Esercizio 12somma di due geometriche indipendenti

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Dati

$X \sim \text{Geo}(\frac12)$: numero di lanci di una moneta equa fino alla prima testa. Dalla Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →:

$$p_X(n) = \left(1 - \tfrac12\right)^{n-1}\cdot\tfrac12 = \frac{1}{2^n}, \quad n = 1, 2, \dots; \qquad E[X] = \frac1p = 2; \qquad P(X > n) = \left(\tfrac12\right)^n.$$

Stesse formule per $Y$.

(a) $P(X > E[X])$ (entrambi i testi)

$E[X] = 2$, quindi l'evento è $\{X > 2\}$: "nei primi due lanci non è uscita testa". Per la probabilità di lunga attesa $P(X > n) = (1 - p)^n$ (i primi $n$ lanci sono tutti croce, e i lanci sono indipendenti):

$$P(X > E[X]) = P(X > 2) = \left(\tfrac12\right)^2 = \frac14.$$

$$\boxed{P(X > E[X]) = \frac14}$$

Controllo col complementare: $P(X \le 2) = p_X(1) + p_X(2) = \frac12 + \frac14 = \frac34$ ✓.

Nota: anche se $E[X] = 2$, la probabilità di superare la media è solo $\frac14$ (e $P(X \ge 2) = P(X > 1) = \frac12$): la geometrica è asimmetrica, con una coda lunga a destra che "tira su" la media.

(b, testo 2) $E\left[\left(\frac32\right)^X\right]$

Per il teorema fondamentale del valor medioE(g(X)) = somma di g(n) p_X(n): non serve la legge di g(X).Valore atteso → con $g(n) = \left(\frac32\right)^n$:

$$E[W] = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac32\right)^n \frac1{2^n} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac34\right)^n.$$

(Prodotto di potenze con lo stesso esponente: $\frac{3^n}{2^n} \cdot \frac{1}{2^n} = \frac{3^n}{4^n} = \left(\frac34\right)^n$.)

È una serie geometricaLa somma dei q^n per n da 1 a infinito vale q/(1 − q) quando il modulo di q è minore di 1.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → di ragione $\frac34 < 1$, quindi converge (a termini positivi, quindi anche assolutamente, come richiede il teorema):

$$E[W] = \frac{3/4}{1 - 3/4} = \frac{3/4}{1/4} = 3.$$

$$\boxed{E[W] = 3}$$

(La soluzione ufficiale scrive la somma da $n = 0$ e toglie il termine $n = 0$, che vale $1$: $\frac{1}{1 - 3/4} - 1 = 4 - 1 = 3$. È lo stesso calcolo.)

Osservazione. Se la base fosse $2$ invece di $\frac32$, la ragione sarebbe $1$ e la serie divergerebbe: $E[2^X] = +\infty$ (tutti i termini valgono $1$, quindi non tendono a $0$ e manca la condizione necessaria di convergenzaUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →). Il valore atteso esiste solo se $\frac{s}{2} < 1$, cioè per $s < 2$. Confronto con JensenMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen →: $\left(\frac32\right)^{E[X]} = \frac94 = 2{,}25 \le 3 = E[W]$ ✓ (la funzione $x \mapsto (3/2)^x$ è convessa).

(b, testo 1) / (c, testo 2): alfabeto e densità di $Z = X + Y$

Alfabeto

$X$ e $Y$ valgono almeno $1$, quindi $Z \ge 2$. Ogni intero $n \ge 2$ si ottiene (ad esempio $X = 1$, $Y = n - 1$). Quindi

$$\mathcal X_Z = \{2, 3, 4, \dots\}.$$

Densità: convoluzione discreta

Si spezza $\{Z = n\}$ secondo il valore di $Y$ (formula delle probabilità totaliSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes → con la partizione $\{Y = j\}$, $j = 1, 2, \dots$), come in Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →:

$$p_Z(n) = P(X + Y = n) = \sum_{j} P(X = n - j \mid Y = j)\,P(Y = j).$$

Indipendenza: $P(X = n - j \mid Y = j) = P(X = n - j)$ (sapere $Y$ non cambia la legge di $X$).

Estremi: serve $j \ge 1$ (valore di $Y$) e $n - j \ge 1$ (valore di $X$), cioè $1 \le j \le n - 1$.

$$p_Z(n) = \sum_{j=1}^{n-1} P(X = n - j)\,P(Y = j) = \sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^{n-j}}\cdot\frac1{2^j} = \sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^n} = \frac{n - 1}{2^n}.$$

Ogni termine vale $\frac1{2^n}$ (gli esponenti si sommano sempre a $n$: $2^{n-j} \cdot 2^j = 2^n$) e i termini sono $n - 1$ (gli interi da $1$ a $n - 1$), quindi la somma è $(n - 1) \cdot \frac{1}{2^n}$.

La somma $\sum_j p_X(n - j)\, p_Y(j)$ è la convoluzione discreta delle due densità: è la stessa operazione di Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà → per i segnali a tempo discreto, con le densità al posto dei segnali.

$$\boxed{p_Z(n) = \frac{n - 1}{2^n}, \qquad n = 2, 3, \dots}$$

Controlli.

• $p_Z(2) = \frac14$: unica possibilità $X = Y = 1$, probabilità $\frac12\cdot\frac12$ ✓.
• $p_Z(3) = \frac28 = \frac14$: due possibilità, $(1, 2)$ e $(2, 1)$, ciascuna $\frac18$ ✓.
• Somma: $\sum_{n \ge 2}\frac{n-1}{2^n} = \sum_{m \ge 1}\frac{m}{2^{m+1}} = \frac12\sum_m m\left(\frac12\right)^m = \frac12 \cdot \frac{1/2}{(1/2)^2} = 1$ ✓ (usando $\sum_m m q^m = \frac{q}{(1-q)^2}$). Passaggi: con $m = n - 1$ l'indice parte da $m = 1$ e $2^n = 2^{m+1} = 2 \cdot 2^m$. La formula $\sum_{m \ge 1} m q^m = \frac{q}{(1-q)^2}$ si ottiene derivando termine a termine la serie geometrica, $\sum_{m \ge 1} m q^{m-1} = \frac{1}{(1-q)^2}$ (Serie di potenze e serie di TaylorLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor →, come per la media in Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →), e moltiplicando per $q$. Con $q = \frac12$: $\frac{1/2}{1/4} = 2$, e $\frac12 \cdot 2 = 1$.
• Media: $E[Z] = E[X] + E[Y] = 4$ per la linearità del valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →. Controllo diretto: $E[Z] = \sum_{n \ge 2} n \frac{n - 1}{2^n}$, che con $\sum_{n \ge 2} n(n-1) q^{n-2} = \frac{2}{(1-q)^3}$ dà $q^2 \cdot \frac{2}{(1-q)^3} = \frac14 \cdot 16 = 4$ ✓.

Interpretazione. $Z$ è il numero di lanci necessari per ottenere due teste: $\{Z = n\}$ significa che il lancio $n$ è testa e tra i primi $n - 1$ c'è esattamente una testa ($n - 1$ posizioni), ognuna di queste sequenze ha probabilità $\frac1{2^n}$ (sono $n$ lanci di una moneta equa con esito fissato). $X$ è il lancio della prima testa e $Y$ il numero di lanci in più che servono per la seconda: dopo la prima testa si riparte da capo, per l'indipendenza dei lanci.

(c, testo 1) $P(X = 3 \mid Z = 5)$

Per definizione di Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata →:

$$P(X = 3 \mid Z = 5) = \frac{P(X = 3, Z = 5)}{P(Z = 5)}.$$

Numeratore. Se $X = 3$, allora $Z = 5$ equivale a $Y = 2$: gli eventi $\{X = 3, Z = 5\}$ e $\{X = 3, Y = 2\}$ coincidono. Per l'indipendenza:

$$P(X = 3, Y = 2) = \frac1{2^3}\cdot\frac1{2^2} = \frac1{32}.$$

Denominatore, dal punto precedente: $P(Z = 5) = \frac{4}{2^5} = \frac{4}{32}$.

$$P(X = 3 \mid Z = 5) = \frac{1/32}{4/32} = \frac14.$$

$$\boxed{P(X = 3 \mid Z = 5) = \frac14}$$

Perché proprio $\frac14$. Sapendo che $Z = 5$, le coppie possibili sono $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$, e hanno tutte la stessa probabilità $\frac1{32}$ (per l'indipendenza $P(X = i, Y = j) = \frac{1}{2^i} \cdot \frac{1}{2^j} = \frac{1}{2^{i+j}}$, che dipende solo da $i + j = 5$).

Il punto $(3, 2)$ è l'unico con $X = 3$. Quindi, dato $Z = 5$, $X$ è uniforme su $\{1, 2, 3, 4\}$, e ogni valore ha probabilità $\frac14$. In generale, dato $Z = n$, $X$ è uniforme su $\{1, \dots, n - 1\}$: la prima testa può essere in qualunque posizione prima della seconda, con la stessa probabilità.

Errori comuni

• In (a) usare $P(X \ge 2)$ invece di $P(X > 2)$.
• Estremi della convoluzione da $0$ a $n$: la geometrica parte da $1$, quindi $j$ va da $1$ a $n - 1$.
• Alfabeto $\{1, 2, \dots\}$ o $\{0, 1, \dots\}$: la somma di due v.a. $\ge 1$ è $\ge 2$.
• Nella condizionata, scrivere $P(X = 3)P(Z = 5)$ al numeratore: $X$ e $Z$ non sono indipendenti ($Z$ contiene $X$).