Esercizio 6malattia XXX, Bayes e approssimazione di Poisson

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Impostazione: dare un nome agli eventi

L'esperimento dei punti (a) e (b) è: "si sceglie a caso un individuo del campione". Gli eventi utili sono

• $M$ = "l'individuo è maschio", $F$ = "l'individuo è femmina";
• $A$ = "l'individuo è malato".

$M$ e $F$ sono complementari ($F = M^c$): formano una partizioneDue eventi disgiunti che insieme coprono tutto Ω: ogni individuo è maschio o femmina, mai entrambi.Spazio campionario ed eventi → di $\Omega$. È la struttura tipica "in due fasi" (prima il sesso, poi la malattia) delle probabilità totaliP(A) = P(A ∣ M) P(M) + P(A ∣ F) P(F).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →.

Traduzione dei dati.

• "Metà maschi e metà femmine", individuo scelto a caso: $\mathbb{P}(M) = \mathbb{P}(F) = \frac{1000}{2000} = 0{,}5$.
• "Lo $0{,}4\%$ della popolazione maschile" è una percentuale calcolata tra i maschi: è una probabilità condizionata, $\mathbb{P}(A \mid M) = 0{,}004$. Allo stesso modo $\mathbb{P}(A \mid F) = 0{,}005$.

Attenzione: $0{,}004$ non è $\mathbb{P}(A \cap M)$ ("maschio e malato"), che è più piccola.

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(a) Probabilità che l'individuo sia malato

Non sappiamo il sesso dell'individuo, ma sappiamo la probabilità di malattia per ciascun sesso: è esattamente la situazione della formula delle probabilità totaliSe gli A_i formano una partizione, P(B) è la media delle P(B ∣ A_i) pesata con le P(A_i).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes → con la partizione $\{M, F\}$:

$$\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \mid M)\, \mathbb{P}(M) + \mathbb{P}(A \mid F)\, \mathbb{P}(F) = 0{,}004 \cdot 0{,}5 + 0{,}005 \cdot 0{,}5 = 0{,}002 + 0{,}0025 = 0{,}0045$$

$$\boxed{\mathbb{P}(A) = 0{,}0045 = 0{,}45\%}$$

Controllo: è una media pesata di $0{,}004$ e $0{,}005$ con pesi uguali, quindi deve stare esattamente a metà ✓. I due addendi hanno anche un significato: $0{,}002 = \mathbb{P}(A \cap M)$ e $0{,}0025 = \mathbb{P}(A \cap F)$ (regola del prodotto).

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(b) Probabilità che un malato sia maschio

Ora si conosce l'"effetto" (malato) e si chiede la "causa" (sesso): si inverte il condizionamento, da $\mathbb{P}(A \mid M)$ a $\mathbb{P}(M \mid A)$. È il compito della formula di BayesP(M ∣ A) = P(A ∣ M) P(M) / P(A).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →:

$$\mathbb{P}(M \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A \mid M)\, \mathbb{P}(M)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{0{,}004 \cdot 0{,}5}{0{,}0045} = \frac{0{,}002}{0{,}0045} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$$

(il denominatore $\mathbb{P}(A) = 0{,}0045$ è quello trovato in (a); per togliere i decimali si moltiplicano numeratore e denominatore per $10\,000$, poi si divide per $5$).

$$\boxed{\mathbb{P}(M \mid A) = \frac49 \approx 0{,}444}$$

Perché meno di $\frac12$. A priori maschi e femmine sono ugualmente probabili, ma le femmine si ammalano di più: tra i malati sono quindi in maggioranza ($\mathbb{P}(F \mid A) = \frac{0{,}0025}{0{,}0045} = \frac59$). Le due probabilità a posteriori sommano a $1$ ✓.

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(c) Più di 5 femmine malate

La variabile aleatoria e la sua legge

Ora l'esperimento è diverso: si guarda l'intero campione. Sia $X$ = numero di femmine malate tra le 1000 femmine del campione.

Ogni femmina è malata con probabilità $p = 0{,}005$, e (implicitamente) le femmine si ammalano indipendentemente l'una dall'altra. Contare i "successi" (malate) in $n = 1000$ prove indipendenti con la stessa probabilità $p$ è esattamente lo schema del modello binomialeSe X conta i successi in n prove indipendenti con probabilità p, allora P(X = k) = (n su k) p^k (1−p)^(n−k).Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →:

$$X \sim \text{Bin}(1000;\ 0{,}005), \qquad \mathbb{P}(X = k) = \binom{1000}{k} (0{,}005)^k (0{,}995)^{1000-k}, \quad k = 0, \dots, 1000$$

Passare al complementare

"Maggiore di 5" significa $X \in \{6, 7, \dots, 1000\}$: sono 995 termini. Il complementare $\{X \le 5\}$ ne ha solo 6, quindi

$$\mathbb{P}(X > 5) = 1 - \mathbb{P}(X \le 5) = 1 - \sum_{k=0}^{5} \binom{1000}{k} (0{,}005)^k (0{,}995)^{1000-k}$$

L'approssimazione di Poisson

I coefficienti $\binom{1000}{k}$ e le potenze $0{,}995^{1000-k}$ sono scomodi a mano. Quando $n$ è grande, $p$ è piccolo e $\lambda = np$ è moderato, la binomiale si approssima con la distribuzione di PoissonPoi(λ): P(Y = k) = e^(−λ) λ^k / k!, per k = 0, 1, 2, ...; approssima Bin(n, p) con λ = np se n è grande e p piccolo.Distribuzione di Poisson → di parametro $\lambda = np$. Qui

$$n = 1000 \ \text{(grande)}, \qquad p = 0{,}005 \ \text{(piccolo)}, \qquad \lambda = np = 1000 \cdot 0{,}005 = 5$$

Le condizioni sono soddisfatte.

Perché l'approssimazione funziona (in breve). Con $p = \frac{\lambda}{n}$ la densità binomiale si riscrive $$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \Big(1 - \frac{\lambda}{n}\Big)^{n} \cdot \Big(1 - \frac{\lambda}{n}\Big)^{-k}.$$ Per $n \to \infty$ con $k$ fisso: il primo fattore è un prodotto di $k$ frazioni $\frac{n}{n}, \frac{n-1}{n}, \dots$ che tendono tutte a $1$; il terzo tende a $e^{-\lambda}$ per il limite notevole(1 + x/n)^n tende a e^x per n che tende a infinito; qui x = −λ.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x$ con $x = -\lambda$; il quarto tende a $1$. Resta $e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$, la densità di Poisson. Qui ad esempio $0{,}995^{1000} = \left(1 - \frac{5}{1000}\right)^{1000} \approx 0{,}00665$, contro $e^{-5} \approx 0{,}00674$. I dettagli sono in Distribuzione di PoissonPoi(λ) conta eventi rari: P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! per k = 0, 1, 2, …, con media e varianza entrambe uguali a λ; approssima la binomiale Bin(n, p) quando n è grande e p piccolo, con λ = np.Distribuzione di Poisson →.

Con $Y \sim \text{Poi}(5)$:

$$\mathbb{P}(X > 5) \simeq \mathbb{P}(Y > 5) = 1 - \mathbb{P}(Y \le 5) = \boxed{1 - e^{-5} \sum_{k=0}^{5} \frac{5^k}{k!}}$$

Il valore numerico (calcolato con Python)

$$e^{-5} \sum_{k=0}^5 \frac{5^k}{k!} = e^{-5}\left(1 + 5 + \frac{25}{2} + \frac{125}{6} + \frac{625}{24} + \frac{3125}{120}\right) \approx 0{,}6160 \implies \mathbb{P}(Y > 5) \approx 0{,}3840$$

In dettaglio: gli addendi valgono $1$; $5$; $12{,}5$; $20{,}833$; $26{,}042$; $26{,}042$ (gli ultimi due coincidono perché $\frac{5^5}{5!} = \frac{5^4}{4!} \cdot \frac{5}{5}$), la somma è $\frac{1097}{12} \approx 91{,}417$, e $e^{-5} \approx 0{,}006738$, quindi $91{,}417 \cdot 0{,}006738 \approx 0{,}6160$.

Il valore binomiale esatto è $\mathbb{P}(X > 5) \approx 0{,}38404$: l'approssimazione è eccellente (differenza dell'ordine di $10^{-7}$ in questo caso particolare; in generale l'errore è dell'ordine di $p$).

Plausibilità: la media di $X$ è $np = 5$; "più di 5" è "più della media", e per una distribuzione quasi simmetrica attorno a 5 ci si aspetta poco meno di metà della probabilità (il valore 5 stesso si prende circa il $17{,}5\%$). $0{,}384$ è coerente.

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Errori comuni

• Leggere $0{,}004$ come $\mathbb{P}(A \cap M)$ invece che come $\mathbb{P}(A \mid M)$.
• In (b) rispondere $0{,}004$ o $0{,}5$: Bayes combina entrambi.
• In (c) usare $n = 2000$ o $p = 0{,}0045$: la domanda riguarda solo le femmine, quindi $n = 1000$ e $p = 0{,}005$.
• Confondere "maggiore di 5" con "almeno 5": $\mathbb{P}(X > 5) = 1 - \mathbb{P}(X \le 5)$, la somma arriva a $k = 5$ incluso.
• Usare la Poisson con $\lambda = p$ invece di $\lambda = np$.