Spazio campionario ed eventi

Lezione 1 (30 settembre 2026). Seguito: Sigma-algebre di eventiUna σ-algebra è una famiglia di eventi che contiene ∅ ed è chiusa per complementare e unioni numerabili; è la famiglia degli eventi a cui si assegna una probabilità. Nel caso discreto si prende tutto 𝒫(Ω).Sigma-algebre di eventi →, Misura di probabilità e sue proprietàUna misura di probabilità è una funzione P: F → [0,1] con P(Ω) = 1 e σ-additiva; ne seguono P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, monotonia, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e la formula di inclusione-esclusione.Misura di probabilità e sue proprietà →.

Esperimento aleatorio e spazio di probabilità

Un esperimento aleatorio è un'osservazione di un fenomeno di cui non conosciamo l'esito in anticipo: lanciare un dado, contare le auto che entrano in un parcheggio in un giorno, misurare il tempo di attesa a uno sportello. Non sappiamo cosa uscirà, ma sappiamo cosa può uscire, e vogliamo assegnare a ogni affermazione sull'esito un numero che misuri quanto ci aspettiamo che sia vera.

Il modello matematico di un esperimento aleatorio è lo spazio di probabilità, una terna

$$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$$

formata da tre ingredienti, che si costruiscono in quest'ordine:

In questa nota si costruiscono $\Omega$ e gli eventi; $\mathcal{F}$ è in Sigma-algebre di eventiUna σ-algebra è una famiglia di eventi che contiene ∅ ed è chiusa per complementare e unioni numerabili; è la famiglia degli eventi a cui si assegna una probabilità. Nel caso discreto si prende tutto 𝒫(Ω).Sigma-algebre di eventi →, $\mathbb{P}$ in Misura di probabilità e sue proprietàUna misura di probabilità è una funzione P: F → [0,1] con P(Ω) = 1 e σ-additiva; ne seguono P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, monotonia, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e la formula di inclusione-esclusione.Misura di probabilità e sue proprietà →.

Lo spazio campionario $\Omega$

$$\Omega = \{\text{esiti possibili dell'esperimento}\}$$

Un elemento $\omega \in \Omega$ si chiama esito (o risultato elementare): è la descrizione completa di un possibile svolgimento dell'esperimento. Gli esiti devono essere mutuamente esclusivi (ne accade esattamente uno) ed esaustivi (uno di loro accade sempre).

Esempi (della lezione):

Lancio di $n$ monete. $\{T, C\}^n$ è il prodotto cartesianoA × B è l'insieme delle coppie ordinate (a, b) con a in A e b in B; A^n è l'insieme delle n-uple ordinate di elementi di A.Operazioni tra insiemi → di $n$ copie di $\{T, C\}$: un esito è una $n$-upla ordinata $(x_1, \dots, x_n)$ dove $x_k$ è il risultato della $k$-esima moneta. Con $n = 3$, per esempio, $\omega = (T, C, T)$ è "testa, croce, testa", ed è un esito diverso da $(T, T, C)$: l'ordine conta perché le monete (o i lanci) sono distinguibili. Gli esiti sono $2 \cdot 2 \cdots 2 = 2^n$: per la prima moneta ci sono 2 possibilità, e per ciascuna di queste altre 2 per la seconda, e così via, quindi i casi si moltiplicano (è il principio di moltiplicazione, ripreso in Calcolo combinatorio per la probabilitàNegli spazi uniformi bisogna contare: principio di moltiplicazione, disposizioni con ripetizione n^k, disposizioni semplici n!/(n−k)!, permutazioni n!, combinazioni (n su k); estrazioni con e senza reinserimento e distribuzione ipergeometrica.Calcolo combinatorio per la probabilità →). Con $n = 3$: $2^3 = 8$ esiti, cioè $TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC$.

Perché il parcheggio ha $\Omega = \mathbb{N}_0$ e non $\{0, \dots, 500\}$? Non c'è un massimo naturale al numero di auto: si sceglie l'insieme più semplice che contiene sicuramente tutti i valori possibili. Che i numeri enormi siano praticamente impossibili lo dirà la probabilità $\mathbb{P}$, non $\Omega$.

Discreto o continuo.

• Se $\Omega$ è finito o numerabile (si possono elencare gli esiti $\omega_1, \omega_2, \dots$) lo spazio si dice discreto: dado, monete, parcheggio.
• Se $\Omega$ è non numerabile (ad esempio un intervallo di $\mathbb{R}$) lo spazio si dice continuo: tempo di attesa, termografo.

Che cosa vuol dire numerabile. Un insieme è numerabileSi può mettere in corrispondenza biunivoca con N: esiste una funzione biunivoca n ↦ ω_n, cioè gli elementi si possono elencare in una successione ω_1, ω_2, ... senza saltarne nessuno. se si possono elencare i suoi elementi in una successione $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots$ in cui ognuno compare prima o poi: in termini di funzioni, se esiste una funzione biunivocaUna funzione iniettiva (elementi diversi hanno immagini diverse) e suriettiva (ogni elemento del codominio è immagine di qualcosa).Funzioni iniettive, suriettive e inverse → da $\mathbb{N}$ all'insieme. $\mathbb{N}_0$, $\mathbb{Z}$ e anche $\mathbb{Q}$ sono numerabili; un intervallo $[a, b]$ con $a < b$ non lo è (risultato di Cantor: qualunque elenco di numeri reali di $[a,b]$ ne lascia fuori qualcuno). Gli insiemi numerici sono descritti in Insiemi numerici (N, Z, Q, R)Naturali, interi, razionali e reali, perché la radice di 2 obbliga a passare da Q a R, e gli intervalli.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) →. La differenza conta perché sugli insiemi numerabili la probabilità si può assegnare esito per esito e poi sommare (con una serieLa somma infinita Σ a_k, definita come limite delle somme parziali a_1 + ... + a_n.Serie numeriche → se gli esiti sono infiniti), mentre su un intervallo ogni singolo esito avrà probabilità $0$ e servirà un integraleL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →.

Il corso parte dal caso discreto (Spazi di probabilità discreti e uniformiIn uno spazio discreto la probabilità è determinata dalla densità discreta p(ω) = P({ω}), con somma 1, e P(A) è la somma di p(ω) sugli esiti di A; negli spazi uniformi (esiti equiprobabili) P(A) = |A| / |Ω|, casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi →) e passa al continuo nel capitolo sulle Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →.

Eventi

Un evento è un'affermazione sull'esito dell'esperimento. Lo si identifica con il sottoinsieme degli esiti che la rendono vera:

$$\text{evento} \;\equiv\; A \subseteq \Omega$$

Si dice che l'evento $A$ si verifica se l'esito $\omega$ dell'esperimento appartiene ad $A$.

Esempi (della lezione):

• "Nel lancio di un dado esce un valore $\ge 3$" $= \{3, 4, 5, 6\} \subseteq \{1, \dots, 6\}$.
• "I visitatori del museo nel 2026 saranno al più 10 000" $= \{0, 1, \dots, 10\,000\} \subseteq \mathbb{N}_0$.
• "Il tempo di attesa è di almeno 45 minuti" $= [45, +\infty) \subseteq \mathbb{R}_+$.

Gli eventi sono quindi elementi dell'insieme delle partiL'insieme di tutti i sottoinsiemi di Ω, indicato con 𝒫(Ω): se Ω ha n elementi, 𝒫(Ω) ne ha 2^n.Insiemi e insieme delle parti → $\mathcal{P}(\Omega)$:

$$A \text{ evento} \iff A \in \mathcal{P}(\Omega)$$

Notazione. Gli eventi si indicano con lettere maiuscole $A, B, C, D, E, \dots$ Due eventi speciali:

• $\emptyset$ è l'evento impossibile (nessun esito lo rende vero);
• $\Omega$ è l'evento certo (si verifica sempre).

Un singolo esito $\omega$ dà l'evento $\{\omega\}$ (un singoletto, o evento elementare): attenzione a non confondere l'esito $\omega$ (elemento di $\Omega$) con l'evento $\{\omega\}$ (sottoinsieme di $\Omega$).

Esempio numerico. Con il dado, $\Omega = \{1, \dots, 6\}$ ha $6$ elementi, quindi ci sono $2^6 = 64$ eventi possibili. Il perché del $2^6$: un sottoinsieme si costruisce decidendo, per ciascuno dei 6 esiti, se metterlo dentro o lasciarlo fuori, cioè 6 scelte binarie, e le scelte si moltiplicano: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$ (vedi Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti →, sezione sul numero dei sottoinsiemi). Tra i 64 eventi ci sono tra questi $\emptyset$, i 6 singoletti $\{1\}, \dots, \{6\}$, "esce pari" $= \{2, 4, 6\}$, ..., fino a $\Omega$.

Operazioni tra eventi

Le parole logiche "e", "o", "non" diventano le Operazioni tra insiemiUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi → già viste in Analisi 1: "e" è l'intersezione, "o" l'unione, "non" il complementare (è la corrispondenza tra connettivi e operazioni descritta anche in Logica e quantificatoriProposizioni, connettivi, predicati e quantificatori (per ogni, esiste), con le regole per negarli.Logica e quantificatori →). Se $A, B \subseteq \Omega$:

Il complementare si prende sempre rispetto a $\Omega$: per questo serve aver fissato lo spazio campionario.

Esempio con il dado. $A =$ "esce pari" $= \{2, 4, 6\}$, $B =$ "esce almeno 4" $= \{4, 5, 6\}$.

• $A \cap B = \{4, 6\}$ (pari e almeno 4);
• $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$;
• $A^c = \{1, 3, 5\}$ (dispari);
• $A \setminus B = \{2\}$, $B \setminus A = \{5\}$, $A \triangle B = \{2, 5\}$.

La "o" della probabilità è sempre inclusiva: $A \cup B$ contiene anche gli esiti in cui si verificano entrambi. Per "uno solo dei due" si usa la differenza simmetrica $\triangle$.

Leggi di De Morgan

Legge (De Morgan). $$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c \qquad\qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c$$

Esempio. Dado, $A = \{2,4,6\}$ e $B = \{4,5,6\}$: $(A \cup B)^c = \{1,3\}$ e $A^c \cap B^c = \{1,3,5\} \cap \{1,2,3\} = \{1,3\}$.

A parole: "non si verifica nessuno dei due" = "non si verifica $A$ e non si verifica $B$"; "non si verificano entrambi" = "almeno uno dei due non si verifica".

Perché vale la prima. Si confrontano i due insiemi elemento per elemento: $\omega \in (A \cup B)^c$ vuol dire che non è vero che $\omega \in A$ oppure $\omega \in B$; la negazione di una "o" è la "e" delle negazioni, quindi $\omega \notin A$ e $\omega \notin B$, cioè $\omega \in A^c \cap B^c$. La seconda si ottiene allo stesso modo (la negazione di una "e" è la "o" delle negazioni). È la stessa dimostrazione di Operazioni tra insiemiUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi → (sezione sulle leggi di De Morgan), che a sua volta traduce le regole di negazione di Logica e quantificatoriProposizioni, connettivi, predicati e quantificatori (per ogni, esiste), con le regole per negarli.Logica e quantificatori →.

Più in generale, per una famiglia di eventi $(A_i)_{i \in I}$ con un insieme di indici $I$ qualsiasi (finito, numerabile o no):

$$\Big(\bigcup_{i \in I} A_i\Big)^c = \bigcap_{i \in I} A_i^c \qquad\qquad \Big(\bigcap_{i \in I} A_i\Big)^c = \bigcup_{i \in I} A_i^c$$

Perché sono utili. Negli esercizi si incontrano spesso eventi del tipo "almeno uno" (un'unione, difficile da calcolare) il cui complementare è "nessuno" (un'intersezione, spesso facile). De Morgan permette di passare dall'una all'altra: ad esempio $\mathbb{P}(A \cup B) = 1 - \mathbb{P}(A^c \cap B^c)$, come nell'esercizio 1 del primo appelloDati P(A^c ∩ B^c) = 1/2, si trova subito P(A ∪ B) = 1 − 1/2 = 1/2 passando al complementare con De Morgan.Esercizio 9 · eventi A e B dalle probabilità delle intersezioni →.

Partizioni

Definizione (partizione). Una partizione di $\Omega$ è una famiglia di eventi $(A_i)_{i \in I}$ tale che

1. $A_i \cap A_j = \emptyset$ per ogni $i \ne j$ (sono a due a due disgiunti);
2. $\bigcup_{i \in I} A_i = \Omega$ (ricoprono tutto $\Omega$).

Esempio. Con il dado, $A_1 = \{1,2\}$, $A_2 = \{3,4\}$, $A_3 = \{5,6\}$ sono una partizione di $\Omega = \{1, \dots, 6\}$; lo sono anche "pari" e "dispari".

Cioè: ogni esito $\omega$ sta in uno e un solo $A_i$. Si pensi a un foglio ritagliato in pezzi che non si sovrappongono.

Esempi fondamentali:

• Partizione banale: $\{\Omega\}$ (un solo pezzo).
• Se $E \subseteq \Omega$ è un evento non banale ($E \ne \emptyset$, $E \ne \Omega$), allora $\{E, E^c\}$ è una partizione: ogni esito sta o in $E$ o nel suo complementare, mai in entrambi. È la partizione più usata negli esercizi (malato / sano, dado A / dado B, maschio / femmina).
• Con il dado: $\{\{1, 2\}, \{3, 4\}, \{5, 6\}\}$; oppure i 6 singoletti $\{\{1\}, \dots, \{6\}\}$.

Decomporre un evento con una partizione

Osservazione. Se $(A_i)_{i \in I}$ è una partizione di $\Omega$ e $B \subseteq \Omega$ è un evento, allora

Formula (decomposizione di un evento con una partizione). $$B = \bigcup_{i \in I} (B \cap A_i)$$

e i pezzi $B \cap A_i$ sono a due a due disgiunti.

Perché. Partendo da $B = B \cap \Omega$ (ogni evento è contenuto in $\Omega$) e sostituendo $\Omega = \bigcup_i A_i$:

$$B = B \cap \Omega = B \cap \Big(\bigcup_{i \in I} A_i\Big) = \bigcup_{i \in I} (B \cap A_i)$$

dove l'ultimo passaggio è la proprietà distributivaA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C): l'intersezione si distribuisce sull'unione come il prodotto sulla somma.Operazioni tra insiemi → dell'intersezione rispetto all'unione, applicata a tutti i pezzi $A_i$ (vale anche per unioni infinite: $\omega$ sta a sinistra se sta in $B$ e in almeno un $A_i$, cioè se sta in almeno un $B \cap A_i$). I pezzi sono disgiunti perché $B \cap A_i \subseteq A_i$ e gli $A_i$ sono disgiunti.

L'idea: la partizione "taglia" $B$ in fette, una per ogni $A_i$. È la base della formula delle probabilità totaliP(B) = Σ P(B ∩ A_i) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i): si calcola la probabilità di B sommando le sue fette.Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →.

Esempio. Dado, partizione $A_1 = \{1, 2\}$, $A_2 = \{3, 4\}$, $A_3 = \{5, 6\}$, evento $B =$ "pari" $= \{2, 4, 6\}$: le fette sono $B \cap A_1 = \{2\}$, $B \cap A_2 = \{4\}$, $B \cap A_3 = \{6\}$, e la loro unione è proprio $B$.

Errori comuni

• Confondere esito ed evento: $\omega = 3$ è un esito, $\{3\}$ è l'evento "esce 3".
• Usare la "o" esclusiva: $A \cup B$ comprende anche i casi in cui si verificano entrambi.
• Prendere il complementare rispetto all'insieme sbagliato: $A^c$ è sempre $\Omega \setminus A$.
• Dimenticare l'ordine negli esiti di più lanci: $(T, C)$ e $(C, T)$ sono esiti diversi di $\{T, C\}^2$.
• Chiamare partizione una famiglia che non copre $\Omega$ o con pezzi che si sovrappongono: vanno verificate entrambe le condizioni.