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Note per Studenti Esercizio - ordine di convergenza dalla tabella degli errori e stima del passo

Esercizio - ordine di convergenza dalla tabella degli errori e stima del passo

Teoria: Metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-NicolsonProblema di Cauchy $y'=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$, con $f$ lipschitziana in $y$ (costante $L$): ben posto. Nodi $t_n=t_0+nh$, $u_n\approx y(t_n)$. Eulero esplicito $u_{n+1}=u_n+h,f(t_n,u_n)$; Eulero implicito $u_{n+1}=u_n+h,f(t_{n+1},u_{n+1})$ (equazione da risolvere a ogni passo: punto fisso se $hL<1$, Newton, o formula chiusa se $f$ è lineare); Crank-Nicolson $u_{n+1}=u_n+\frac h2[f(t_n,u_n)+f(t_{n+1},u_{n+1})]$ (regola dei trapezi). Errore di troncamento locale $\tau_n=\frac{y(t_{n+1})-y(t_n)}h-\Phi$: $\frac h2y''$ (EE), $-\frac h2y''$ (EI), $-\frac{h^2}{12}y'''$ (CN). Consistenza + stabilità $\Rightarrow$ convergenza: ordine 1 per EE e EI, ordine 2 per CN, cioè errore globale $O(h)$ e $O(h^2)$; per EE $|e_n|\le\frac{Mh}{2L}\big(e^{L(t_n-t_0)}-1\big)$ con $M=\max|y''|$ (D). Dimezzando $h$ l'errore si divide per 2 (EE, EI) o per 4 (CN).Metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson →, Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di RichardsonUna formula di quadratura approssima $\int_a^b f,dx$ con $\sum w_if(x_i)$ ottenuta integrando il polinomio che interpola $f$ nei nodi. Trapezio $\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]$ (grado di esattezza 1, errore $-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$), punto medio $(b-a)f(m)$ (grado 1, errore $+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$), Cavalieri-Simpson $\frac{b-a}6[f(a)+4f(m)+f(b)]$ (grado 3, errore $-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)$). Composite con passo $h=\frac{b-a}n$: trapezi errore $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ (ordine 2, rapporto tra errori 4 se $h$ si dimezza), Simpson errore $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ (ordine 4, rapporto 16, $n$ pari). Estrapolazione di Richardson: se $Q(h)=I+Ch^p+\dots$ allora $I\approx\frac{2^pQ(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$; per i trapezi $p=2$ e $\frac{4T_{h/2}-T_h}3=S_{h/2}$; ripetuta dà la tabella di Romberg. Stima dell'errore a posteriori: $I-Q(h/2)\approx\frac{Q(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$.Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di Richardson →.

Testo. Per y′=−2yy'=-2y, y(0)=1y(0)=1 (esatta y(1)=e−2=0,135335y(1)=e^{-2}=0{,}135335) due metodi, uno di Eulero esplicito e uno di Crank-Nicolson, hanno prodotto in t=1t=1:

hh metodo A metodo B
0,1 0,107374 0,134431
0,05 0,121577 0,135110
0,025 0,128512 0,135279
  1. Verificare i valori in h=0,1h=0{,}1 con le formule dei metodi.
  2. Stimare l'ordine di convergenza di A e B senza usare il valore esatto, poi controllarlo con gli errori veri.
  3. Applicare l'estrapolazione di Richardson ai due valori più accurati di ciascun metodo.
  4. Stimare il passo e il numero di passi per avere errore ≤10−4\le10^{-4} con A e con B.
  5. (Teoria) Ricavare la formula del passo di CN per y′=−λyy'=-\lambda y.

Soluzione

1. Verifica. Per y′=−2yy'=-2y, EE dà un+1=(1−2h) unu_{n+1}=(1-2h)\,u_n e CN dà un+1=un−h (un+un+1)u_{n+1}=u_n-h\,(u_n+u_{n+1}), cioè un+1=1−h1+h unu_{n+1}=\dfrac{1-h}{1+h}\,u_n (vedi il punto 5). Con h=0,1h=0{,}1 (n=10n=10 passi): u10EE=0,810=0,107374,u10CN=(0,91,1)10=0,818210=0,134431.u_{10}^{EE}=0{,}8^{10}=0{,}107374,\qquad u_{10}^{CN}=\Big(\frac{0{,}9}{1{,}1}\Big)^{10}=0{,}8182^{10}=0{,}134431 . Quindi A è Eulero esplicito e B è Crank-Nicolson.

2. Ordine senza soluzione esatta. Se uh=y+Chpu_h=y+Ch^p vale uh−uh/2uh/2−uh/4≈2p\dfrac{u_h-u_{h/2}}{u_{h/2}-u_{h/4}}\approx2^p.

  • A: 0,107374−0,1215770,121577−0,128512=−0,014203−0,006935=2,048\dfrac{0{,}107374-0{,}121577}{0{,}121577-0{,}128512}=\dfrac{-0{,}014203}{-0{,}006935}=2{,}048, quindi p=log⁡22,048=1,03≈1p=\log_22{,}048=1{,}03\approx1.
  • B: 0,134431−0,1351100,135110−0,135279=−0,000679−0,000169=4,01\dfrac{0{,}134431-0{,}135110}{0{,}135110-0{,}135279}=\dfrac{-0{,}000679}{-0{,}000169}=4{,}01, quindi p=2,00p=2{,}00.

Controllo con gli errori veri e−2−ue^{-2}-u: A: 0,02796; 0,01376; 0,006820{,}02796;\ 0{,}01376;\ 0{,}00682 (rapporti 2,032{,}03 e 2,022{,}02); B: 9,05⋅10−4; 2,26⋅10−4; 5,64⋅10−59{,}05\cdot10^{-4};\ 2{,}26\cdot10^{-4};\ 5{,}64\cdot10^{-5} (rapporti 4,014{,}01 e 4,004{,}00) ✓.

3. Richardson.

  • A (ordine 1, fattore 21−1=12^1-1=1): 2 u0,025−u0,05=2⋅0,128512−0,121577=0,1354472\,u_{0{,}025}-u_{0{,}05}=2\cdot0{,}128512-0{,}121577=0{,}135447, errore −1,1⋅10−4-1{,}1\cdot10^{-4} (da 6,8⋅10−36{,}8\cdot10^{-3}: guadagno 60×60\times).
  • B (ordine 2, fattore 43\frac{4}{3}): 4 u0,025−u0,053=4⋅0,1352789−0,13510963=0,5411156−0,13510963=0,40600603=0,1353353\dfrac{4\,u_{0{,}025}-u_{0{,}05}}3=\dfrac{4\cdot0{,}1352789-0{,}1351096}3=\dfrac{0{,}5411156-0{,}1351096}3=\dfrac{0{,}4060060}3=0{,}1353353 (servono sette decimali), errore −3,8⋅10−8-3{,}8\cdot10^{-8} (da 5,6⋅10−55{,}6\cdot10^{-5}). Per CN l'espansione dell'errore è in potenze pari di hh e l'estrapolazione porta a ordine 44.

4. Passo per 10−410^{-4}. Dalle costanti: A, errore ≈CAh\approx C_Ah con CA=0,006820,025=0,273C_A=\frac{0{,}00682}{0{,}025}=0{,}273, quindi h≤10−40,273=3,7⋅10−4h\le\frac{10^{-4}}{0{,}273}=3{,}7\cdot10^{-4} e n≥1h=2730n\ge\frac1h=2730 passi. B, errore ≈CBh2\approx C_Bh^2 con CB=5,64⋅10−50,0252=0,0902C_B=\frac{5{,}64\cdot10^{-5}}{0{,}025^2}=0{,}0902, quindi h≤10−40,0902=0,03330h\le\sqrt{\frac{10^{-4}}{0{,}0902}}=0{,}03330 e n≥10,0333=30,03n\ge\frac1{0{,}0333}=30{,}03, cioè 3131 passi. CN è ≈90\approx90 volte più economica (e i passi costano poco di più: per l'equazione lineare, solo una divisione).

5. Passo di CN. un+1=un+h2(−λun−λun+1)⇒(1+hλ2)un+1=(1−hλ2)unu_{n+1}=u_n+\frac h2\big(-\lambda u_n-\lambda u_{n+1}\big)\Rightarrow\big(1+\tfrac{h\lambda}2\big)u_{n+1}=\big(1-\tfrac{h\lambda}2\big)u_n, quindi un+1=1−hλ/21+hλ/2 un.u_{n+1}=\frac{1-h\lambda/2}{1+h\lambda/2}\,u_n . Con λ=2\lambda=2 è 1−h1+h\frac{1-h}{1+h}. È un'approssimazione razionale (di Padé) di e−λhe^{-\lambda h}: 1−z/21+z/2=1−z+z22−z34+⋯\frac{1-z/2}{1+z/2}=1-z+\frac{z^2}2-\frac{z^3}4+\cdots contro e−z=1−z+z22−z36+⋯e^{-z}=1-z+\frac{z^2}2-\frac{z^3}6+\cdots: coincidono fino al secondo ordine, e la differenza al terzo (16−14=−112)\big(\frac16-\frac14=-\frac1{12}\big) è l'errore locale di ordine h3h^3, dunque globale di ordine h2h^2.

Risultati: A = Eulero esplicito (ordine 1,03≈11{,}03\approx1), B = Crank-Nicolson (ordine 2,002{,}00); Richardson: 0,1354470{,}135447 (A) e 0,1353350{,}135335 (B); per 10−410^{-4}: A ≈2700\approx2700 passi, B ≈30\approx30.

Errori tipici. Calcolare l'ordine come log⁡2\log_2 del rapporto invertito (<1<1); usare 2p−12^p-1 errato nell'estrapolazione; applicare l'estrapolazione a due valori con passi non nel rapporto 22.

Versione ripasso

(Metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-NicolsonProblema di Cauchy $y'=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$, con $f$ lipschitziana in $y$ (costante $L$): ben posto. Nodi $t_n=t_0+nh$, $u_n\approx y(t_n)$. Eulero esplicito $u_{n+1}=u_n+h,f(t_n,u_n)$; Eulero implicito $u_{n+1}=u_n+h,f(t_{n+1},u_{n+1})$ (equazione da risolvere a ogni passo: punto fisso se $hL<1$, Newton, o formula chiusa se $f$ è lineare); Crank-Nicolson $u_{n+1}=u_n+\frac h2[f(t_n,u_n)+f(t_{n+1},u_{n+1})]$ (regola dei trapezi). Errore di troncamento locale $\tau_n=\frac{y(t_{n+1})-y(t_n)}h-\Phi$: $\frac h2y''$ (EE), $-\frac h2y''$ (EI), $-\frac{h^2}{12}y'''$ (CN). Consistenza + stabilità $\Rightarrow$ convergenza: ordine 1 per EE e EI, ordine 2 per CN, cioè errore globale $O(h)$ e $O(h^2)$; per EE $|e_n|\le\frac{Mh}{2L}\big(e^{L(t_n-t_0)}-1\big)$ con $M=\max|y''|$ (D). Dimezzando $h$ l'errore si divide per 2 (EE, EI) o per 4 (CN).Metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson →)

y′=−2yy'=-2y, y(1)=e−2=0,135335y(1)=e^{-2}=0{,}135335. A: 0,107374; 0,121577; 0,1285120{,}107374;\,0{,}121577;\,0{,}128512; B: 0,134431; 0,135110; 0,1352790{,}134431;\,0{,}135110;\,0{,}135279 (h=0,1; 0,05; 0,025h=0{,}1;\,0{,}05;\,0{,}025).

  • EE un+1=(1−2h)unu_{n+1}=(1-2h)u_n: 0,810=0,1073740{,}8^{10}=0{,}107374; CN un+1=1−h1+hunu_{n+1}=\frac{1-h}{1+h}u_n: (0,9/1,1)10=0,134431(0{,}9/1{,}1)^{10}=0{,}134431.
  • Ordine: uh−uh/2uh/2−uh/4=2p\frac{u_h-u_{h/2}}{u_{h/2}-u_{h/4}}=2^p: A 2,048→p=1,032{,}048\to p=1{,}03; B 4,01→p=2,004{,}01\to p=2{,}00. Errori veri: rapporti 2,02{,}0 e 4,04{,}0.
  • Richardson: A 2uh/2−uh=0,1354472u_{h/2}-u_h=0{,}135447 (errore −1,1⋅10−4-1{,}1\cdot10^{-4}); B 4uh/2−uh3=0,1353353\frac{4u_{h/2}-u_h}3=0{,}1353353 (errore −3,8⋅10−8-3{,}8\cdot10^{-8}).
  • 10−410^{-4}: A CA=0,273C_A=0{,}273, h≤3,7⋅10−4h\le3{,}7\cdot10^{-4}, 27302730 passi; B CB=0,0902C_B=0{,}0902, h≤0,0333h\le0{,}0333, 3131 passi.
  • CN: un+1=1−hλ/21+hλ/2unu_{n+1}=\frac{1-h\lambda/2}{1+h\lambda/2}u_n, Padé di e−hλe^{-h\lambda} fino al secondo ordine (terzo: 16−14=−112\frac16-\frac14=-\frac1{12}).

Errori tipici: rapporto invertito; 2p−12^p-1 sbagliato; passi non in rapporto 22.

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