Esercizio 2eventi di probabilità 0 e 1

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Gli strumenti

Si usano solo le proprietà della probabilitàPer ogni evento 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Aᶜ) = 1 − P(A); se A ⊆ B allora P(A) ≤ P(B); P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).Misura di probabilità e sue proprietà →:

• $0 \le \mathbb{P}(E) \le 1$ per ogni evento $E$;
• $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$;
• monotonia: $E \subseteq F \Rightarrow \mathbb{P}(E) \le \mathbb{P}(F)$;
• complementare: $\mathbb{P}(E^c) = 1 - \mathbb{P}(E)$.

Strategia per mostrare che una probabilità vale esattamente $0$ (o $1$): si dimostrano due disuguaglianze, $\ge 0$ (che è gratis) e $\le 0$. Due numeri che sono uno $\le$ e uno $\ge$ dell'altro sono uguali.

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1. $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = 0 \implies \mathbb{P}(A \cup B) = 0$

Primo modo: formula dell'unione

$$0 \le \mathbb{P}(A \cup B) = \underbrace{\mathbb{P}(A)}_{= 0} + \underbrace{\mathbb{P}(B)}_{= 0} - \underbrace{\mathbb{P}(A \cap B)}_{\ge 0} \le 0$$

• La prima disuguaglianza vale perché ogni probabilità è $\ge 0$.
• L'ultima perché si sottrae un numero $\mathbb{P}(A \cap B) \ge 0$ a $0 + 0$.

Quindi $0 \le \mathbb{P}(A \cup B) \le 0$, cioè $\mathbb{P}(A \cup B) = 0$ ∎.

(Di passaggio: anche $\mathbb{P}(A \cap B) = 0$, perché $A \cap B \subseteq A$ e per monotonia $\mathbb{P}(A \cap B) \le \mathbb{P}(A) = 0$.)

Secondo modo: subadditività

È la soluzione ufficiale del parziale. La probabilità è subadditiva, $\mathbb{P}(A \cup B) \le \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ (si toglie $\mathbb{P}(A \cap B) \ge 0$), quindi

$$0 \le \mathbb{P}(A \cup B) \le \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) = 0 + 0 = 0$$

Generalizzazione. Lo stesso vale per un'unione numerabile: se $\mathbb{P}(A_n) = 0$ per ogni $n$, allora $\mathbb{P}\big(\bigcup_n A_n\big) \le \sum_n \mathbb{P}(A_n) = 0$. "Un'unione numerabile di eventi trascurabili è trascurabile."

Da dove viene la disuguaglianza con la serie (σ-subadditività). Si rendono disgiunti gli eventi togliendo a ciascuno la parte già coperta dai precedenti: $B_1 = A_1$, $B_n = A_n \setminus (A_1 \cup \dots \cup A_{n-1})$. I $B_n$ sono a due a due disgiunti, hanno la stessa unione degli $A_n$ (ogni esito dell'unione sta nel $B_n$ con $n$ il primo indice per cui sta in $A_n$), e $B_n \subseteq A_n$. Per σ-additività e monotonia $$\mathbb{P}\Big(\bigcup_n A_n\Big) = \mathbb{P}\Big(\bigcup_n B_n\Big) = \sum_n \mathbb{P}(B_n) \le \sum_n \mathbb{P}(A_n).$$ Qui la serieUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → $\sum_n \mathbb{P}(A_n)$ ha tutti i termini nulli, quindi tutte le somme parziali valgono $0$ e la somma è $0$.

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2. $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = 1 \implies \mathbb{P}(A \cap B) = 1$

Primo modo: formula dell'unione rovesciata

Dalla formula dell'unione si ricava l'intersezione:

$$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cup B)$$

Ora $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = 1$ e $\mathbb{P}(A \cup B) \le 1$ (è una probabilità), quindi si sottrae al più $1$:

$$1 \ge \mathbb{P}(A \cap B) = 1 + 1 - \underbrace{\mathbb{P}(A \cup B)}_{\le 1} \ge 2 - 1 = 1$$

Quindi $\mathbb{P}(A \cap B) = 1$ ∎.

Attenzione al verso: sottraendo un numero più piccolo il risultato è più grande; per questo da $\mathbb{P}(A \cup B) \le 1$ segue $2 - \mathbb{P}(A \cup B) \ge 1$.

Secondo modo: passare ai complementari e usare il punto 1

Per la regola del complementare $\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A) = 1 - 1 = 0$ e allo stesso modo $\mathbb{P}(B^c) = 0$. Per il punto 1 applicato a $A^c$ e $B^c$ (il punto 1 vale per due eventi qualsiasi di probabilità $0$, quindi anche per questi):

$$\mathbb{P}(A^c \cup B^c) = 0$$

Per De MorganIl complementare di un'intersezione è l'unione dei complementari.Spazio campionario ed eventi → $A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$, quindi

$$\mathbb{P}(A \cap B) = 1 - \mathbb{P}\big((A \cap B)^c\big) = 1 - \mathbb{P}(A^c \cup B^c) = 1 - 0 = 1$$

Questo secondo modo mostra che i due esercizi sono lo stesso fatto visto attraverso i complementari: "eventi certi" (probabilità 1) e "eventi trascurabili" (probabilità 0) si scambiano passando ai complementari, e unione e intersezione si scambiano con De Morgan.

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Perché questi fatti non sono ovvi

Un evento di probabilità $0$ non è necessariamente vuoto, e uno di probabilità $1$ non è necessariamente $\Omega$. Nel caso continuo, con un tempo di attesa $T$ che ha una densità (per esempio esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →), $\mathbb{P}(T = 3) = \int_3^3 f(t)\,dt = 0$, perché un integraleL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann → su un intervallo di lunghezza zero vale zero: "il tempo di attesa non è esattamente 3 minuti" ha probabilità 1 ma non è tutto $\Omega$. Anche in un modello discreto si può assegnare probabilità $0$ a un esito possibile (per esempio con un dado truccato che non dà mai 6). Quindi non si può ragionare "$A$ e $B$ sono vuoti, quindi lo è anche l'unione": serve davvero la dimostrazione con le proprietà di $\mathbb{P}$.

Errori comuni

• Scrivere $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ senza sapere che $A$ e $B$ sono disgiunti: qui si arriva al risultato giusto solo per caso. La disuguaglianza $\le$ invece vale sempre.
• Scrivere $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) = 1$: presuppone l'indipendenza, che non è data (anche se, a posteriori, eventi di probabilità 0 o 1 sono indipendenti da tuttoA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi →: lo si dimostra proprio con questo tipo di disuguaglianze).
• Concludere $A = \emptyset$ da $\mathbb{P}(A) = 0$.