Esercizio 27media campionaria e massimo di uniformi

---

Dati

$X_k \sim U(0, 1)$ (Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →): $E[X_k] = \frac12$, $\text{Var}(X_k) = \frac1{12}$, e

$$F_{X_k}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & 0 \le x < 1 \\ 1 & x \ge 1. \end{cases}$$

Da dove vengono: la densità vale $1$ su $[0, 1]$, quindi $E[X_k] = \int_0^1 x\,dx = \frac12$, $E[X_k^2] = \int_0^1 x^2dx = \frac13$ e $\text{Var}(X_k) = \frac13 - \frac14 = \frac{1}{12}$; per $0 \le x < 1$, $F_{X_k}(x) = \int_0^x 1\,dt = x$ (la probabilità di un intervallo dentro $[0, 1]$ è la sua lunghezza).

(a) La media campionaria

Legge dei grandi numeri

Le $X_k$ sono i.i.d. (indipendenti e con la stessa legge) con varianza finita $\frac1{12}$: sono esattamente le ipotesi della legge debole dei grandi numeriPer v.a. i.i.d. con varianza finita, la media campionaria converge in probabilità alla media comune.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo →. Quindi

$$\boxed{\bar X_n \xrightarrow{p} \frac12}$$

Con la stima esplicita (ChebyshevP(abs(Y − E(Y)) ≥ ε) ≤ Var(Y) / ε².Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen →): $E[\bar X_n] = \frac12$, $\text{Var}(\bar X_n) = \frac{1}{12n}$, quindi per ogni $\varepsilon > 0$ $$P\left(\left|\bar X_n - \tfrac12\right| > \varepsilon\right) \le \frac{1}{12n\varepsilon^2} \to 0.$$

La media e la varianza di $\bar X_n$ vengono dalla linearità e dall'indipendenza: $E[\bar X_n] = \frac1n \cdot n \cdot \frac12 = \frac12$ e $\text{Var}(\bar X_n) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{12n}$ (il fattore $\frac1n$ esce al quadrato dalla varianza). Ad esempio con $n = 100$ ed $\varepsilon = 0{,}1$ la maggiorazione vale $\frac{1}{12 \cdot 100 \cdot 0{,}01} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083$.

Distribuzione

La convergenza in probabilità implica quella in distribuzione (Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →):

$$\boxed{\bar X_n \xrightarrow{d} \frac12}$$

Il limite è la v.a. costante $\frac12$, con FdD $0$ per $x < \frac12$ e $1$ per $x \ge \frac12$: la convergenza delle $F_{\bar X_n}$ vale in ogni $x \ne \frac12$. (La legge forte aggiunge che la convergenza è anche quasi certa.) Il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale → descrive le fluttuazioni attorno a $\frac12$: $\bar X_n \approx N\left(\frac12, \frac{1}{12n}\right)$, una campana sempre più stretta.

(b) Funzione di distribuzione del massimo

L'idea chiave

Il massimo di $n$ numeri è $\le x$ se e solo se tutti i numeri sono $\le x$:

$$\{Z_n \le x\} = \{X_1 \le x\} \cap \{X_2 \le x\} \cap \dots \cap \{X_n \le x\}.$$

(Se anche uno solo dei numeri supera $x$, il massimo supera $x$; viceversa, se nessuno lo supera, nemmeno il più grande lo fa.) Per l'indipendenza delle $X_k$ gli eventi $\{X_k \le x\}$ sono indipendentiA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi →, quindi la probabilità dell'intersezione è il prodotto, e le $X_k$ hanno tutte la stessa FdD:

$$F_{Z_n}(x) = P(X_1 \le x)\cdots P(X_n \le x) = \big(F_{X_1}(x)\big)^n$$

(vedi Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →, massimo e minimo di v.a. indipendenti).

Con le uniformi

Si eleva alla $n$ ogni tratto di $F_{X_1}$:

$$\boxed{F_{Z_n}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x^n & 0 \le x < 1 \\ 1 & x \ge 1 \end{cases}}$$

Per $0 \le x < 1$ si ha $F_{X_1}(x) = x$ e quindi $x^n$; fuori da $[0, 1)$ si ha $0^n = 0$ e $1^n = 1$.

Densità (non richiesta): derivando, $f_{Z_n}(x) = nx^{n-1}$ su $[0, 1]$ (derivata di una potenzaDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →: $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$); la media è $E[Z_n] = \int_0^1 x\cdot nx^{n-1}dx = \frac{n}{n + 1}$, che tende a $1$. Il conto: $x \cdot nx^{n-1} = nx^n$, una primitiva è $\frac{n\,x^{n+1}}{n + 1}$, e tra $0$ e $1$ vale $\frac{n}{n + 1}$ (Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →). Ad esempio con $n = 10$ il massimo vale in media $\frac{10}{11} \approx 0{,}909$.

(c) Convergenza del massimo

Distribuzione

Limite di $F_{Z_n}(z)$ con $z$ fissato:

• $z < 0$: $F_{Z_n}(z) = 0 \to 0$;
• $0 \le z < 1$: $F_{Z_n}(z) = z^n \to 0$, perché una potenza di un numero in $[0, 1)$ tende a zero (è la successione geometrica $q^n$ con $|q| < 1$, vedi Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →; ad esempio $0{,}9^{50} \approx 0{,}005$);
• $z \ge 1$: $F_{Z_n}(z) = 1 \to 1$.

$$\lim_{n\to\infty}F_{Z_n}(z) = \begin{cases} 0 & z < 1 \\ 1 & z \ge 1 \end{cases}$$

È la FdD della costante $1$:

$$\boxed{Z_n \xrightarrow{d} 1}$$

Probabilità

Convergenza in distribuzione verso una costante ⇒ convergenza in probabilità alla stessa costante:

$$\boxed{Z_n \xrightarrow{p} 1}$$

Verifica diretta. $Z_n \le 1$ sempre, quindi per $\varepsilon \in (0, 1)$ $$P(|Z_n - 1| > \varepsilon) = P(Z_n < 1 - \varepsilon) = (1 - \varepsilon)^n \to 0 \ ✓$$

Passaggi: poiché $Z_n \le 1$, $|Z_n - 1| = 1 - Z_n$, e $1 - Z_n > \varepsilon$ equivale a $Z_n < 1 - \varepsilon$. $Z_n$ è assolutamente continua, quindi $P(Z_n < 1 - \varepsilon) = P(Z_n \le 1 - \varepsilon) = F_{Z_n}(1 - \varepsilon) = (1 - \varepsilon)^n$. Per $\varepsilon \ge 1$ l'evento è impossibile ($Z_n \ge 0$) e la probabilità è $0$.

Ad esempio, con $n = 100$ uniformi la probabilità che il massimo sia sotto $0{,}95$ è $0{,}95^{100} \approx 0{,}006$.

Interpretazione. Con tante uniformi su $[0, 1]$, prima o poi qualcuna cade vicinissima a $1$, e il massimo si "incolla" all'estremo destro dell'intervallo.

Errori comuni

• (b) Scrivere $F_{Z_n}(x) = nF(x)$ o $1 - (1 - F(x))^n$: la seconda è la formula del minimo.
• (b) Elevare alla $n$ anche gli zeri e gli uni senza pensarci: va bene ($0^n = 0$, $1^n = 1$), ma la FdD va scritta su tutta la retta.
• (c) Dire che il limite di $z^n$ è $0$ anche in $z = 1$: lì vale $1$ per ogni $n$.
• (a) Citare la legge dei grandi numeri senza verificarne le ipotesi (i.i.d., varianza o media finita).