y - z = 1$ e $x - y = 3$ le normali non sono proporzionali e l'intersezione è la retta $(3, 0, 2) + t(1, 1, 2)$ trovata sopra.

Errori comuni

• Sommare due punti o moltiplicare un punto per un numero: hanno senso $P + v$, $Q - P$ e le combinazioni con coefficienti di somma $1$ (come il punto medio).
• Contare male le equazioni: una retta di $\mathbb{A}^3$ ha due equazioni cartesiane; una sola equazione in tre incognite è un piano.
• Confondere vettore direttore e vettore normale: in un piano $ax + by + cz = d$, $(a, b, c)$ è ortogonale al piano, non parallelo.
• Dire "non parallele quindi incidenti" per due rette di $\mathbb{A}^3$: possono essere sghembe.