Esercizio 26convergenze di Xn a valori 0 e √n

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Terza variante della stessa struttura (vedi Esercizio 24 · convergenze di Xn a valori 0 e n ed Esercizio 25 · convergenze di Xn a valori −√n, 0, √n). Qui conviene l'ordine inverso: prima la probabilità, con un calcolo diretto, poi la distribuzione come conseguenza.

(a) Probabilità e distribuzione

Probabilità: calcolo diretto

Si fissa $\varepsilon > 0$. Quando $n > \varepsilon^2$, cioè $\sqrt n > \varepsilon$, l'unico modo per avere $|X_n| > \varepsilon$ è $X_n = \sqrt n$ (il valore $0$ non supera $\varepsilon$):

$$P(|X_n - 0| > \varepsilon) = P(X_n = \sqrt n) = \frac1n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$$

Per i primi $n \le \varepsilon^2$ il valore può essere diverso, ma per il limite contano solo gli $n$ grandi. Per la definizione di convergenza in probabilitàP(distanza da X maggiore di ε) tende a 0 per ogni ε > 0.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →:

$$\boxed{X_n \xrightarrow{p} 0}$$

Distribuzione

La convergenza in probabilità implica quella in distribuzione verso lo stesso limite (proprietà 3 in Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →):

$$\boxed{X_n \xrightarrow{d} 0}$$

Verifica con la FdD. $F_{X_n}(x) = 0$ per $x < 0$, $1 - \frac1n$ per $0 \le x < \sqrt n$, $1$ per $x \ge \sqrt n$. Per $x \ge 0$ fissato e $n > x^2$ si è nel tratto centrale e $F_{X_n}(x) = 1 - \frac1n \to 1$; per $x < 0$ resta $0$. È la FdD della costante $0$ ✓. (La condizione $n > x^2$ equivale a $\sqrt n > x$ per $x \ge 0$, perché la radice è crescente: il gradino in $\sqrt n$ è già a destra di $x$.)

(b) Media e media seconda

Candidato limite: $0$, l'unico possibile perché coincide con il limite in probabilità (la convergenza in $L^p$ implica quella in probabilità, e il limite in probabilità è unico).

$X_n \ge 0$, quindi $|X_n| = X_n$. Per il teorema fondamentale del valor medioLa media di g(X) è la somma di g(x) per la densità di X.Valore atteso → si pesa ogni valore con la sua probabilità; il valore $0$ contribuisce con $0$, e $\sqrt n \cdot \frac1n = \frac{\sqrt n}{\sqrt n \cdot \sqrt n} = \frac{1}{\sqrt n}$:

$$E[|X_n|] = \sqrt n\cdot\frac1n = \frac{1}{\sqrt n} \to 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \xrightarrow{L^1} 0}$$

$$E[|X_n|^2] = (\sqrt n)^2\cdot\frac1n = 1 \quad \text{per ogni } n \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \text{ non converge in } L^2}$$

Gli esponenti intermedi. Per un $p \ge 1$ qualsiasi, $E[|X_n|^p] = (\sqrt n)^p \cdot \frac1n = n^{p/2 - 1}$, che tende a $0$ se e solo se l'esponente $\frac p2 - 1$ è negativo, cioè $p < 2$. Quindi $X_n \to 0$ in $L^p$ per ogni $1 \le p < 2$ (ad esempio in $L^{1,5}$: $n^{-1/4} \to 0$), e non per $p \ge 2$. È coerente con la proprietà "$L^q \Rightarrow L^p$ se $q \ge p$": la convergenza si perde andando verso esponenti più alti.

Confronto tra le tre varianti

In tutti e tre i casi i testi scelgono valore e probabilità in modo che valore$^2$ × probabilità sia costante: così la convergenza vale in $L^1$ ma non in $L^2$. Regola generale per questo tipo di successioni: se il valore raro è $v_n$ con probabilità $q_n \to 0$, allora

• in probabilità e in distribuzione a $0$: sempre (perché $q_n \to 0$);
• in $L^p$ a $0$: se e solo se $v_n^p\,q_n \to 0$.

Il motivo della seconda: $E[|X_n|^p] = |0|^p(1 - q_n) + |v_n|^p q_n = |v_n|^p q_n$, perché il valore $0$ non contribuisce. Della prima: per $\varepsilon$ fissato, $P(|X_n| > \varepsilon) \le q_n$ (il solo valore che può superare $\varepsilon$ è quello raro), e $q_n \to 0$.

Errori comuni

• Calcolare $P(|X_n| > \varepsilon) = \frac1n$ per ogni $n$: vale solo per $n > \varepsilon^2$ (se $\sqrt n \le \varepsilon$, la probabilità è $0$). Non cambia il limite, ma va detto.
• Confondere l'implicazione: in probabilità ⇒ in distribuzione, non il contrario (il contrario vale solo verso una costante).
• Concludere "$L^2$ no" senza calcolare: serve mostrare che $E[X_n^2]$ non tende a $0$.