Esercizio - Router con due sorgenti Poisson - sovrapposizione, filtraggio e tempo del quinto pacchetto

Teoria: Distribuzione esponenziale e processo di Poisson per l'informaticaL'esponenziale Exp(λ) è l'unica legge continua senza memoria: P(X>s+t | X>s)=P(X>t). Il minimo di esponenziali indipendenti è Exp(Σλ_i) e l'indice del minimo è i con probabilità λ_i/Σλ (indipendente dal valore del minimo); il massimo di n esponenziali Exp(λ) ha media H_n/λ. Il processo di Poisson di intensità λ ha interarrivi Exp(λ) i.i.d., N(t) ~ Poisson(λt) e incrementi indipendenti; la scomposizione (ogni evento tenuto con probabilità p) dà due processi di Poisson indipendenti, la sovrapposizione dà un processo di intensità somma. Applicazioni: carichi Poisson delle urne (poissonizzazione, con costo e√m), server replicati, arrivi durante un servizio.Distribuzione esponenziale e processo di Poisson per l'informatica →; code: Processi di arrivo e processo di PoissonUn sistema a coda ha clienti che arrivano, un'area di attesa e $m$ servitori. Il processo di arrivo è un processo di punto con tempi di interarrivo $\tau_n=t_n-t_{n-1}$ e tasso $\lambda=\frac1{E[\tau]}$. Nel processo di Poisson omogeneo gli arrivi in intervalli disgiunti sono indipendenti e di Poisson con media $\lambda T$, gli interarrivi sono esponenziali $\lambda e^{-\lambda a}$ e senza memoria; somma di processi di Poisson è Poisson (tassi che si sommano), il diradamento con probabilità $p$ dà Poisson di tasso $p\lambda$; in $[0,h]$ c'è un arrivo con probabilità $\lambda h+o(h)$. Servizio con tasso $\mu=\frac1{E[y]}$; notazione di Kendall $A/B/m/K/N-S$.Processi di arrivo e processo di Poisson →.

Testo. Un router riceve pacchetti da due sorgenti indipendenti: $A$ come processo di Poisson di intensità $30$ pacchetti al secondo, $B$ di intensità $50$. Un filtro inoltra un pacchetto di $A$ con probabilità $0{,}2$ e uno di $B$ con probabilità $0{,}6$, indipendentemente dagli altri.

1. Qual è la legge del flusso in uscita? Intensità dei pacchetti scartati?
2. Probabilità di nessun pacchetto in uscita in $50$ ms; probabilità di esattamente $3$ pacchetti in uscita in $100$ ms.
3. Probabilità che un pacchetto in uscita provenga da $A$.
4. Legge e media dell'istante del quinto pacchetto in uscita; probabilità che arrivi entro $100$ ms.
5. Probabilità che in $50$ ms non esca nulla e venga scartato almeno un pacchetto.
6. Dati esattamente $2$ pacchetti in ingresso in un secondo, probabilità che entrambi vengano da $A$ e probabilità che uno venga da $A$ e uno da $B$.

Soluzione

1. Per la scomposizione, i pacchetti inoltrati di $A$ sono Poisson di intensità $30\cdot0{,}2=6$ e quelli di $B$ di intensità $50\cdot0{,}6=30$, indipendenti fra loro (e dagli scartati). Per la sovrapposizione l'uscita è un processo di Poisson di intensità $\boxed{36}$ pacchetti/s. Gli scartati sono Poisson di intensità $30\cdot0{,}8+50\cdot0{,}4=24+20=44$ pacchetti/s, indipendenti dai tenuti. Controllo: $36+44=80=30+50$.

2. In $50$ ms il numero di uscite è $\text{Poisson}(36\cdot0{,}05)=\text{Poisson}(1{,}8)$: $P(0)=e^{-1{,}8}=\boxed{0{,}1653}$. In $100$ ms la media è $3{,}6$: $$P(3)=e^{-3{,}6}\frac{3{,}6^3}{3!}=0{,}02732\cdot\frac{46{,}656}{6}=\boxed{0{,}2125}.$$

3. Per la sovrapposizione ogni pacchetto in uscita viene da $A$ con probabilità $\tfrac{6}{6+30}=\tfrac16\approx0{,}167$, indipendentemente dagli altri.

4. Il tempo del quinto evento è $S_5\sim\text{Erlang}(5,36)$ (somma di $5$ interarrivi $\text{Exp}(36)$): $E[S_5]=\tfrac5{36}=0{,}139$ s. Per la dualità, $S_5\le0{,}1\iff N(0{,}1)\ge5$ con $N(0{,}1)\sim\text{Poisson}(3{,}6)$: $$P(S_5\le0{,}1)=1-\sum_{k=0}^4e^{-3{,}6}\frac{3{,}6^k}{k!}=1-e^{-3{,}6}\Bigl(1+3{,}6+6{,}48+7{,}776+6{,}998\Bigr)=1-0{,}7064=\boxed{0{,}2936}.$$ (Somma: $1+3{,}6+6{,}48+7{,}776+6{,}9984=25{,}8544$, per $e^{-3{,}6}=0{,}027324$.)

5. Uscite e scartati sono processi indipendenti (scomposizione): $P(0\text{ uscite})\cdot P(\ge1\text{ scartato})=e^{-1{,}8}\bigl(1-e^{-44\cdot0{,}05}\bigr)=0{,}1653\cdot(1-e^{-2{,}2})=0{,}1653\cdot0{,}8892=\boxed{0{,}1470}$.

6. Con intensità totale $80$, ogni pacchetto è di $A$ con probabilità $\tfrac{30}{80}=\tfrac38$ indipendentemente. Dati $2$ pacchetti: $P(\text{entrambi da }A)=\bigl(\tfrac38\bigr)^2=\tfrac9{64}=0{,}1406$ e $P(\text{uno }A\text{ e uno }B)=2\cdot\tfrac38\cdot\tfrac58=\tfrac{30}{64}=0{,}4688$. (Il condizionamento sul numero totale non cambia la distribuzione delle provenienze.)

Codice di verifica

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1)

def eventi(lam, T):
    t, out = rng.exponential(1 / lam), []
    while t <= T:
        out.append(t); t += rng.exponential(1 / lam)
    return len(out)

uscite = np.array([
    (rng.random(eventi(30, .1)) < .2).sum() + (rng.random(eventi(50, .1)) < .6).sum()
    for _ in range(30000)])
print("media e varianza uscite in 100 ms:", uscite.mean(), uscite.var())         # circa 3.6, 3.6
print("P(3):", (uscite == 3).mean())                                              # circa 0.2125
S5 = rng.exponential(1 / 36, size=(500_000, 5)).sum(axis=1)
print("E[S5]:", S5.mean(), " P(S5 <= 0.1):", (S5 <= 0.1).mean())                  # 0.1389 e 0.2936