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Note per Studenti Esercizio - massimo e minimo di due dadi, linearità senza indipendenza

Esercizio - massimo e minimo di due dadi, linearità senza indipendenza

Teoria: Linearità del valore atteso e variabili indicatriciLa linearità $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ vale sempre, anche senza indipendenza; con le variabili indicatrici ($E[I_A]=P(A)$) trasforma un conteggio in una somma di probabilità. Applicazioni: attesa del primo successo $1/p$, collezionista di figurine $nH_n$, punti fissi di una permutazione (media $1$), record (media $H_n$), inversioni ($n(n-1)/4$), attesa condizionata, identità di Wald $E[S_N]=E[N]E[X]$.Linearità del valore atteso e variabili indicatrici → (linearità senza indipendenza), Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →.

Testo. Si lanciano due dadi equi indipendenti, con esiti AA e BB. Sia M=max⁡(A,B)M=\max(A,B) e m=min⁡(A,B)m=\min(A,B).

  1. Calcolare E[M]E[M] con la formula E[M]=∑k≥1P(M≥k)E[M]=\sum_{k\ge1}P(M\ge k).
  2. Calcolare E[m]E[m] senza una nuova tabella, usando la linearità.
  3. Dimostrare (domanda da orale) che E[X+Y]=E[X]+E[Y]E[X+Y]=E[X]+E[Y] vale senza indipendenza, e mostrare con MM e mm che E[Mm]≠E[M]E[m]E[Mm]\ne E[M]E[m].

Soluzione

1. Attesa del massimo. Per una variabile a valori interi positivi E[M]=∑k=16P(M≥k)E[M]=\sum_{k=1}^{6}P(M\ge k) (formula delle code: Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →). Il complementare di M≥kM\ge k è M≤k−1M\le k-1, cioè entrambi i dadi ≤k−1\le k-1, con probabilità (k−16)2\big(\frac{k-1}6\big)^2 per l'indipendenza. Quindi P(M≥k)=1−(k−1)236:1, 3536, 3236, 2736, 2036, 1136(k=1..6).P(M\ge k)=1-\frac{(k-1)^2}{36}:\quad1,\ \tfrac{35}{36},\ \tfrac{32}{36},\ \tfrac{27}{36},\ \tfrac{20}{36},\ \tfrac{11}{36}\quad(k=1..6). Somma: 36+35+32+27+20+1136=16136≈4,472\frac{36+35+32+27+20+11}{36}=\frac{161}{36}\approx4{,}472.

2. Attesa del minimo. Per ogni coppia di valori max⁡+min⁡=A+B\max+\min=A+B (la somma non cambia ordinando i due numeri). Per linearità E[M]+E[m]=E[A]+E[B]=3,5+3,5=7E[M]+E[m]=E[A]+E[B]=3{,}5+3{,}5=7, quindi E[m]=7−16136=252−16136=9136≈2,528.E[m]=7-\frac{161}{36}=\frac{252-161}{36}=\frac{91}{36}\approx2{,}528. Controllo diretto: P(m≥k)=(7−k6)2P(m\ge k)=\big(\frac{7-k}6\big)^2, cioè 36+25+16+9+4+136=9136\frac{36+25+16+9+4+1}{36}=\frac{91}{36}. ✓

3a. Linearità senza indipendenza (dimostrazione). E[X]=∑ωX(ω)P(ω)E[X]=\sum_\omega X(\omega)P(\omega) (somma sugli esiti). Allora E[X+Y]=∑ω(X+Y)(ω)P(ω)=∑ωX(ω)P(ω)+∑ωY(ω)P(ω)=E[X]+E[Y]E[X+Y]=\sum_\omega(X+Y)(\omega)P(\omega)=\sum_\omega X(\omega)P(\omega)+\sum_\omega Y(\omega)P(\omega)=E[X]+E[Y]. Nessun passaggio coinvolge la distribuzione congiunta. MM e mm ne sono un esempio: sono evidentemente dipendenti (se M=1M=1 allora m=1m=1), eppure E[M+m]=E[M]+E[m]=7E[M+m]=E[M]+E[m]=7.

3b. Il prodotto non si separa. Mm=ABMm=AB (il prodotto non dipende dall'ordine), e A,BA,B sono indipendenti: E[Mm]=E[A]E[B]=3,52=12,25=494E[Mm]=E[A]E[B]=3{,}5^2=12{,}25=\frac{49}4. Invece E[M]E[m]=16136⋅9136=146511296≈11,30≠494.E[M]E[m]=\frac{161}{36}\cdot\frac{91}{36}=\frac{14651}{1296}\approx11{,}30\ne\frac{49}4. La differenza è la covarianza: Cov(M,m)=494−146511296=15876−146511296=12251296≈0,945>0\mathrm{Cov}(M,m)=\frac{49}4-\frac{14651}{1296}=\frac{15876-14651}{1296}=\frac{1225}{1296}\approx0{,}945>0 (MM e mm crescono insieme). Perciò MM e mm non sono indipendenti, ma la linearità vale lo stesso.

Risultato. E[M]=16136≈4,472E[M]=\frac{161}{36}\approx4{,}472, E[m]=9136≈2,528E[m]=\frac{91}{36}\approx2{,}528, E[M]+E[m]=7E[M]+E[m]=7; E[Mm]=494≠E[M]E[m]=146511296E[Mm]=\frac{49}4\ne E[M]E[m]=\frac{14651}{1296}.

Verifica Python: somma esatta sulle 3636 coppie con Fraction: 16136\frac{161}{36}, 9136\frac{91}{36}, E[Mm]=494E[Mm]=\frac{49}4, covarianza 12251296\frac{1225}{1296}.

Versione ripasso

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