Esercizio 13densità proporzionale a t² su un intervallo che dipende da a

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Lettura della densità

$\mathbb 1_{(-a, 2a)}(t)$ è la funzione indicatriceVale 1 se t sta nell'intervallo (−a, 2a) e 0 altrimenti. dell'intervallo: la densità vale $at^2$ per $-a < t < 2a$ e $0$ fuori. La particolarità è che la stessa costante $a$ compare sia come fattore sia negli estremi dell'intervallo.

(a) La costante $a$

Una funzione è una densità se è non negativa e ha integrale $1$ (Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →).

Segno. Per $t$ nell'intervallo, $t^2 \ge 0$, quindi serve $a \ge 0$. Inoltre l'intervallo $(-a, 2a)$ deve essere non vuoto, cioè $-a < 2a$: sommando $a$ ai due membri si ottiene $0 < 3a$, che di nuovo dà $a > 0$. ($a = 0$ è escluso: la densità sarebbe nulla e avrebbe integrale $0$.)

Normalizzazione.

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,dt = a\int_{-a}^{2a} t^2\,dt = a\left[\frac{t^3}{3}\right]_{-a}^{2a} = a \cdot \frac{8a^3 - (-a^3)}{3} = a\cdot\frac{9a^3}{3} = 3a^4.$$

I passaggi: fuori da $(-a, 2a)$ l'integranda è nulla, quindi l'integrale su tutta la retta si riduce a quello su $(-a, 2a)$; la costante $a$ esce dall'integrale; una primitiva di $t^2$ è $\frac{t^3}{3}$ e si valuta agli estremi con il teorema fondamentale del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →; $(2a)^3 = 2^3 a^3 = 8a^3$. Attenzione al segno: $(-a)^3 = -a^3$, e sottraendolo si ottiene $+a^3$. Infine $a \cdot 3a^3 = 3a^4$. Imponendo $3a^4 = 1$:

$$a^4 = \frac13 \implies \boxed{a = \frac{1}{3^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \approx 0{,}760}$$

(L'equazione $a^4 = \frac13$ ha due soluzioni reali, $\pm\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$, perché la potenza quarta è pari; quella negativa si scarta per la condizione di segno.)

Una relazione da tenere a mente: $a^4 = \frac13$. Rende molto più semplici i conti successivi: conviene non sostituire il valore numerico di $a$, ma usare $a^4 = \frac13$ quando compare.

(b) La funzione di distribuzione

$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t)\,dt$. Bisogna distinguere tre zone, secondo dove sta $x$ rispetto all'intervallo $(-a, 2a)$:

• $x < -a$: si integra una funzione nulla, $F_X(x) = 0$.
• $-a \le x < 2a$: si integra da $-a$ (prima la densità è nulla) a $x$: $$F_X(x) = a\int_{-a}^x t^2\,dt = a\cdot\frac{x^3 - (-a)^3}{3} = \frac a3\left(x^3 + a^3\right).$$
• $x \ge 2a$: si è integrata tutta la densità, $F_X(x) = 1$.

$$\boxed{F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < -a \\[2pt] \dfrac a3\left(x^3 + a^3\right) & -a \le x < 2a \\[4pt] 1 & x \ge 2a \end{cases}}$$

Controlli. In $x = -a$: $\frac a3(-a^3 + a^3) = 0$ ✓ (si raccorda con la zona di sinistra). In $x = 2a$: $\frac a3(8a^3 + a^3) = 3a^4 = 1$ ✓ (si raccorda con la zona di destra). La FdD è continua, come deve essere per una v.a. assolutamente continua, e crescente (la derivata $at^2$ è $\ge 0$).

(c) $P(X > 0)$ e la probabilità condizionata

$P(X > 0)$

$P(X > 0) = 1 - P(X \le 0) = 1 - F_X(0)$ (Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →). $0$ sta nel tratto centrale (perché $-a < 0 < 2a$):

$$F_X(0) = \frac a3(0 + a^3) = \frac{a^4}{3} = \frac{1}{3}\cdot\frac13 = \frac19.$$

Qui si usa $a \cdot a^3 = a^4 = \frac13$ invece del valore decimale di $a$.

$$\boxed{P(X > 0) = 1 - \frac19 = \frac89}$$

Ha senso: la densità $at^2$ cresce allontanandosi da $0$, e la parte positiva dell'intervallo, $(0, 2a)$, è lunga il doppio di quella negativa: quasi tutta la probabilità sta a destra di $0$.

$P\left(X > \frac a2 \mid X > 0\right)$

Definizione di Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata →:

$$P\left(X > \tfrac a2 \,\middle|\, X > 0\right) = \frac{P\left(X > \frac a2,\ X > 0\right)}{P(X > 0)}.$$

Semplificare l'intersezione. Poiché $\frac a2 > 0$, se $X > \frac a2$ allora automaticamente $X > 0$: $\{X > \frac a2\} \subseteq \{X > 0\}$, quindi l'intersezione è $\{X > \frac a2\}$.

Calcolo di $P(X > \frac a2)$. $\frac a2$ sta nel tratto centrale:

$$F_X\left(\tfrac a2\right) = \frac a3\left(\frac{a^3}{8} + a^3\right) = \frac a3\cdot\frac{9a^3}{8} = \frac{3a^4}{8} = \frac38\cdot\frac13 = \frac18,$$

dove $\left(\frac a2\right)^3 = \frac{a^3}{2^3} = \frac{a^3}{8}$, $\frac{a^3}{8} + a^3 = \frac{a^3 + 8a^3}{8} = \frac{9a^3}{8}$ e $\frac{9}{3 \cdot 8} = \frac38$; quindi $P(X > \frac a2) = 1 - \frac18 = \frac78$.

Controllo integrando direttamente: $P(X > \frac a2) = a\int_{a/2}^{2a} t^2\,dt = \frac a3\left(8a^3 - \frac{a^3}{8}\right) = \frac{a^4}{3} \cdot \frac{63}{8} = \frac19 \cdot \frac{63}{8} = \frac78$ ✓.

(Nella soluzione ufficiale questo valore compare come $\frac79$, ma è un refuso: con $a^4 = \frac13$ si ottiene $\frac78$, ed è questo il valore che porta al risultato finale ufficiale $\frac{63}{64}$.)

Risultato:

$$P\left(X > \tfrac a2 \,\middle|\, X > 0\right) = \frac{7/8}{8/9} = \frac78\cdot\frac98 = \frac{63}{64}.$$

(Dividere per una frazione è moltiplicare per la sua reciproca; $7 \cdot 9 = 63$, $8 \cdot 8 = 64$.)

$$\boxed{P\left(X > \tfrac a2 \,\middle|\, X > 0\right) = \frac{63}{64} \approx 0{,}984}$$

Interpretazione. Sapendo che $X$ è positiva, è quasi certo che superi anche $\frac a2$: tra $0$ e $\frac a2$ la densità $at^2$ è piccolissima (vicina a zero), quindi lì c'è pochissima probabilità ($P(0 < X \le \frac a2) = F_X(\frac a2) - F_X(0) = \frac18 - \frac19 = \frac{9 - 8}{72} = \frac1{72}$).

Errori comuni

• Sbagliare il segno di $(-a)^3$ nell'integrale, ottenendo $\frac{7a^3}{3}$ invece di $3a^3$.
• Sostituire subito $a \approx 0{,}76$: i conti diventano approssimati e lunghi; con $a^4 = \frac13$ tutto si semplifica in frazioni esatte.
• Scrivere la FdD solo nel tratto centrale, dimenticando $0$ e $1$ fuori.
• Non semplificare l'intersezione $\{X > \frac a2\} \cap \{X > 0\}$, oppure moltiplicare $P(X > \frac a2)P(X > 0)$ come se fossero indipendenti.