Vettori aleatori assolutamente continui

Punto 4 del programma, caso continuo ("funzione di ripartizione congiunta e marginale; densità congiunta e marginale; indipendenza; somma e funzioni scalari di vettori aleatori"). Prerequisiti: Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →, Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →. Seguito: Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →, Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

Tutto funziona come nel caso discretoUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →, con integrali doppi al posto delle somme doppie.

Funzione di ripartizione congiunta

Definizione (funzione di ripartizione congiunta). La funzione di ripartizione congiunta (FdR) di un vettore $(X, Y)$ è $$F_{X,Y}(x, y) := P(X \le x, Y \le y), \qquad (x, y) \in \mathbb R^2.$$

Esempio. $(X, Y)$ uniforme su $[0,1]^2$: $F_{X,Y}(x, y) = xy$ per $x, y \in [0,1]$ (la probabilità di una regione del quadrato è la sua area, e il pezzo di quadrato con ascissa $\le x$ e ordinata $\le y$ è il rettangolo $[0, x] \times [0, y]$, di area $xy$).

È la generalizzazione della Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione → di una v.a.: è la probabilità che il punto aleatorio $(X, Y)$ cada nel "quadrante" in basso a sinistra del punto $(x, y)$. Vale per qualsiasi vettore (discreto, continuo, misto) e determina la legge del vettore.

Marginali dalla FdR. Mandando $y \to +\infty$, l'evento $\{Y \le y\}$ cresce fino a $\Omega$, quindi $\{X \le x, Y \le y\}$ cresce fino a $\{X \le x\} \cap \Omega = \{X \le x\}$; per la continuità della probabilitàSe A_1 ⊆ A_2 ⊆ ... allora P(unione degli A_n) = lim P(A_n); per successioni decrescenti vale lo stesso con l'intersezione.Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di Borel → lungo successioni crescenti di eventi

$$F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} F_{X,Y}(x, y), \qquad F_Y(y) = \lim_{x \to +\infty} F_{X,Y}(x, y).$$

Probabilità di un rettangolo: $P(a < X \le b, c < Y \le d) = F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c)$.

Perché. $F(b, d)$ è la probabilità del quadrante con vertice $(b, d)$. Per restare col solo rettangolo si tolgono la striscia a sinistra ($X \le a$, cioè il quadrante con vertice $(a, d)$) e quella in basso ($Y \le c$, quadrante con vertice $(b, c)$). Le due strisce si sovrappongono nel quadrante con vertice $(a, c)$, che così è stato tolto due volte e va riaggiunto una volta: è la formula di inclusione-esclusioneP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).Misura di probabilità e sue proprietà → applicata alle due strisce.

Densità congiunta

Definizione (densità congiunta). Il vettore $(X, Y)$ è assolutamente continuo se esiste $f_{X,Y} : \mathbb R^2 \to [0, +\infty)$ tale che $$P((X, Y) \in A) = \iint_A f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy \qquad \text{per ogni } A \subseteq \mathbb R^2 \text{ boreliano}.$$ In particolare $\iint_{\mathbb R^2} f_{X,Y} = 1$ e $F_{X,Y}(x, y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(s, t) \, dt \, ds$.

L'integrale doppio e il modo di calcolarlo come due integrali semplici uno dentro l'altro (formule di riduzione) sono in Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →. Le due formule "in particolare" sono la definizione con $A = \mathbb R^2$ (evento certo) e con $A = (-\infty, x] \times (-\infty, y]$ (il quadrante della FdR).

Esempio. $f_{X,Y} = 1$ su $[0,1]^2$ (e $0$ altrove) è una densità congiunta: $\iint f_{X,Y} = 1$ (l'integrale di $1$ su una regione è la sua area, e il quadrato ha area $1$).

Interpretazione. $f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy$ è la probabilità che il punto cada in un rettangolino di lati $dx$, $dy$ attorno a $(x, y)$: probabilità per unità di area. Le probabilità sono volumi sotto la superficie $z = f(x, y)$.

Dalla FdR alla densità: $f_{X,Y}(x, y) = \dfrac{\partial^2 F_{X,Y}}{\partial x \, \partial y}(x, y)$ dove la derivata esiste.

Perché. Nella formula $F_{X,Y}(x, y) = \int_{-\infty}^x \Big(\int_{-\infty}^y f_{X,Y}(s, t) \, dt\Big) ds$ la variabile $x$ compare solo come estremo superiore dell'integrale esterno: per il teorema fondamentale del calcolo integraleLa derivata di x ↦ ∫ da a a x di g(s) ds è g(x), nei punti in cui g è continua.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale → la derivata parzialeLa derivata parziale ∂f/∂xi(x0) è la derivata della funzione di una variabile che si ottiene fissando tutte le altre variabili: in pratica si deriva in xi trattando le altre come costanti. Il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. La derivata direzionale lungo un versore v è il limite di [f(x0 + hv) − f(x0)]/h. In più variabili avere tutte le derivate (anche direzionali) non garantisce la continuità.Derivate parziali e derivate direzionali → in $x$ è $\int_{-\infty}^y f_{X,Y}(x, t) \, dt$. Derivando di nuovo, in $y$, lo stesso teorema dà $f_{X,Y}(x, y)$. Esempio: dall'uniforme sul quadrato, $\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(xy) = \frac{\partial}{\partial y}(y) = 1$ ✓.

Conseguenza: curve e segmenti hanno area nulla, quindi probabilità nulla. Ad esempio $P(X = Y) = 0$ e $P(Y = 2X) = 0$ per ogni vettore a.c. (l'integrale doppio su una regione di area nulla è $0$, qualunque sia la funzione integrata). È l'analogo di $P(X = x) = 0$ per una sola v.a. continua.

Trovare la costante

Come per una v.a., si impone $f \ge 0$ e $\iint f = 1$.

Esempio (II parziale 15.01.2026, Esercizio 17 · densità congiunta c(x+y) sul quadrato): $f(x, y) = c(x + y)$ sul quadrato $[0, 3]^2$.

$$\int_0^3 \int_0^3 (x + y) \, dx \, dy = \int_0^3 \left[\frac{x^2}{2} + xy\right]_{x=0}^{x=3} dy = \int_0^3 \left(\frac92 + 3y\right) dy = \frac{27}{2} + \frac{27}{2} = 27,$$

quindi $c = \frac{1}{27}$.

I passaggi. Per Fubini si integra prima in $x$ tenendo $y$ fisso: una primitiva di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{x^2}{2} + xy$ ($y$ si comporta come una costante, e la primitiva di una costante $y$ è $yx$). Tra $0$ e $3$ vale $\frac92 + 3y - 0$. Poi si integra in $y$: $\int_0^3 \frac92 \, dy = \frac92 \cdot 3 = \frac{27}{2}$ e $\int_0^3 3y \, dy = 3 \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^3 = 3 \cdot \frac92 = \frac{27}{2}$. La condizione $c \ge 0$ basta per $f \ge 0$, perché $x + y \ge 0$ sul quadrato; da $c \cdot 27 = 1$ si ricava $c$.

Densità marginali

Formula (densità marginali di un vettore continuo). Se $(X, Y)$ è a.c., allora $X$ e $Y$ sono a.c. con densità $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dy, \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dx.$$

Esempio. $f_{X,Y}(x,y) = x + y$ su $[0,1]^2$: $f_X(x) = \int_0^1 (x + y)\,dy = \left[xy + \frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{y=1} = x + \frac{1}{2}$ per $x \in [0, 1]$ (qui $x$ è fisso e fa da costante).

Perché. $P(X \le x) = P((X, Y) \in (-\infty, x] \times \mathbb R) = \int_{-\infty}^x \left(\int_{\mathbb R} f_{X,Y}(s, y) \, dy\right) ds$, dove l'integrale doppio sulla striscia $(-\infty, x] \times \mathbb R$ è stato scritto con FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini → integrando prima in $y$. La funzione tra parentesi è quindi una funzione $\ge 0$ il cui integrale fino a $x$ dà $F_X(x)$: è proprio la definizione di densità di XX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →. È l'analogo di "sommare sulla riga" della tabella discreta: si "schiaccia" tutta la probabilità sull'asse $x$.

Esempio (quadrato): per $x \in [0, 3]$ $$f_X(x) = \frac{1}{27}\int_0^3 (x + y) \, dy = \frac{1}{27}\left(3x + \frac92\right) = \frac x9 + \frac16,$$ e $0$ fuori. Infatti $\int_0^3 x \, dy = 3x$ ($x$ è costante rispetto a $y$) e $\int_0^3 y \, dy = \frac92$; poi $\frac{3x}{27} = \frac x9$ e $\frac{9/2}{27} = \frac{9}{54} = \frac16$. Controllo: $\int_0^3 \left(\frac x9 + \frac16\right) dx = \frac{9}{18} + \frac36 = 1$ ✓. Per simmetria ($f(x, y) = f(y, x)$: scambiando i nomi delle variabili la densità non cambia) $f_Y$ è la stessa funzione.

Regioni non rettangolari: il punto più delicato

Quando la densità è positiva su un triangolo o su un'altra regione non rettangolare, gli estremi di integrazione dipendono dalla variabile fissata. Conviene sempre disegnare la regione.

Esempio (II appello 12.02.2026, Esercizio 21 · densità condizionata e proprietà della torre): $f_{X,Y}(x, y) = 3y$ sul triangolo $T = \{0 \le x \le y \le 1\}$.

Lo stesso triangolo si descrive in due modi:

• "per $y$ fissato": $0 \le y \le 1$ e $0 \le x \le y$;
• "per $x$ fissato": $0 \le x \le 1$ e $x \le y \le 1$.

Per la marginale di $X$ si fissa $x$ e si integra in $y$ sul segmento verticale dentro $T$, cioè da $y = x$ a $y = 1$:

$$f_X(x) = \int_x^1 3y \, dy = \left[\frac{3y^2}{2}\right]_{y=x}^{y=1} = \frac32 - \frac{3x^2}{2} = \frac32(1 - x^2), \qquad 0 \le x \le 1.$$

Per la marginale di $Y$ si fissa $y$ e si integra in $x$ da $0$ a $y$: $f_Y(y) = \int_0^y 3y \, dx = 3y \cdot (y - 0) = 3y^2$ su $[0, 1]$ (la funzione integrata $3y$ non dipende da $x$, quindi l'integrale è la costante per la lunghezza $y$ dell'intervallo). Controlli: $\int_0^1 \frac32(1 - x^2) \, dx = \frac32\left(1 - \frac13\right) = 1$ ✓ e $\int_0^1 3y^2 \, dy = 1$ ✓. È il caso "dominio normale" di Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →: il triangolo è normale rispetto a entrambi gli assi.

Errore classico: scrivere $f_X(x) = \int_0^1 3y \, dy = \frac32$, dimenticando che per un $x$ fissato non tutti gli $y \in [0, 1]$ stanno nel triangolo.

Indipendenza

Definizione (indipendenza di variabili assolutamente continue). $X$ e $Y$ (con $(X, Y)$ a.c.) sono indipendenti se e solo se $$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) \, f_Y(y) \qquad \text{per (quasi) ogni } (x, y).$$ Equivalentemente, $F_{X,Y}(x, y) = F_X(x) F_Y(y)$ per ogni $(x, y)$.

Esempio. $f_{X,Y}(x,y) = 4xy$ su $[0,1]^2$ è il prodotto di $f_X(x) = 2x$ e $f_Y(y) = 2y$: $X$ e $Y$ sono indipendenti. Le marginali si trovano come sopra: $f_X(x) = \int_0^1 4xy \, dy = 4x \cdot \frac12 = 2x$, e allo stesso modo $f_Y(y) = 2y$.

Criteri pratici.

1. Costruzione: se il testo dice che $X$ e $Y$ sono indipendenti, la congiunta è il prodotto. Esempio (I appello 15.01.2026, Esercizio 16 · due esponenziali indipendenti, quadrato e somma): $X, Y \sim \text{Exp}(2)$ indipendenti danno $f_{X,Y}(x, y) = 2e^{-2x} \cdot 2e^{-2y} = 4e^{-2(x + y)}$ per $x, y \ge 0$ (densità esponenziale $\lambda e^{-\lambda x}$ da Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →, e $e^a e^b = e^{a+b}$).
2. Fattorizzazione: se $f_{X,Y}(x, y) = g(x) h(y)$ e la regione in cui è positiva è un rettangolo (anche illimitato), $X$ e $Y$ sono indipendenti. Perché: le marginali sono $f_X(x) = g(x) \int h$ e $f_Y(y) = h(y) \int g$, e da $\iint f = \int g \cdot \int h = 1$ segue $f_X(x) f_Y(y) = g(x) h(y) \cdot \int g \int h = g(x) h(y) = f_{X,Y}(x, y)$. Il rettangolo serve perché gli integrali di $g$ e di $h$ si fanno su intervalli fissi: se gli estremi dipendessero dall'altra variabile, la fattorizzazione dell'integrale doppio non varrebbe più.
3. Supporto non rettangolare ⇒ non indipendenti. Sul triangolo $T$ dell'esempio, il punto $(x, y) = (0{,}9;\ 0{,}1)$ ha $f_{X,Y} = 0$ (non sta in $T$), mentre $f_X(0{,}9) > 0$ e $f_Y(0{,}1) > 0$: il prodotto è positivo, quindi non sono indipendenti. Intuitivamente: sapere che $Y$ è piccolo costringe anche $X$ a essere piccolo.
4. Non fattorizzabile: $c(x + y)$ sul quadrato non si scrive come $g(x)h(y)$; in concreto $f(0, 0) = 0$ mentre $f_X(0) f_Y(0) = \frac16 \cdot \frac16 = \frac{1}{36} \ne 0$. Un solo punto non basterebbe (la densità si può cambiare su un insieme di area nulla), ma qui le due funzioni sono continue e diverse in tutto un intorno di $(0, 0)$, quindi su un insieme di area positiva.

Valore medio di funzioni del vettore

Formula (valore medio di una funzione del vettore). $$E[g(X, Y)] = \iint_{\mathbb R^2} g(x, y) \, f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy.$$

Esempio. $f_{X,Y} = 1$ su $[0,1]^2$: $E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy\,dx\,dy = \int_0^1 x \, dx \cdot \int_0^1 y \, dy = \frac12 \cdot \frac12 = \frac{1}{4}$.

Come nel discreto, ne seguono la linearità $E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$ (sempre) e, per v.a. indipendenti, $E[g(X) h(Y)] = E[g(X)] E[h(Y)]$. Il secondo fatto, scritto per esteso: $$E[g(X) h(Y)] = \int \!\! \int g(x) h(y) f_X(x) f_Y(y) \, dx \, dy = \int g(x) f_X(x) \, dx \cdot \int h(y) f_Y(y) \, dy:$$ la funzione integrata è un prodotto di una funzione della sola $x$ per una della sola $y$, e su un rettangolo (qui tutto $\mathbb R^2$) per Fubini l'integrale doppio si spezza nel prodotto di due integrali semplici. È quello che si è fatto nell'esempio qui sopra.

Esempio (quadrato): $E[XY] = \frac{1}{27}\int_0^3\int_0^3 xy(x + y) \, dx \, dy$. Moltiplicando, $xy(x + y) = x^2 y + x y^2$. Per simmetria (scambiando i nomi di $x$ e $y$ un addendo diventa l'altro, e il quadrato resta lo stesso) i due addendi danno lo stesso contributo: $\int_0^3\int_0^3 x^2 y \, dx\, dy = \int_0^3 x^2 \, dx \cdot \int_0^3 y \, dy = 9 \cdot \frac92 = \frac{81}{2}$ (con $\int_0^3 x^2 \, dx = \frac{27}{3} = 9$), quindi $E[XY] = \frac{1}{27} \cdot 2 \cdot \frac{81}{2} = \frac{81}{27} = 3$. Con $E[X] = \int_0^3 x\left(\frac x9 + \frac16\right) dx = \int_0^3 \frac{x^2}{9} \, dx + \int_0^3 \frac x6 \, dx = \frac{27}{27} + \frac{9}{12} = 1 + \frac34 = \frac74$ (e lo stesso per $E[Y]$) si ottiene $E[XY] - E[X]E[Y] = 3 - \frac{49}{16} = -\frac{1}{16}$: la covarianza è negativa, conferma della non indipendenza (Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →).

Probabilità di eventi che coinvolgono entrambe le v.a.

$P(X < Y)$, $P(X + Y \le 1)$, $P(\max(X, Y) \le t)$ si calcolano integrando la densità congiunta sulla regione corrispondente.

Esempio. $X, Y \sim \text{Exp}(\lambda)$ indipendenti. $P(X < Y)$: si integra su $\{0 \le x < y\}$, fissando $x$ e facendo variare $y$ da $x$ a $\infty$:

$$P(X < Y) = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} \left(\int_x^\infty \lambda e^{-\lambda y} dy\right) dx = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} e^{-\lambda x} dx = \frac{\lambda}{2\lambda} = \frac12,$$

come ci si aspetta per simmetria.

I passaggi. L'integrale interno è un integrale improprioL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri →: una primitiva di $\lambda e^{-\lambda y}$ è $-e^{-\lambda y}$, quindi $$\int_x^\infty \lambda e^{-\lambda y} \, dy = \lim_{M \to +\infty} \big[-e^{-\lambda y}\big]_x^M = \lim_{M \to +\infty} \big(e^{-\lambda x} - e^{-\lambda M}\big) = e^{-\lambda x},$$ perché $e^{-\lambda M} \to 0$ (Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →). È la coda $P(Y > x)$ dell'esponenziale. Poi $e^{-\lambda x} e^{-\lambda x} = e^{-2\lambda x}$ e, con lo stesso conto, $\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda x} \, dx = \lambda \cdot \frac{1}{2\lambda} = \frac12$.

Con parametri diversi, $X \sim \text{Exp}(\lambda)$ e $Y \sim \text{Exp}(\mu)$, l'integrale interno diventa $e^{-\mu x}$ e $$P(X < Y) = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} e^{-\mu x} \, dx = \lambda \int_0^\infty e^{-(\lambda + \mu) x} \, dx = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}.$$

Vettori di dimensione $n$

Tutto si estende a $(X_1, \dots, X_n)$: densità $f(x_1, \dots, x_n)$ con integrale $n$-plo uguale a $1$; marginali integrando sulle altre variabili; indipendenza se la densità è il prodotto delle $n$ marginali. Il caso più importante è il vettore gaussianoX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

Riepilogo

Errori comuni

• Estremi di integrazione costanti su regioni non rettangolari: disegnare sempre il supporto e decidere quale variabile si fissa.
• Concludere l'indipendenza dalla sola fattorizzazione della formula, ignorando che il supporto è un triangolo (es. $f = 2$ su $\{0 \le x \le y \le 1\}$ è costante, quindi "fattorizzabile", ma $X$ e $Y$ non sono indipendenti).
• Dimenticare le indicatrici nella marginale: $f_X(x) = \frac x9 + \frac16$ vale solo per $x \in [0, 3]$.
• Calcolare la densità di una somma moltiplicando le densità: per $X + Y$ serve la convoluzione (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →).