Teorema del limite centrale e approssimazione normale

Ultimo argomento del programma (punto 7: "teorema del limite centrale: enunciato con dimostrazione e applicazioni (approssimazione Gaussiana)"). Prerequisiti: Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →, Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →, Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →, Legge dei grandi numeri e metodo Monte CarloSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ, la media campionaria X̄ₙ = (X₁ + ... + Xₙ)/n converge a μ: in probabilità (legge debole, dimostrata con Chebyshev se la varianza è finita: P(|X̄ₙ − μ| > ε) ≤ σ²/(nε²)) e quasi certamente (legge forte). Metodo Monte Carlo: ∫ g = E[g(U)] si stima con la media di g(U₁), ..., g(Uₙ) per uniformi indipendenti.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo →.

Dalla legge dei grandi numeri al limite centrale

La legge dei grandi numeriSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ, la media campionaria X̄ₙ = (X₁ + ... + Xₙ)/n converge a μ: in probabilità (legge debole, dimostrata con Chebyshev se la varianza è finita: P(|X̄ₙ − μ| > ε) ≤ σ²/(nε²)) e quasi certamente (legge forte). Metodo Monte Carlo: ∫ g = E[g(U)] si stima con la media di g(U₁), ..., g(Uₙ) per uniformi indipendenti.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo → dice che $\bar X_n \to \mu$: la media campionaria si concentra attorno a $\mu$, con fluttuazioni di ampiezza $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ che tendono a zero. Il teorema del limite centrale guarda queste fluttuazioni ingrandite di un fattore $\sqrt n$ e dice qual è la loro forma: gaussiana, qualunque sia la legge delle $X_k$. È il motivo per cui la gaussiana compare ovunque.

Enunciato

Siano $X_1, X_2, \dots$ i.i.d. con media $\mu$ e varianza $\sigma^2 \in (0, +\infty)$, e $S_n = X_1 + \dots + X_n$. Allora $E[S_n] = n\mu$, $\text{Var}(S_n) = n\sigma^2$, e la somma standardizzata è

$$Z_n := \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt n} = \frac{\bar X_n - \mu}{\sigma / \sqrt n}.$$

(Le due scritture coincidono: si divide numeratore e denominatore per $n$, e $\frac{\sigma\sqrt n}{n} = \frac{\sigma}{\sqrt n}$.) $Z_n$ ha media $0$ e varianza $1$ per costruzione.

Passaggi. $E[S_n] = n\mu$ per la linearità del valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →; $\text{Var}(S_n) = n\sigma^2$ perché le $X_k$ sono indipendenti, quindi le covarianze sono nulle e le varianze si sommano (Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →). Poi $Z_n = aS_n + b$ con $a = \frac{1}{\sigma\sqrt n}$ e $b = -\frac{n\mu}{\sigma\sqrt n}$: $E[Z_n] = aE[S_n] + b = \frac{n\mu - n\mu}{\sigma\sqrt n} = 0$ e $\text{Var}(Z_n) = a^2\,\text{Var}(S_n) = \frac{n\sigma^2}{\sigma^2 n} = 1$ (Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →). È la stessa standardizzazione $\frac{X - \mu}{\sigma}$ usata per la gaussianaN(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →.

Teorema del limite centrale (TLC). $Z_n \xrightarrow{d} Z \sim N(0, 1)$, cioè $$\lim_{n\to\infty} P\left(\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt n} \le x\right) = \Phi(x) \qquad \text{per ogni } x \in \mathbb R.$$

Esempio. $S_{100}$ = numero di teste in $100$ lanci di una moneta equa ($n\mu = 50$, $\sigma\sqrt{n} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$): $P(S_{100} \le 55) \approx \Phi\left(\frac{55 - 50}{5}\right) = \Phi(1) \approx 0{,}841$.

Qui ogni lancio è $X_k \sim \text{Be}(\frac12)$, con $\mu = \frac12$ e $\sigma^2 = \frac12\left(1 - \frac12\right) = \frac14$, quindi $\sigma = \frac12$; l'evento $\{S_{100} \le 55\}$ si standardizza sottraendo $50$ e dividendo per $5$ in entrambi i membri (operazioni che non cambiano il verso, perché $5 > 0$). Il valore esatto è $0{,}8644$: l'approssimazione si migliora con la correzione di continuità (sotto), che dà $\Phi(1{,}1) \approx 0{,}864$.

(La convergenza vale in ogni $x$ perché $\Phi$ è continua, quindi non ci sono punti di salto da escludere nella definizione di convergenza in distribuzioneQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →.)

Dimostrazione

Ci si riduce a $\mu = 0$, $\sigma = 1$ sostituendo $X_k$ con $Y_k = \frac{X_k - \mu}{\sigma}$, che sono i.i.d. con media $0$ e varianza $1$; allora $Z_n = \frac{Y_1 + \dots + Y_n}{\sqrt n}$. Infatti $S_n - n\mu = \sum_k (X_k - \mu) = \sigma\sum_k Y_k$ (si distribuisce $n\mu$ come $\mu$ su ciascuno degli $n$ addendi), e dividendo per $\sigma\sqrt n$ il $\sigma$ si semplifica.

Passo 1: funzione caratteristica di $Z_n$. Per l'indipendenza e la proprietà affine (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →), con $\varphi = \varphi_{Y_1}$: $$\varphi_{Z_n}(\theta) = E\left[e^{i\frac{\theta}{\sqrt n}(Y_1 + \dots + Y_n)}\right] = \prod_{k=1}^n \varphi\left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right) = \varphi\left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)^n.$$ L'esponenziale della somma è il prodotto $\prod_k e^{i\frac{\theta}{\sqrt n}Y_k}$; per l'indipendenza la media del prodotto è il prodotto delle medie, e ciascuna media è $\varphi_{Y_k}\left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)$ (affinità con $a = \frac{1}{\sqrt n}$). Le $Y_k$ hanno tutte la stessa legge, quindi gli $n$ fattori sono uguali.

Passo 2: sviluppo di Taylor. Poiché $E[Y_1] = 0$ ed $E[Y_1^2] = 1$, vicino a $0$ $$\varphi(t) = 1 + i E[Y_1] t - \frac{E[Y_1^2]}{2}t^2 + o(t^2) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2).$$ È la Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano → al secondo ordine, con le derivate $\varphi(0) = 1$, $\varphi'(0) = iE[Y_1]$, $\varphi''(0) = i^2E[Y_1^2] = -E[Y_1^2]$ date dal teorema sui momenti della Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica → (serve solo che la varianza sia finita). Con $t = \frac{\theta}{\sqrt n}$ (che tende a $0$ per $\theta$ fissato): $$\varphi\left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right) = 1 - \frac{\theta^2}{2n} + o\left(\frac1n\right).$$ Infatti $t^2 = \frac{\theta^2}{n}$, e un $o(t^2)$ è una quantità che divisa per $t^2 = \frac{\theta^2}{n}$ tende a $0$: è quindi un $o\left(\frac1n\right)$ (Asintoticità e o-piccoloa_n ~ b_n se il loro rapporto tende a 1, a_n = o(b_n) se tende a 0; nei prodotti e quozienti ogni fattore si può sostituire con uno asintotico.Asintoticità e o-piccolo →). Per $\theta = 0$ non c'è niente da dimostrare, perché $\varphi_{Z_n}(0) = 1 = e^0$.

Passo 3: limite. Usando il limite notevoleI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → $\left(1 + \frac{a_n}{n}\right)^n \to e^a$ se $a_n \to a$ (che vale anche per $a_n$ complessi), con $a_n = -\frac{\theta^2}{2} + n \cdot o(\frac1n) \to -\frac{\theta^2}{2}$ (si è scritto $1 - \frac{\theta^2}{2n} + o\left(\frac1n\right) = 1 + \frac{a_n}{n}$, cioè $a_n$ è $n$ volte tutto ciò che segue l'$1$; e $n \cdot o\left(\frac1n\right) \to 0$ per definizione di o-piccolo): $$\varphi_{Z_n}(\theta) = \left(1 - \frac{\theta^2}{2n} + o\left(\frac1n\right)\right)^n \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-\theta^2/2}.$$

Passo 4: Lévy. $e^{-\theta^2/2}$ è la funzione caratteristica di $N(0, 1)$ (continua in $0$). Per il teorema di continuità di LévyX_n converge in distribuzione a X se e solo se le funzioni caratteristiche convergono in ogni punto.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →, $Z_n \xrightarrow{d} N(0, 1)$. ∎

Si vede perché conta solo la varianza: nello sviluppo di Taylor sopravvivono solo media e varianza, tutti gli altri dettagli della legge finiscono nell'$o(t^2)$ e spariscono al limite.

Approssimazione normale

In pratica il TLC si usa "a $n$ fissato e grande": si sostituisce la legge di $S_n$ con quella gaussiana che ha la stessa media e la stessa varianza.

Proprietà (approssimazione normale della somma). Per $n$ grande: $\quad S_n \approx N(n\mu, n\sigma^2), \qquad \bar X_n \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right),$ $$P(S_n \le x) \approx \Phi\left(\frac{x - n\mu}{\sigma\sqrt n}\right).$$

Esempio. $S_{100}$ = somma di $100$ lanci di dado ($\mu = \frac{7}{2}$, $\sigma^2 = \frac{35}{12}$): $S_{100} \approx N\left(350, \frac{3500}{12}\right)$, con varianza $\approx 291{,}7$.

Passaggi. Per un dado equo $\mu = \frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac72$ ed $E[X^2] = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$, quindi $\sigma^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$. Moltiplicando per $n = 100$: media $350$, varianza $\frac{3500}{12} \approx 291{,}7$, deviazione standard $\approx 17{,}08$. Ad esempio $P(S_{100} \le 330) \approx \Phi\left(\frac{330{,}5 - 350}{17{,}08}\right) = \Phi(-1{,}14) \approx 0{,}127$ (con la correzione di continuità, perché $S_{100}$ è a valori interi); il valore esatto, calcolato sommando la legge della somma, è $0{,}1269$.

Metodo. (1) Riconoscere $S_n$ come somma di $n$ v.a. i.i.d.; (2) calcolare $E[S_n] = n\mu$ e $\text{Var}(S_n) = n\sigma^2$; (3) standardizzare l'evento; (4) sostituire con $\Phi$.

Caso binomiale: teorema di De Moivre-Laplace

$X \sim \text{Bin}(n, p)$ è la somma di $n$ Bernoulli $\text{Be}(p)$ i.i.d. (Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →), con $\mu = p$ e $\sigma^2 = p(1 - p)$. Quindi $n\mu = np$ e $n\sigma^2 = np(1 - p)$, e

Formula (approssimazione normale della binomiale, De Moivre-Laplace). $$\text{Bin}(n, p) \approx N\big(np, \ np(1 - p)\big), \qquad P(X \le k) \approx \Phi\left(\frac{k - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right).$$

Esempio. $X \sim \text{Bin}(100, \frac{1}{2})$: $X \approx N(50, 25)$ e $P(X \le 55) \approx \Phi\left(\frac{55 - 50}{5}\right) = \Phi(1) \approx 0{,}841$.

È stata la prima versione storica del teorema. Regola pratica: l'approssimazione è buona se $np \ge 5$ e $n(1 - p) \ge 5$ (o, più prudentemente, $np(1 - p) \ge 10$). Se invece $n$ è grande ma $np$ è piccolo, conviene l'approssimazione di PoissonPoi(λ) conta eventi rari: P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! per k = 0, 1, 2, …, con media e varianza entrambe uguali a λ; approssima la binomiale Bin(n, p) quando n è grande e p piccolo, con λ = np.Distribuzione di Poisson →. Il motivo: con $p$ vicino a $0$ (o a $1$) la binomiale è molto asimmetrica, schiacciata contro lo $0$, mentre la gaussiana è simmetrica e metterebbe probabilità anche sui valori negativi.

Correzione di continuità

La binomiale prende solo valori interi, la gaussiana è continua. $P(X \le 47)$ e $P(X < 48)$ sono la stessa probabilità binomiale, ma la gaussiana darebbe due numeri diversi. Il compromesso è tagliare a metà strada tra i due interi:

Formula (correzione di continuità). Per $X$ a valori interi: $\quad P(X \le k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right), \qquad P(X \ge k) \approx 1 - \Phi\left(\frac{k - 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right).$

Esempio. $X \sim \text{Bin}(100, \frac{1}{2})$: $P(X \le 55) \approx \Phi\left(\frac{55{,}5 - 50}{5}\right) = \Phi(1{,}1) \approx 0{,}864$. Il valore esatto è $0{,}8644$: senza correzione si otteneva $\Phi(1) \approx 0{,}841$, con la correzione l'errore scende da $0{,}023$ a meno di $0{,}001$.

Idea grafica: ogni valore intero $j$ corrisponde al rettangolo di base $[j - \frac12, j + \frac12]$ nell'istogramma della densità (rettangolo di base $1$ e altezza $P(X = j)$, quindi di area $P(X = j)$; vedi il grafico sopra); sommare i rettangoli fino a $k$ significa arrivare fino a $k + \frac12$. Per $P(X \ge k)$ il primo rettangolo incluso è quello di $k$, che inizia in $k - \frac12$.

Esempi d'esame

Teste di due monete

(I appello 15.01.2026, Esercizio 23 · teste di due monete e approssimazione normale.) $Y \sim \text{Bin}(100, \frac12)$: $E[Y] = 50$, $\text{Var}(Y) = 25$, $\sigma_Y = 5$.

$$P(Y \le 47) \approx \Phi\left(\frac{47 - 50}{5}\right) = \Phi(-0{,}6) = 1 - \Phi(0{,}6) \approx 0{,}274,$$ $$\text{con correzione:} \quad P(Y \le 47{,}5) \approx \Phi\left(\frac{47{,}5 - 50}{5}\right) = 1 - \Phi(0{,}5) \approx 0{,}309.$$

Il valore esatto è $0{,}3086$: la correzione di continuità migliora molto il risultato.

Passaggi. $\frac{47 - 50}{5} = -0{,}6$, e per la simmetria della gaussiana $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →): dalle tavole $\Phi(0{,}6) \approx 0{,}7257$, quindi $1 - 0{,}7257 \approx 0{,}274$. Con la correzione $\frac{47{,}5 - 50}{5} = -0{,}5$ e $\Phi(0{,}5) \approx 0{,}6915$, quindi $\approx 0{,}309$.

Lotto: il numero 33

(II appello 12.02.2026, Esercizio 11 · lotto, numero 33 per 90 settimane.) $X \sim \text{Bin}(90, \frac1{18})$, $E[X] = 5$, $\text{Var}(X) = 90 \cdot \frac1{18}\cdot\frac{17}{18} = \frac{85}{18} \approx 4{,}72$.

$$P(X > 6) \approx P\left(Z > \frac{6 - 5}{\sqrt{85/18}}\right) = 1 - \Phi\left(\sqrt{\tfrac{18}{85}}\right) = 1 - \Phi(0{,}46) \approx 0{,}32.$$

Con la correzione ($X > 6 \iff X \ge 7$, si taglia a $6{,}5$): $1 - \Phi\left(\frac{1{,}5}{2{,}17}\right) = 1 - \Phi(0{,}69) \approx 0{,}245$; il valore esatto è circa $0{,}23$. Qui $np = 5$ è al limite della regola pratica.

Passaggi. $E[X] = np = \frac{90}{18} = 5$; $\text{Var}(X) = np(1 - p) = 5 \cdot \frac{17}{18} = \frac{85}{18} \approx 4{,}72$, e $\sqrt{4{,}72} \approx 2{,}17$. Senza correzione l'argomento è $\frac{1}{2{,}17} \approx 0{,}46$, con $\Phi(0{,}46) \approx 0{,}677$; con la correzione è $\frac{6{,}5 - 5}{2{,}17} \approx 0{,}69$, con $\Phi(0{,}69) \approx 0{,}755$. Il valore esatto $1 - \sum_{k=0}^6\binom{90}{k}\left(\frac1{18}\right)^k\left(\frac{17}{18}\right)^{90-k} \approx 0{,}234$.

Quante prove servono per stimare una probabilità

Si vuole stimare $p$ con la frequenza $\bar X_n$, con errore al più $0{,}01$ con probabilità $95\%$. Per il TLC $\bar X_n \approx N(p, \frac{p(1 - p)}{n})$, quindi $$P(|\bar X_n - p| \le 0{,}01) \approx 2\Phi\left(\frac{0{,}01\sqrt n}{\sqrt{p(1 - p)}}\right) - 1 \ge 0{,}95 \iff \frac{0{,}01\sqrt n}{\sqrt{p(1 - p)}} \ge 1{,}96.$$ Passaggi. Standardizzando, $|\bar X_n - p| \le 0{,}01$ diventa $|Z| \le c$ con $c = \frac{0{,}01}{\sqrt{p(1 - p)/n}} = \frac{0{,}01\sqrt n}{\sqrt{p(1 - p)}}$, e $P(|Z| \le c) = \Phi(c) - \Phi(-c) = 2\Phi(c) - 1$. La condizione $2\Phi(c) - 1 \ge 0{,}95$ equivale a $\Phi(c) \ge 0{,}975$, cioè $c \ge 1{,}96$ (dalle tavole, $\Phi$ è crescente). Nel caso peggiore $p(1 - p) = \frac14$, cioè $\sqrt{p(1 - p)} = \frac12$: $0{,}02\sqrt n \ge 1{,}96$, $\sqrt n \ge 98$, cioè $n \ge 9\,604$. Chebyshev chiedeva $50\,000$ prove: il TLC è molto più preciso perché usa la forma della legge, non solo la varianza.

Somma di uniformi

La somma di $12$ uniformi $U(0, 1)$ indipendenti ha media $6$ e varianza $12 \cdot \frac{1}{12} = 1$: $S_{12} - 6$ è approssimativamente $N(0, 1)$. Era un vecchio metodo per generare numeri gaussiani al computer. Già con $2$ addendi la densità è un triangolo (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →), con $3$ è fatta di archi di parabola e somiglia già a una campana. Ogni addendo in più è una nuova convoluzioneIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà → con il rettangolo $\mathbb 1_{[0,1]}$, che "smussa" la densità precedente.

Riepilogo

Le ultime due righe vengono dal TLC perché $\text{Poi}(\lambda)$ con $\lambda$ intero è la somma di $\lambda$ Poisson di parametro $1$ indipendenti (media e varianza $1$ ciascuna), e $\Gamma(n, \lambda)$ è la somma di $n$ esponenziali $\text{Exp}(\lambda)$ indipendenti (media $\frac1\lambda$, varianza $\frac1{\lambda^2}$ ciascuna), come si vede con la Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti →.

Errori comuni

• Dividere per la varianza invece che per la deviazione standard: si divide per $\sigma\sqrt n$, non per $\sigma^2 n$.
• Usare la varianza di una singola $X_k$ invece di quella della somma ($n\sigma^2$).
• Applicare la correzione di continuità nel verso sbagliato: per $P(X \le k)$ si usa $k + 0{,}5$, per $P(X \ge k)$ si usa $k - 0{,}5$, per $P(X > k) = P(X \ge k + 1)$ si usa $k + 0{,}5$.
• Arrotondare risultati come $1 - \Phi(0{,}46)$ a zero: $\Phi(0{,}46) \approx 0{,}68$, quindi la probabilità è circa $0{,}32$, tutt'altro che trascurabile. Prima di approssimare, guardare quanto vale l'argomento di $\Phi$.
• Pensare che il TLC renda gaussiana ogni singola $X_k$: riguarda la somma (o la media) di tante.