Esercizio - Cancellazione in (1 - cos x)ᐟx^2 con cinque cifre significative

Teoria: Aritmetica di macchina - floating point, precisione di macchina e cancellazioneUn calcolatore rappresenta solo un insieme finito di numeri F(β,t,L,U); ogni numero reale viene arrotondato con errore relativo al più u = ½β^(1−t) (u ≈ 1,1·10⁻¹⁶ in doppia precisione) e ogni operazione è esatta più un errore (1+δ), |δ| ≤ u. Conseguenze: overflow e underflow, somma non associativa, assorbimento, e soprattutto la cancellazione numerica nella differenza di numeri quasi uguali, che si evita riformulando l'espressione.Aritmetica di macchina - floating point, precisione di macchina e cancellazione →; per il limite si usa Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →.

Testo

Si vuole calcolare $f(x) = \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ per $x$ piccolo con una macchina che arrotonda ogni risultato a $5$ cifre significative decimali.

• (a) Calcolare $f(x)$ con la formula diretta per $x = 0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ e confrontare con il valore esatto.
• (b) Riscrivere $f$ senza sottrazione e ripetere il calcolo.
• (c) Dedurre dallo sviluppo di Mac-Laurin il valore esatto di $f$ per $x \to 0$ e il suo comportamento per $x$ piccolo.
• (d) Domanda teorica: quante cifre significative si perdono nel passaggio $1 - \cos x$ per $x = 0{,}01$?

Soluzione

(a) Formula diretta

Per ogni $x$ si calcola $\cos x$, lo si arrotonda a $5$ cifre, si sottrae da $1$, si divide per $x^2$.

(Per $x = 0{,}1$: $\frac{0{,}00500}{0{,}01} = 0{,}500$. Per $x = 0{,}01$: $\frac{0{,}00005}{0{,}0001} = 0{,}5$. Per $x = 0{,}001$: il coseno $0{,}9999995$ a $5$ cifre significative diventa $1{,}0000$ e la differenza è $0$.)

L'errore relativo è $8 \cdot 10^{-4}$ per $x=0{,}1$ e $8 \cdot 10^{-6}$ per $x=0{,}01$ (qui il risultato $0{,}5$ ha una sola cifra significativa, che per fortuna è giusta: la differenza $1-\cos x = 0{,}00005$ non porta informazione oltre la prima cifra), e arriva al 100% per $x = 0{,}001$: tutte le cifre sono perse.

(b) Formula senza sottrazione

L'identità $1 - \cos x = 2\sin^2\frac x2$ (dalla formula di bisezione del coseno) dà $$f(x) = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}.$$ Qui non ci sono differenze di numeri vicini. Per $x = 0{,}1$: $\sin 0{,}05 = 0{,}049979 \to 0{,}049979$; quadrato $0{,}0024979$; doppio $0{,}0049958$; diviso $0{,}01$: $\mathbf{0{,}49958}$ ✓ (esatto $0{,}499583$). Per $x = 0{,}01$: $\sin 0{,}005 = 0{,}0049999792 \to 0{,}0050000$; quadrato $0{,}000025000$; doppio $0{,}000050000$; diviso $0{,}0001$: $\mathbf{0{,}50000}$ (esatto $0{,}499996$: 5 cifre corrette). Per $x = 0{,}001$: $\sin 0{,}0005 \to 0{,}00050000$; quadrato $2{,}5000 \cdot 10^{-7}$; doppio $5{,}0000 \cdot 10^{-7}$; diviso $10^{-6}$: $\mathbf{0{,}50000}$ ✓.

(c) Valore esatto

Da $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$: $$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \dots \quad\Longrightarrow\quad f(x) = \frac12 - \frac{x^2}{24} + \dots \to \frac12.$$ Controllo: per $x = 0{,}1$, $\frac12 - \frac{0{,}01}{24} = 0{,}49958333$ ✓.

(d) Cifre perse

Per $x = 0{,}01$: $\cos x = 0{,}99995000\ldots$ ha $5$ cifre significative, ma la differenza $1 - \cos x = 0{,}00005$ ne ha una sola ($5$). Il fattore di amplificazione $\frac{|1| + |\cos x|}{|1 - \cos x|} \approx \frac{2}{5\cdot 10^{-5}} = 4\cdot 10^4$ dice che si perdono circa $4$ cifre (su $5$).

Risultato. La formula diretta fallisce per $x = 0{,}001$ (dà $0$ invece di $0{,}5$); la formula $\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}$ dà $\mathbf{0{,}50000}$, con limite esatto $\mathbf{\tfrac12}$.

Errori tipici

• Pensare che aumentando le cifre del coseno il problema sparisca: lo sposta soltanto (a $x = 10^{-8}$ in doppia precisione si ricade nello stesso caso).
• Calcolare a mano $\cos x$ con più cifre del dovuto e poi "arrotondare" la differenza: l'arrotondamento va fatto sul coseno, prima della sottrazione.