Esercizio 14funzione a gradini di una esponenziale

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Dati

$X \sim \text{Exp}(\lambda)$, dalle Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →: $F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ per $x \ge 0$ e $F_X(x) = 0$ per $x < 0$; $P(X > t) = e^{-\lambda t}$.

$g$ è una funzione a gradini: assume solo i valori $0, 1, 2$.

(a) Funzione di distribuzione di $Y$

Si usa il metodo generale delle Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →:

$$F_Y(y) = P(g(X) \le y) = P\big(X \in g^{-1}((-\infty, y])\big),$$

dove $g^{-1}((-\infty, y]) = \{x : g(x) \le y\}$ è l'insieme dei punti in cui il grafico di $g$ sta all'altezza $y$ o sotto.

L'insieme $\{x : g(x) \le y\}$ al variare di $y$

Si immagina una retta orizzontale all'altezza $y$ che sale, e si guarda quali gradini restano sotto:

(La soluzione ufficiale scrive $(-\infty, 0]$ e $(-\infty, 1]$: per una v.a. continua la differenza tra estremo incluso ed escluso non cambia la probabilità.)

Le probabilità

• $y < 0$: $F_Y(y) = P(\emptyset) = 0$.
• $0 \le y < 1$: $F_Y(y) = P(X < 0) = 0$, perché un'esponenziale è sempre positiva.
• $1 \le y < 2$: $F_Y(y) = P(X < 1) = F_X(1) = 1 - e^{-\lambda}$. Il passaggio $P(X < 1) = P(X \le 1)$ vale perché $X$ è assolutamente continuaX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue → e quindi $P(X = 1) = 0$.
• $y \ge 2$: $F_Y(y) = P(X \in \mathbb R) = 1$.

$$\boxed{F_Y(y) = \begin{cases} 0 & y < 1 \\ 1 - e^{-\lambda} & 1 \le y < 2 \\ 1 & y \ge 2 \end{cases}}$$

Il tipo

$F_Y$ è costante a tratti, con due salti: in $y = 1$ (altezza $1 - e^{-\lambda}$) e in $y = 2$ (altezza $e^{-\lambda}$). Una FdD a gradini è quella di una v.a. discreta (Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →, Variabili aleatorie misteUna v.a. mista ha una FdD con salti (parte discreta, masse p_i nei punti x_i) e tratti crescenti continui (parte con densità f): E[g(X)] = Σ g(x_i) p_i + ∫ g(x) f(x) dx, con Σ p_i + ∫ f = 1; varianza come sempre E[X²] − E[X]².Variabili aleatorie miste →).

$$\boxed{Y \text{ è discreta}}$$

Era prevedibile: $Y = g(X)$ può assumere solo i valori di $g$, cioè al più $0, 1, 2$. Una funzione a gradini di una v.a. continua produce sempre una v.a. discreta. (Il valore $0$ non è mai assunto, perché richiederebbe $X < 0$.)

(b) Valor medio

Le altezze dei salti sono la densità discreta di $Y$:

$$p_Y(1) = 1 - e^{-\lambda} = P(0 \le X < 1), \qquad p_Y(2) = e^{-\lambda} = P(X \ge 1).$$

Alfabeto $\{1, 2\}$; controllo $p_Y(1) + p_Y(2) = 1$ ✓. Definizione di Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →:

$$E[Y] = 1\cdot(1 - e^{-\lambda}) + 2\cdot e^{-\lambda} = 1 + e^{-\lambda}.$$

$$\boxed{E[Y] = 1 + e^{-\lambda}}$$

Controllo con il teorema fondamentale applicato a $X$, senza passare per la legge di $Y$:

$$E[g(X)] = \int_0^\infty g(x)\lambda e^{-\lambda x}dx = \int_0^1 1\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx + \int_1^\infty 2\lambda e^{-\lambda x}dx = (1 - e^{-\lambda}) + 2e^{-\lambda} \ ✓$$

L'integrale parte da $0$ perché per $x < 0$ la densità di $X$ è nulla (e lì non conta che $g = 0$); si spezza in $1$, dove $g$ cambia valore (additività rispetto all'intervalloL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →). Con la primitiva $-e^{-\lambda x}$ di $\lambda e^{-\lambda x}$: $\int_0^1 \lambda e^{-\lambda x}dx = \big[-e^{-\lambda x}\big]_0^1 = -e^{-\lambda} + 1$, e $\int_1^\infty 2\lambda e^{-\lambda x}dx = 2\big[-e^{-\lambda x}\big]_1^\infty = 2(0 + e^{-\lambda})$, un integrale improprioL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri → in cui $e^{-\lambda x} \to 0$ per $x \to +\infty$.

Plausibilità: $E[Y]$ sta tra $1$ e $2$, perché $0 < e^{-\lambda} < 1$ per $\lambda > 0$; se $\lambda$ è grande ($X$ quasi sempre piccola, media $\frac1\lambda$) $Y$ vale quasi sempre $1$ e $E[Y] \to 1$, perché $e^{-\lambda} \to 0$; se $\lambda \to 0$ ($X$ quasi sempre grande) $e^{-\lambda} \to e^0 = 1$ e $E[Y] \to 2$ ✓ (Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →).

(c) $P(Y < X)$

$Y = g(X)$, quindi l'evento è $\{g(X) < X\}$: bisogna capire per quali $x$ vale $g(x) < x$, e poi calcolare la probabilità che $X$ cada lì. Basta guardare $x \ge 0$ (dove vive $X$):

• $0 \le x < 1$: $g(x) = 1$, e $1 < x$ è falso.
• $1 \le x \le 2$: $g(x) = 2$, e $2 < x$ è falso.
• $x > 2$: $g(x) = 2 < x$, vero.

Graficamente: la bisettrice $y = x$ supera il gradino più alto (quota $2$) solo da $x = 2$ in poi.

Quindi $\{g(X) < X\} = \{X > 2\}$ e, con la probabilità di sopravvivenza dell'esponenziale,

$$P(Y < X) = P(X > 2) = e^{-2\lambda}.$$

(È $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ con $t = 2$; per esempio con $\lambda = 1$ vale $e^{-2} \approx 0{,}135$.)

$$\boxed{P(Y < X) = e^{-2\lambda}}$$

Errori comuni

• Cercare una densità continua per $Y$ derivando la FdD: la derivata è nulla quasi ovunque, perché $Y$ è discreta.
• Includere il valore $0$ nell'alfabeto con probabilità positiva: richiederebbe $X < 0$, impossibile per un'esponenziale.
• In (c) confrontare $Y$ con $X$ come se fossero indipendenti: $Y$ è una funzione di $X$, e l'evento si riduce a una condizione sulla sola $X$.
• Dimenticare il caso $1 \le x \le 2$ in (c), concludendo $P(Y < X) = P(X > 1)$.