Distribuzione gamma

Caso notevole del punto 3 del programma. Prerequisiti: Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →, Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →. Collegamenti: Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →, Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) → (il quadrato di una gaussiana standard è una gamma).

Perché serve

L'esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale → è il tempo d'attesa del primo evento. Il tempo d'attesa del secondo, del terzo, dell'$n$-esimo evento è una somma di esponenziali indipendenti, e la sua legge è una gamma. È la stessa relazione che c'è nel discreto tra la geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica → (prove fino al primo successo) e il numero di prove fino all'$n$-esimo successo.

La funzione Gamma

Serve una costante di normalizzazione che generalizza il fattoriale.

Definizione (funzione Gamma). Per $\alpha > 0$, la funzione Gamma di Eulero è $$\Gamma(\alpha) := \int_0^{+\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} \, dx.$$

Esempio. $\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x}\,dx = 1$ e $\Gamma(n) = (n-1)!$: $\Gamma(4) = 3! = 6$.

L'integrale è improprioL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri → in tutti e due gli estremi e converge per ogni $\alpha > 0$; si spezza in $\int_0^1 + \int_1^\infty$ e si usano i criteri del confrontoPer integrande positive: se f ≤ g e l'integrale di g converge, converge anche quello di f; se f ~ g, convergono o divergono insieme.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →:

• vicino a $0$, $e^{-x} \to 1$, quindi l'integranda è asintotica a $x^{\alpha - 1} = \frac{1}{x^{1 - \alpha}}$, e $\int_0^1 \frac{dx}{x^p}$ converge se e solo se $p < 1$: qui $p = 1 - \alpha < 1$ proprio perché $\alpha > 0$;
• all'infinito l'esponenziale vince su qualunque potenza: $x^{\alpha - 1} e^{-x/2} \to 0$ (gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →), quindi per $x$ grande $x^{\alpha - 1} e^{-x} \le e^{-x/2}$, che ha integrale finito.

Proprietà.

1. $\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} \, dx = \big[-e^{-x}\big]_0^\infty = 0 - (-1) = 1$.
2. $\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \, \Gamma(\alpha)$. Per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti → con $u = x^\alpha$ ($du = \alpha x^{\alpha - 1}\,dx$), $dv = e^{-x} dx$ ($v = -e^{-x}$): $$\Gamma(\alpha + 1) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \, dx = \left[-x^\alpha e^{-x}\right]_0^\infty + \alpha \int_0^\infty x^{\alpha - 1} e^{-x} \, dx = 0 + \alpha \Gamma(\alpha).$$ Il termine di bordo è nullo a tutti e due gli estremi: in $0$ perché $x^\alpha \to 0$ (serve $\alpha > 0$), all'infinito perché $x^\alpha e^{-x} = \frac{x^\alpha}{e^x} \to 0$.
3. Da 1 e 2, per $n$ intero: $\Gamma(n) = (n - 1) \Gamma(n - 1) = (n-1)(n-2)\Gamma(n-2) = \dots = (n - 1)(n - 2) \cdots 1 \cdot \Gamma(1) = (n - 1)!$ (formalmente per induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione → su $n$, con fattorialeFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali → $(n-1)! = 1 \cdot 2 \cdots (n-1)$). La Gamma estende il fattoriale ai reali positivi. Ad esempio $\Gamma(4) = 3\,\Gamma(3) = 3 \cdot 2\,\Gamma(2) = 3 \cdot 2 \cdot 1\,\Gamma(1) = 6$.
4. $\Gamma\left(\frac12\right) = \sqrt\pi$. Con la sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione → $x = \frac{t^2}{2}$, cioè $t = \sqrt{2x}$ con $t \ge 0$: $dx = t\,dt$, $x^{-1/2} = \left(\frac{t^2}{2}\right)^{-1/2} = \frac{\sqrt2}{t}$, e gli estremi restano $0$ (per $x = 0$) e $+\infty$ (per $x \to +\infty$): $$\Gamma\left(\tfrac12\right) = \int_0^\infty \frac{\sqrt2}{t} e^{-t^2/2} \, t \, dt = \sqrt2 \int_0^\infty e^{-t^2/2} \, dt = \sqrt2 \cdot \frac{\sqrt{2\pi}}{2} = \sqrt\pi,$$ usando l'integrale gaussiano $\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2} dt = \sqrt{2\pi}$ (vedi Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →): la funzione $e^{-t^2/2}$ è pariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, quindi l'integrale su $[0, \infty)$ è metà di quello su tutta la retta, $\frac{\sqrt{2\pi}}{2}$; infine $\sqrt2 \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi}}{2} = \frac{2\sqrt\pi}{2}$. Con la proprietà 2 ne segue $\Gamma(\frac32) = \frac12\Gamma(\frac12) = \frac12\sqrt\pi$, $\Gamma(\frac52) = \frac32\Gamma(\frac32) = \frac34\sqrt\pi$, ecc.

Un integrale che torna sempre. Con la sostituzione $y = \lambda x$:

$$\int_0^\infty x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x} \, dx = \frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha}, \qquad \text{in particolare} \quad \int_0^\infty x^n e^{-\lambda x} \, dx = \frac{n!}{\lambda^{n + 1}}.$$

Passaggi: $x = \frac y\lambda$, $dx = \frac{dy}{\lambda}$, gli estremi restano $0$ e $+\infty$ (perché $\lambda > 0$), e $x^{\alpha - 1} = \frac{y^{\alpha - 1}}{\lambda^{\alpha - 1}}$; quindi l'integrale diventa $\frac{1}{\lambda^{\alpha - 1}} \cdot \frac1\lambda \int_0^\infty y^{\alpha - 1} e^{-y}\,dy = \frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha}$. La seconda formula è il caso $\alpha = n + 1$, con $\Gamma(n + 1) = n!$.

Questa formula evita di integrare per parti ripetutamente: ad esempio $\int_0^\infty x^3 e^{-2x} dx$ è il caso $n = 3$, $\lambda = 2$, e vale $\frac{3!}{2^4} = \frac{6}{16} = \frac38$.

Densità

Definizione (distribuzione gamma). $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$, con forma $\alpha > 0$ e tasso $\lambda > 0$, se $$f_X(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \, x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x} \, \mathbb 1_{(0, +\infty)}(x).$$

Esempio. $X \sim \Gamma(2, 2)$ ha densità $f_X(x) = \frac{2^2}{\Gamma(2)}\,x e^{-2x} = 4x e^{-2x}$ per $x > 0$.

Perché quella costante. La parte che "conta" è $x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}$; il suo integrale su $(0, \infty)$ è $\frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha}$ (formula sopra), quindi per avere area $1$ si divide per questo numero.

Ruolo dei parametri.

• $\alpha$ decide la forma: per $\alpha < 1$ la densità esplode in $0$ (perché $x^{\alpha - 1} = \frac{1}{x^{1 - \alpha}}$ con esponente positivo al denominatore); per $\alpha = 1$ vale $\lambda$ in $0$ ed è l'esponenziale; per $\alpha > 1$ parte da $0$, sale fino a un massimo in $x = \frac{\alpha - 1}{\lambda}$ e poi scende. Per $\alpha$ grande assomiglia a una gaussiana (per il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →, essendo somma di tante esponenziali).
• Da dove viene il massimo. Con la regola del prodottoDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →, $\frac{d}{dx}\big(x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\big) = (\alpha - 1)x^{\alpha - 2} e^{-\lambda x} - \lambda x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x} = x^{\alpha - 2} e^{-\lambda x}\big((\alpha - 1) - \lambda x\big)$. Per $x > 0$ i primi due fattori sono positivi, quindi il segno è quello di $(\alpha - 1) - \lambda x$: positivo prima di $\frac{\alpha - 1}{\lambda}$, negativo dopo. La densità cresce e poi decresce, con il massimo in quel punto (Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi →).
• $\lambda$ è un fattore di scala: se $X \sim \Gamma(\alpha, 1)$ allora $Y = X / \lambda \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$. Con il metodo della FdD (Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →): $F_Y(y) = P(X \le \lambda y) = F_X(\lambda y)$, e derivando con la regola della catena $f_Y(y) = \lambda f_X(\lambda y) = \lambda \cdot \frac{(\lambda y)^{\alpha - 1} e^{-\lambda y}}{\Gamma(\alpha)} = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} y^{\alpha - 1} e^{-\lambda y}$.

Casi particolari.

Media e varianza

Proprietà (media e varianza della gamma). Se $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$: $\quad E[X] = \dfrac\alpha\lambda, \qquad \text{Var}(X) = \dfrac{\alpha}{\lambda^2}.$

Esempio. $X \sim \Gamma(3, 2)$: $E[X] = \frac{3}{2}$ e $\text{Var}(X) = \frac{3}{4}$.

Calcolo di tutti i momenti in un colpo. Con la formula $\int_0^\infty x^{\beta - 1} e^{-\lambda x} dx = \Gamma(\beta)/\lambda^\beta$ usata con $\beta = \alpha + k$:

$$E[X^k] = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^\infty x^{\alpha + k - 1} e^{-\lambda x} \, dx = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha + k)}{\lambda^{\alpha + k}} = \frac{\Gamma(\alpha + k)}{\Gamma(\alpha) \, \lambda^k}.$$

• $k = 1$: $\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha)$, quindi $E[X] = \frac{\alpha}{\lambda}$.
• $k = 2$: $\Gamma(\alpha + 2) = (\alpha + 1)\Gamma(\alpha + 1) = (\alpha + 1)\alpha \Gamma(\alpha)$ (proprietà 2 applicata due volte), quindi $E[X^2] = \frac{\alpha(\alpha + 1)}{\lambda^2}$ e $\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \frac{\alpha^2 + \alpha}{\lambda^2} - \frac{\alpha^2}{\lambda^2} = \frac{\alpha}{\lambda^2}$.

Nel primo passaggio della formula per $E[X^k]$ si è usato il teorema del valor medioIl valore atteso di g(X) è l'integrale di g(x) f_X(x) dx: non serve la legge di g(X).Variabili aleatorie assolutamente continue → con $g(x) = x^k$, e il prodotto $x^k \cdot x^{\alpha - 1} = x^{\alpha + k - 1}$; nel secondo la formula dell'integrale con $\alpha + k$ al posto di $\alpha$; nel terzo $\frac{\lambda^\alpha}{\lambda^{\alpha + k}} = \frac{1}{\lambda^k}$.

Controllo con le esponenziali. $\Gamma(n, \lambda)$ è la somma di $n$ esponenziali $\text{Exp}(\lambda)$ indipendenti: per linearità la media è $n \cdot \frac1\lambda$, e per l'indipendenza la varianza della somma è la somma delle varianze (Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →: le covarianze sono nulle), $n \cdot \frac{1}{\lambda^2}$ ✓.

Somme di gamma indipendenti

Teorema (somma di gamma indipendenti). Se $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$ e $Y \sim \Gamma(\beta, \lambda)$ sono indipendenti (stesso tasso $\lambda$), allora $$X + Y \sim \Gamma(\alpha + \beta, \lambda).$$

Le forme si sommano. La dimostrazione con la convoluzione è in Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →; con le funzioni generatrici è una riga (Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti →). Caso più usato: $X_1, \dots, X_n \sim \text{Exp}(\lambda)$ indipendenti danno $X_1 + \dots + X_n \sim \Gamma(n, \lambda)$.

Esempio d'esame (I appello 15.01.2026, Esercizio 16 · due esponenziali indipendenti, quadrato e somma): $X, Y \sim \text{Exp}(2)$ indipendenti, $Z = X + Y \sim \Gamma(2, 2)$, cioè

$$f_Z(z) = \frac{2^2}{\Gamma(2)} z \, e^{-2z} = 4z e^{-2z}, \qquad z > 0.$$

Qui $\text{Exp}(2) = \Gamma(1, 2)$, le forme si sommano ($1 + 1 = 2$) e $\Gamma(2) = 1! = 1$.

Legame con la Poisson

Se gli eventi arrivano con tasso $\lambda$ (tempi tra un evento e l'altro $\text{Exp}(\lambda)$ indipendenti), sia $T_n \sim \Gamma(n, \lambda)$ il tempo dell'$n$-esimo evento e $N_t$ il numero di eventi in $[0, t]$, che ha legge di PoissonPoi(λ) conta eventi rari: P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! per k = 0, 1, 2, …, con media e varianza entrambe uguali a λ; approssima la binomiale Bin(n, p) quando n è grande e p piccolo, con λ = np.Distribuzione di Poisson → $\text{Poi}(\lambda t)$ (media $\lambda t$: tasso per durata). Allora "l'$n$-esimo evento arriva dopo $t$" equivale a "entro $t$ ci sono meno di $n$ eventi":

$$P(T_n > t) = P(N_t \le n - 1) = \sum_{k = 0}^{n - 1} e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!}.$$

Per $n = 1$ si ritrova $P(T_1 > t) = e^{-\lambda t}$ dell'esponenziale ✓. Questa formula dà la FdD della gamma con forma intera senza integrare.

Esempio. Un router riceve in media $2$ pacchetti al millisecondo. Probabilità che il terzo pacchetto arrivi dopo $1$ ms: $\lambda = 2$, $t = 1$, $\lambda t = 2$, $n = 3$, quindi si sommano i termini $k = 0, 1, 2$ della Poisson di parametro $2$: $\frac{2^0}{0!} = 1$, $\frac{2^1}{1!} = 2$, $\frac{2^2}{2!} = 2$, e $P(T_3 > 1) = e^{-2}\left(1 + 2 + \frac{4}{2}\right) = 5e^{-2} \approx 0{,}677$. Lo stesso numero si ottiene integrando la densità $\Gamma(3, 2)$, cioè $\frac{2^3}{2!} x^2 e^{-2x} = 4x^2 e^{-2x}$, da $1$ a $+\infty$ (due integrazioni per parti).

Riepilogo

Errori comuni

• Confondere tasso e scala: qui $\lambda$ è il tasso (la media è $\alpha / \lambda$); altri testi usano la scala $\theta = 1/\lambda$ e scrivono $x^{\alpha - 1} e^{-x/\theta} / (\Gamma(\alpha)\theta^\alpha)$.
• Sommare gamma con tassi diversi aspettandosi una gamma: la regola vale solo con lo stesso $\lambda$.
• Scrivere $\Gamma(n) = n!$: è $(n - 1)!$.