Esercizio 100un rettangolo nello spazio e il suo piano (appello 15/6/2021)

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(a) Angolo retto in $B$ e quarto vertice

L'angolo $A\hat BC$ ha vertice $B$ e lati che vanno da $B$ verso $A$ e verso $C$. I vettori dei lati:

$$B - A = (1, -2, -1) =: v, \qquad C - B = (1, 1, -1) =: w .$$

(Si può usare $B - A$ oppure $A - B$: cambia solo il verso, non l'ortogonalità.) L'angolo è retto se i due vettori sono ortogonali, cioè se il loro prodotto scalare è nullocos α = (v·w)/(‖v‖‖w‖), quindi α = π/2 se e solo se v·w = 0.Prodotto scalare, norma e angoli →:

$$v \cdot w = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0 \ ✓$$

Il quarto vertice. In un rettangolo (come in ogni parallelogramma) i lati opposti sono uguali e paralleli: il lato $AD$ deve essere lo stesso vettore del lato $BC$. Quindi

$$D = A + (C - B) = (0, 3, 3) + (1, 1, -1) = (1, 4, 2).$$

Controllo con l'altro lato: $C - D = (2, 2, 1) - (1, 4, 2) = (1, -2, -1) = v = B - A$ ✓ ($DC$ è uguale e parallelo ad $AB$).

L'ordine dei vertici conta: $ABCD$ significa che si percorrono $A \to B \to C \to D \to A$, quindi $B$ e $D$ sono opposti, e $A$ e $C$ sono opposti. Il punto $A + (B - C)$ o $C + (B - A)$ darebbe un parallelogramma con i vertici in un altro ordine.

(b) Intersezione delle diagonali

Le diagonali di un parallelogramma si tagliano a metà: il loro punto d'incontro è il punto medio di ciascuna. (Il punto medio di $PQ$ è $P + \frac12(Q - P) = \frac{P + Q}{2}$: si parte da $P$ e si percorre metà del vettore $Q - P$, come nelle equazioni parametriche della rettaLa retta per P e Q è X = P + t(Q − P); t = 1/2 dà il punto medio.Spazi affini, rette e piani →.) Con la diagonale $AC$:

$$E = \frac{A + C}{2} = \left(\frac{0 + 2}{2}, \ \frac{3 + 2}{2}, \ \frac{3 + 1}{2}\right) = \left(1, \ \tfrac52, \ 2\right).$$

Controllo con l'altra diagonale: $\frac{B + D}{2} = \left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = \left(1, \frac52, 2\right)$ ✓.

(c) Il piano del rettangolo

Il piano passa per $A$ ed è parallelo ai vettori $v$ e $w$ (le direzioni dei lati). Una normale è il prodotto vettorialev × w è ortogonale sia a v sia a w; con v = (v₁, v₂, v₃) e w = (w₁, w₂, w₃) vale (v₂w₃ − v₃w₂, v₃w₁ − v₁w₃, v₁w₂ − v₂w₁).Prodotto vettoriale e prodotto misto →, calcolato componente per componente con $v = (1, -2, -1)$ e $w = (1, 1, -1)$:

$$n = v \times w = \big((-2)(-1) - (-1) \cdot 1, \ \ (-1) \cdot 1 - 1 \cdot (-1), \ \ 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 1\big) = (3, 0, 3).$$

Si può semplificare in $(1, 0, 1)$ (una normale si può riscalare). Un piano con normale $(a, b, c)$I punti X del piano per P con normale n sono quelli con n · (X − P) = 0, cioè ax + by + cz = n · P.Spazi affini, rette e piani → ha equazione $ax + by + cz = d$, qui $x + z = d$; imponendo il passaggio per $A = (0, 3, 3)$: $0 + 3 = d$.

$$\pi: \ x + z = 3 .$$

Verifica su tutti i vertici: $A$: $0 + 3 = 3$; $B$: $1 + 2 = 3$; $C$: $2 + 1 = 3$; $D$: $1 + 2 = 3$ ✓.

Senza prodotto vettoriale. Si cerca $n = (a, b, c)$ con $n \cdot v = a - 2b - c = 0$ e $n \cdot w = a + b - c = 0$. Sottraendo: $3b = 0$, quindi $b = 0$ e $a = c$: $n = (1, 0, 1)$, come sopra.

Un dato in più. I lati misurano $\|v\| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt6$ e $\|w\| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt3$; l'area del rettangolo è $\|v\|\,\|w\| = \sqrt6 \cdot \sqrt3 = \sqrt{18} = 3\sqrt2$, ed è anche $\|v \times w\| = \|(3, 0, 3)\| = \sqrt{9 + 0 + 9} = 3\sqrt2$ ✓ (la norma del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma).

Il rettangolo nel suo piano. Il rettangolo è una figura piana e si può disegnare dentro $\pi$, con l'origine in $B$, il primo asse lungo $C - B$ e il secondo lungo $A - B$ (sono perpendicolari, per il punto (a)). In questi assi $B = (0, 0)$, $C = (\sqrt3, 0)$, $A = (0, \sqrt6)$, $D = (\sqrt3, \sqrt6)$ e $E = \left(\frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt6}{2}\right)$.

Errori comuni

• Calcolare $D = B + (C - A)$ o simili, senza rispettare l'ordine dei vertici: si ottiene un altro parallelogramma.
• Verificare l'angolo con i vettori sbagliati, per esempio $A - B$ e $C - A$: i due vettori devono partire entrambi dal vertice dell'angolo (o arrivarci entrambi), a meno del segno.
• Prendere come normale uno dei vettori dei lati: la normale è ortogonale a entrambi.