Funzione di distribuzione

Punto 2 del programma. Prerequisiti: Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →, Misura di probabilità e sue proprietàUna misura di probabilità è una funzione P: F → [0,1] con P(Ω) = 1 e σ-additiva; ne seguono P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, monotonia, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e la formula di inclusione-esclusione.Misura di probabilità e sue proprietà →. La stessa definizione si usa per le v.a. continue in Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue → e per le Variabili aleatorie misteUna v.a. mista ha una FdD con salti (parte discreta, masse p_i nei punti x_i) e tratti crescenti continui (parte con densità f): E[g(X)] = Σ g(x_i) p_i + ∫ g(x) f(x) dx, con Σ p_i + ∫ f = 1; varianza come sempre E[X²] − E[X]².Variabili aleatorie miste →.

Perché un altro oggetto oltre alla densità

La densità discreta $p_X(x) = P(X = x)$ funziona benissimo per le v.a. discrete, ma non funziona per le v.a. continue: per un tempo d'attesa esponenziale $P(X = x) = 0$ per ogni $x$, quindi la "densità discreta" sarebbe identicamente nulla e non direbbe niente. Serve un oggetto che descriva la legge di qualsiasi v.a.: è la funzione di distribuzione, che guarda le probabilità delle semirette $(-\infty, x]$ invece dei singoli punti.

Definizione

Definizione (funzione di distribuzione). Sia $X$ una v.a. (qualsiasi: discreta, continua o mista). La funzione di distribuzione (FdD, o funzione di ripartizione) di $X$ è $$F_X : \mathbb R \to [0, 1], \qquad F_X(x) := P(X \le x).$$

Esempio. Dado equo: $F_X(3{,}5) = P(X \le 3{,}5) = P(X \in \{1,2,3\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (i valori del dado non superiori a $3{,}5$ sono $1, 2, 3$, ciascuno con probabilità $\frac16$).

Perché $P(X \le x)$ abbia senso serve che $\{X \le x\}$ sia un evento per ogni $x$: per una v.a. discreta è l'unione al più numerabile degli eventi $\{X = t\}$ con $t \le x$; per una v.a. generale è la richiesta che si fa nella definizione di v.a. (vedi Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di BorelNegli spazi non discreti la probabilità non si ricava più dai singoli esiti: si usa la σ-algebra di Borel (generata dagli intervalli), la continuità della probabilità lungo successioni monotone di eventi e la definizione generale di v.a. come funzione X con {X ≤ x} evento per ogni x.Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di Borel →).

$F_X(x)$ è la probabilità che $X$ cada a sinistra di $x$, $x$ compreso. L'uguale in "$\le$" è importante: con le v.a. discrete $P(X \le x)$ e $P(X < x)$ possono essere diversi.

Proprietà

Proprietà (della funzione di distribuzione). (F1) $F_X$ è crescente (debolmente): $x < y \Rightarrow F_X(x) \le F_X(y)$.

(F2) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ e $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$.

(F3) $F_X$ è continua a destra: $\displaystyle\lim_{y \to x^+} F_X(y) = F_X(x)$ per ogni $x$.

Esempio. Dado equo: $F_X$ vale $0$ per $x < 1$ e $1$ per $x \ge 6$, è crescente e continua a destra nei salti (per esempio $F_X(3) = \frac{3}{6}$, mentre subito a sinistra di $3$ vale $\frac26$).

"Crescente" qui è nel senso debole di funzione monotonaf(x) ≤ f(y) per ogni x < y: può restare costante su interi intervalli.Funzioni monotone, pari e dispari →: la FdD può restare costante su interi intervalli (lo fa tra un valore e l'altro di una v.a. discreta), ma non scende mai. I limiti destro e sinistro $F_X(x^+)$, $F_X(x^-)$ sono quelli di Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →: (F3) dice che da destra non c'è salto, mentre da sinistra può esserci una discontinuità di prima specie (salto)In un punto interno del dominio f può avere discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) o eliminabile; in un punto fuori dal dominio, se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti, f si prolunga per continuità. Limiti alla frontiera nello studio di funzione.Discontinuità e prolungamento per continuità →.

Perché (F1). Se $x < y$, ogni esito con $X(\omega) \le x$ ha anche $X(\omega) \le y$: $\{X \le x\} \subseteq \{X \le y\}$. Per la monotonia della probabilitàSe A è contenuto in B allora P(A) ≤ P(B).Misura di probabilità e sue proprietà → $F_X(x) \le F_X(y)$.

Perché (F2) e (F3). Servono la continuità della probabilità lungo successioni monotone di eventi (vedi Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di BorelNegli spazi non discreti la probabilità non si ricava più dai singoli esiti: si usa la σ-algebra di Borel (generata dagli intervalli), la continuità della probabilità lungo successioni monotone di eventi e la definizione generale di v.a. come funzione X con {X ≤ x} evento per ogni x.Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di Borel →): se $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \dots$ allora $P(\bigcap_n A_n) = \lim_n P(A_n)$, e se $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \dots$ allora $P(\bigcup_n A_n) = \lim_n P(A_n)$.

• Continuità a destra: gli eventi $A_n = \{X \le x + \frac1n\}$ decrescono e la loro intersezione è $\{X \le x\}$ (un esito sta in tutti gli $A_n$ se e solo se $X(\omega) \le x + \frac1n$ per ogni $n$, cioè $X(\omega) \le x$). Quindi $F_X(x + \frac1n) \to F_X(x)$.
• Limite a $-\infty$: $\{X \le -n\}$ decresce verso $\emptyset$ (nessun numero reale è $\le -n$ per ogni $n$), quindi $F_X(-n) \to P(\emptyset) = 0$.
• Limite a $+\infty$: $\{X \le n\}$ cresce verso $\Omega$ (ogni numero reale è $\le n$ per $n$ abbastanza grande), quindi $F_X(n) \to P(\Omega) = 1$.

(F1) garantisce che i limiti esistono: una funzione monotona ha sempre limite destro e sinistro in ogni punto e limiti a $\pm\infty$ (limiti delle funzioni monotoneUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni →). Quando un limite esiste, lo si può calcolare lungo una qualsiasi successione che tende al punto (teorema pontelim f(x) = ℓ per x → x0 se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0. Permette di trasportare i teoremi sulle successioni alle funzioni e di dimostrare che un limite non esiste.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni →), quindi basta calcolarli lungo le successioni $\pm n$ e $x + \frac1n$.

Viceversa (teorema, senza dimostrazione): ogni funzione $F : \mathbb R \to [0, 1]$ con (F1), (F2), (F3) è la FdD di qualche v.a. E la FdD determina la legge: due v.a. con la stessa FdD sono identicamente distribuite. Per questo negli esercizi "determinare la legge di $X$" e "calcolare $F_X$" sono richieste equivalenti.

Come si calcolano le probabilità con la FdD

I passaggi delle righe.

• $P(a < X \le b)$: per $a < b$ gli eventi $\{X \le a\}$ e $\{a < X \le b\}$ sono disgiunti e la loro unione è $\{X \le b\}$, quindi per additività $F_X(b) = F_X(a) + P(a < X \le b)$; si porta $F_X(a)$ a sinistra.
• $P(X < x)$: gli eventi $\{X \le x - \frac1n\}$ crescono con $n$ e la loro unione è $\{X < x\}$ (se $X(\omega) < x$, per $n$ grande vale $X(\omega) \le x - \frac1n$; se $X(\omega) = x$ invece non sta in nessuno). Per continuità della probabilità $P(X < x) = \lim_n F_X(x - \frac1n) = F_X(x^-)$.
• $P(X = x)$: $\{X \le x\}$ è l'unione disgiunta di $\{X < x\}$ e $\{X = x\}$, quindi $F_X(x) = F_X(x^-) + P(X = x)$.

La riga più importante è $P(X = x) = F_X(x) - F_X(x^-)$: $F_X$ salta esattamente nei punti che hanno probabilità positiva, e il salto è quella probabilità. Dove $F_X$ è continua, $P(X = x) = 0$.

Esempio continuo. Per un tempo d'attesa $X \sim \text{Exp}(1)$ la FdD è $F_X(x) = 1 - e^{-x}$ per $x \ge 0$ e $0$ per $x < 0$ (Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →). Allora $P(1 < X \le 2) = F_X(2) - F_X(1) = (1 - e^{-2}) - (1 - e^{-1}) = e^{-1} - e^{-2} \approx 0{,}3679 - 0{,}1353 = 0{,}2325$. Qui $F_X$ è continua, quindi non ci sono salti e $P(1 \le X \le 2)$ ha lo stesso valore.

Esempio d'esame (I parziale 17.11.2025, esercizio 4): una volta trovata $F_X$, si chiedeva $P(X > 0)$, e la risposta è semplicemente $1 - F_X(0)$; analogamente $P(X > \frac a2) = 1 - F_X(\frac a2)$.

Il caso discreto: FdD a gradini

Se $X$ è discreta con alfabeto $\mathcal X_X$ e densità $p_X$:

$$F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{t \in \mathcal X_X, \ t \le x} p_X(t).$$

Muovendo $x$ da sinistra a destra, $F_X$ resta costante finché non incontra un valore dell'alfabeto, lì salta di $p_X(t)$, poi resta di nuovo costante. È una funzione a gradini:

• i punti di salto sono i valori dell'alfabeto;
• l'altezza del salto in $t$ è $p_X(t)$;
• nel punto di salto la FdD vale già il valore "alto" (continuità a destra): il pallino pieno sta sul gradino superiore.

Viceversa: se una FdD è costante a tratti, la v.a. è discreta, e la densità si legge dai salti. È esattamente il ragionamento del II appello 12.02.2026, esercizio 3: si trova $F_Y$ costante a tratti con salti in $1$ e $2$ e si conclude che $Y$ è discreta con $p_Y(1)$, $p_Y(2)$ uguali ai salti.

Esempio 1: il dado

$X$ uniforme su $\{1, \dots, 6\}$. Per $x < 1$ nessun valore è $\le x$: $F_X(x) = 0$. Per $1 \le x < 2$ solo il valore $1$: $F_X(x) = \frac16$. In generale per $k \le x < k + 1$ ($k = 1, \dots, 5$) i valori $\le x$ sono $1, \dots, k$ e $F_X(x) = \frac k6$; per $x \ge 6$, $F_X(x) = 1$. In breve $F_X(x) = \frac{\lfloor x \rfloor}{6}$ per $0 \le x < 6$, dove $\lfloor x \rfloor$ è la parte interaFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari → (il più grande intero $\le x$): per $k \le x < k + 1$ vale proprio $k$.

Lettura: $P(2 < X \le 5) = F_X(5) - F_X(2) = \frac56 - \frac26 = \frac12$ (sono i valori $3, 4, 5$ ✓). E $P(X = 3) = F_X(3) - F_X(3^-) = \frac36 - \frac26 = \frac16$ ✓.

Esempio 2: la vincita all'urna

Dalla nota Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →: $X \in \{-2, 1, 4\}$ con $p_X(-2) = \frac9{49}$, $p_X(1) = \frac{24}{49}$, $p_X(4) = \frac{16}{49}$. Sommando i salti da sinistra:

$$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < -2 \\[2pt] \frac{9}{49} & -2 \le x < 1 \\[2pt] \frac{9 + 24}{49} = \frac{33}{49} & 1 \le x < 4 \\[2pt] 1 & x \ge 4 \end{cases}$$

Domanda tipica: $P(X > 0) = 1 - F_X(0) = 1 - \frac9{49} = \frac{40}{49}$ (la probabilità di non perdere soldi). $F_X(0) = \frac9{49}$ perché $0$ sta nel tratto $-2 \le x < 1$. Controllo con la densità: $X > 0$ vuol dire $X \in \{1, 4\}$, e $\frac{24}{49} + \frac{16}{49} = \frac{40}{49}$ ✓.

Esempio 3: v.a. a valori interi

Se $X$ assume solo valori interi, tra due interi consecutivi $F_X$ è costante, quindi:

$$P(X \le k) = F_X(k), \qquad P(X \ge k) = 1 - F_X(k - 1), \qquad P(X > k) = 1 - F_X(k).$$

Perché. Tra $k - 1$ e $k$ non ci sono valori di $X$, quindi $\{X \ge k\} = \{X > k - 1\}$, e il suo complementare è $\{X \le k - 1\}$, di probabilità $F_X(k - 1)$. Allo stesso modo $\{X > k\}$ è il complementare di $\{X \le k\}$.

Per la Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica → $\text{Geo}(p)$ vale $P(X > k) = (1 - p)^k$ (i primi $k$ tentativi sono tutti insuccessi), quindi $F_X(k) = 1 - (1 - p)^k$ per ogni intero $k \ge 0$; tra due interi la FdD è costante, quindi $F_X(x) = F_X(\lfloor x \rfloor) = 1 - (1 - p)^{\lfloor x \rfloor}$ per $x \ge 1$ (e $0$ per $x < 1$). Per esempio con $p = \frac12$: $F_X(2{,}7) = F_X(2) = 1 - \frac14 = \frac34$.

Errori comuni

• Confondere $\le$ e $<$ nelle v.a. discrete: per il dado $P(X \le 3) = \frac12$ ma $P(X < 3) = \frac13$. Con le v.a. continue invece non cambia niente.
• Mettere il valore del gradino dalla parte sbagliata: $F_X$ è continua a destra, quindi nel punto di salto vale il valore alto ($F_X(1) = \frac{33}{49}$ nell'esempio 2, non $\frac{9}{49}$).
• Dimenticare i tratti costanti: $F_X$ è definita su tutto $\mathbb R$, non solo sull'alfabeto; vanno scritti anche $x <$ min e $x \ge$ max.
• Calcolare $P(a \le X \le b)$ come $F_X(b) - F_X(a)$: così si perde $P(X = a)$; la formula giusta è $F_X(b) - F_X(a^-)$.