Esercizio 15densità c(1+x) e radice quadrata

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(a) Costante e funzione di distribuzione

La costante

Condizioni per una densità (Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →):

• segno: su $[0, 1]$ il fattore $1 + x$ è positivo, quindi serve $c > 0$;
• normalizzazione: $$1 = \int_{\mathbb R} f_X = c\int_0^1 (1 + x)\,dx = c\left[x + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = c\left(1 + \frac12\right) = \frac32 c.$$ L'indicatrice riduce l'integrale su $\mathbb R$ a quello su $[0, 1]$; $x + \frac{x^2}{2}$ è una primitiva di $1 + x$, valutata in $1$ dà $\frac32$ e in $0$ dà $0$ (Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →). Da $\frac32 c = 1$ si ricava $c = \frac23$.

$$\boxed{c = \frac23}, \qquad f_X(x) = \frac23(1 + x)\,\mathbb 1_{[0,1]}(x).$$

Geometricamente: sotto la retta $1 + x$ tra $0$ e $1$ c'è un trapezio di basi $1$ e $2$ e altezza $1$, con area $\frac32$; dividendo per $\frac32$ l'area diventa $1$.

La FdD

Tre zone:

• $x < 0$: $F_X(x) = 0$ (nessuna probabilità a sinistra di $0$);
• $0 \le x < 1$: $F_X(x) = \int_{-\infty}^0 0\,dt + \frac23\int_0^x (1 + t)\,dt = \frac23\left[t + \frac{t^2}{2}\right]_0^x = \frac23\left(x + \frac{x^2}{2}\right)$ (la stessa primitiva, valutata tra $0$ e $x$);
• $x \ge 1$: $F_X(x) = 1$.

$$\boxed{F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac23\left(x + \frac{x^2}{2}\right) & 0 \le x < 1 \\ 1 & x \ge 1 \end{cases}}$$

Controllo di continuità: in $0$ vale $0$, in $1$ vale $\frac23\cdot\frac32 = 1$ ✓.

(b) Media e funzione caratteristica

Media

$$E[X] = \int x f_X(x)\,dx = \frac23\int_0^1 x(1 + x)\,dx = \frac23\int_0^1 (x + x^2)\,dx = \frac23\left(\frac12 + \frac13\right) = \frac23\cdot\frac56 = \frac59.$$

Si moltiplica $x(1 + x) = x + x^2$ e si integra termine a termine: $\int_0^1 x\,dx = \frac12$, $\int_0^1 x^2\,dx = \frac13$, con somma $\frac{3 + 2}{6} = \frac56$; poi $\frac23 \cdot \frac56 = \frac{10}{18} = \frac59$.

$$\boxed{E[X] = \frac59 \approx 0{,}556}$$

Plausibile: è un po' più di $\frac12$ perché la densità cresce, quindi pesa di più la parte destra di $[0, 1]$.

Funzione caratteristica

Definizione (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →) e teorema fondamentale del valor medio:

$$\varphi_X(\theta) = E[e^{i\theta X}] = \frac23\int_0^1 e^{i\theta x}(1 + x)\,dx = \frac23\left(\int_0^1 e^{i\theta x}dx + \int_0^1 x e^{i\theta x}dx\right).$$

A meno del segno e del fattore $2\pi$ nell'esponente, $\varphi_X$ è la trasformata di FourierLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi → della densità $f_X$: qui si trasforma un "trapezio" supportato su $[0, 1]$.

Caso $\theta = 0$: $\varphi_X(0) = E[e^{0}] = E[1] = 1$ (vale per ogni v.a.).

Caso $\theta \ne 0$. Si integra l'esponenziale complesso come quello reale, con costante $i\theta$: la derivata di $e^{i\theta x}$ rispetto a $x$ è $i\theta\, e^{i\theta x}$ (vedi Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →), quindi $\frac{e^{i\theta x}}{i\theta}$ è una primitiva di $e^{i\theta x}$ (serve $\theta \ne 0$ per dividere):

$$\int_0^1 e^{i\theta x}dx = \left[\frac{e^{i\theta x}}{i\theta}\right]_0^1 = \frac{e^{i\theta} - 1}{i\theta}.$$

(In $x = 0$ si ha $e^0 = 1$.) Il secondo integrale si fa per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →, con $u = x$ (che derivando diventa $1$) e $dv = e^{i\theta x}dx$ (quindi $v = \frac{e^{i\theta x}}{i\theta}$):

$$\int_0^1 x e^{i\theta x}dx = \left[x\frac{e^{i\theta x}}{i\theta}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{e^{i\theta x}}{i\theta}dx = \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - \frac{e^{i\theta} - 1}{(i\theta)^2}.$$

Il termine di bordo vale $1 \cdot \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - 0$; l'integrale rimasto è il primo integrale diviso ancora per $i\theta$.

Sommando:

$$\boxed{\varphi_X(\theta) = \frac23\left[\frac{e^{i\theta} - 1}{i\theta} + \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - \frac{e^{i\theta} - 1}{(i\theta)^2}\right] \ (\theta \ne 0), \qquad \varphi_X(0) = 1}$$

Volendo, $(i\theta)^2 = i^2\theta^2 = -\theta^2$, quindi l'ultimo termine è $+\frac{e^{i\theta} - 1}{\theta^2}$. Controllo numerico: per $\theta = 1{,}7$ la formula e l'integrale calcolato direttamente danno entrambi $\approx 0{,}517 + 0{,}722\,i$.

Controllo con la media. Deve valere $\varphi_X'(0) = iE[X] = \frac{5}{9}i$ (proprietà dei momenti della Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →). Derivando sotto il segno di integraleSe l'integranda e la sua derivata nel parametro sono continue su un intervallo chiuso e limitato, la derivata dell'integrale è l'integrale della derivata.Integrali dipendenti da parametri → (lecito: si integra su $[0, 1]$ una funzione regolare in $x$ e $\theta$), $\varphi_X'(\theta) = \frac23\int_0^1 ix\,e^{i\theta x}(1 + x)\,dx$, e in $\theta = 0$ si ottiene $\frac23\int_0^1 ix(1 + x)\,dx = i \cdot \frac23 \cdot \frac56 = i\cdot\frac59$ ✓.

(c) Densità di $Z = \sqrt X$ e $P(Z > \frac12)$

Funzione di distribuzione di $Z$

Metodo della FdD (Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →). $X \in [0, 1]$, quindi $Z = \sqrt X \in [0, 1]$: $F_Z(z) = 0$ per $z < 0$ e $F_Z(z) = 1$ per $z \ge 1$.

Per $z \in [0, 1]$: $\sqrt X \le z$ equivale a $X \le z^2$, perché entrambi i lati sono non negativi e il quadrato è crescente su $[0, \infty)$. Quindi

$$F_Z(z) = P(\sqrt X \le z) = P(X \le z^2) = F_X(z^2) = \frac23\left(z^2 + \frac{z^4}{2}\right).$$

Densità

Si deriva (regola della catena, $\frac{d}{dz}z^2 = 2z$):

$$f_Z(z) = \frac{d}{dz}F_X(z^2) = f_X(z^2)\cdot 2z = \frac23(1 + z^2)\cdot 2z = \frac43 z(1 + z^2), \qquad z \in [0, 1].$$

$$\boxed{f_Z(z) = \frac43 z(1 + z^2)\,\mathbb 1_{[0,1]}(z)}$$

È la formula per $g$ monotona, $f_Z(z) = f_X(h(z))\,|h'(z)|$ con $g(x) = \sqrt x$ crescente e la sua inversa $h(z) = z^2$, $h'(z) = 2z \ge 0$. Derivando direttamente la FdD esplicita si ottiene lo stesso: $\frac{d}{dz}\,\frac23\left(z^2 + \frac{z^4}{2}\right) = \frac23(2z + 2z^3) = \frac43 z(1 + z^2)$. Controllo: $\int_0^1 \frac43(z + z^3)dz = \frac43\left(\frac12 + \frac14\right) = \frac43 \cdot \frac34 = 1$ ✓.

$P(Z > \frac12)$

Non serve la densità di $Z$: si traduce l'evento su $X$.

$$P\left(Z > \tfrac12\right) = P\left(\sqrt X > \tfrac12\right) = P\left(X > \tfrac14\right) = 1 - F_X\left(\tfrac14\right).$$

Il secondo passaggio eleva al quadrato i due lati, entrambi non negativi: $\sqrt X > \frac12 \iff X > \frac14$. Poi si usa il complementare.

$$F_X\left(\tfrac14\right) = \frac23\left(\frac14 + \frac{1}{32}\right) = \frac23\cdot\frac{9}{32} = \frac{3}{16}.$$

Qui $\frac{x^2}{2}$ con $x = \frac14$ vale $\frac{1/16}{2} = \frac1{32}$; $\frac14 + \frac1{32} = \frac{8 + 1}{32} = \frac9{32}$; $\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 32} = \frac{18}{96} = \frac{3}{16}$.

$$\boxed{P\left(Z > \tfrac12\right) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}}$$

Controllo con $F_Z$: $1 - F_Z(\frac12) = 1 - \frac23\left(\frac14 + \frac1{32}\right) = \frac{13}{16}$ ✓ (è lo stesso conto, perché $F_Z(\frac12) = F_X(\frac14)$).

Errori comuni

• Dimenticare l'indicatrice e integrare $c(1 + x)$ su tutta la retta.
• Nella FdD di $Z$ scrivere $F_X(\sqrt z)$ invece di $F_X(z^2)$: si inverte la funzione $\sqrt{\cdot}$, la cui inversa è il quadrato.
• Dimenticare il fattore $2z$ derivando $F_X(z^2)$.
• Per $\theta \ne 0$ dividere per $\theta$ invece che per $i\theta$ nell'integrale dell'esponenziale complesso.