Esercizio - Interpolazione di sqrt(x) con nodi 1, 4, 9 e perdita di accuratezza vicino a zero

Teoria: Interpolazione polinomiale - forma di Lagrange, differenze divise ed erroreDati n+1 punti con ascisse distinte esiste un unico polinomio p_n di grado ≤ n che passa per tutti. Forma di Lagrange p = Σ y_i L_i(x) (L_i(x_j) = δ_ij); forma di Newton p = Σ f[x_0..x_k] Π_{j<k}(x − x_j) con le differenze divise (si aggiunge un nodo senza rifare tutto). Errore f(x) − p_n(x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! · ω(x), ω(x) = Π(x − x_i): dipende da f e dalla scelta dei nodi. Nodi equispaziati con n grande danno il fenomeno di Runge; i nodi di Chebyshev minimizzano max|ω| = 2^(−n) su [−1,1].Interpolazione polinomiale - forma di Lagrange, differenze divise ed errore →.

Testo

Si approssima $f(x) = \sqrt x$ con il polinomio $p_2$ che interpola nei nodi $1,\ 4,\ 9$ (valori $1,\ 2,\ 3$).

• (a) Ricavare $p_2$ in forma di Newton.
• (b) Calcolare $p_2(5)$, $p_2(2)$, $p_2(0{,}25)$, $p_2(16)$ e confrontare con i valori esatti.
• (c) Dare la maggiorazione dell'errore in $x = 5$ su $[1,9]$ e commentarla.
• (d) Domanda teorica: perché l'errore è così grande fuori dall'intervallo dei nodi e vicino a $0$?

Soluzione

(a) Newton

$f[1,4] = \dfrac{2-1}{4-1} = \dfrac13$, $f[4,9] = \dfrac{3-2}{9-4} = \dfrac15$, $f[1,4,9] = \dfrac{\frac15 - \frac13}{9-1} = \dfrac{-\frac{2}{15}}{8} = -\dfrac{1}{60}$. $$p_2(x) = 1 + \frac13(x-1) - \frac1{60}(x-1)(x-4).$$

(b) Valori

Dentro $[1,9]$ l'errore è di pochi centesimi; in $0{,}25$ (fuori, vicino a $0$) è $0{,}20$ su un valore $0{,}5$ ($40\%$); in $16$ (estrapolazione) il polinomio dà $3$ invece di $4$ ($25\%$ di errore, e per $x$ più grandi il polinomio, che è una parabola concava, tende a $-\infty$).

(c) Maggiorazione

$f''' = \frac38x^{-5/2}$, decrescente, quindi su $[1,9]$ il massimo è in $x=1$: $M_3 = \frac38 = 0{,}375$. In $x=5$: $\omega_3(5) = (5-1)(5-4)(5-9) = -16$. $$|f(5) - p_2(5)| \le \frac{0{,}375}{6}\cdot 16 = \mathbf{1{,}0}.$$ Maggiorazione inutile in pratica (l'errore vero è $0{,}031$, trentadue volte meno): la derivata terza è grande solo vicino a $x=1$, ma il maggiorante la prende ovunque pari al valore massimo. L'errore vero corrisponde a $-\frac{0{,}375}{6}\cdot 16\,\xi^{-5/2} = -\xi^{-5/2} = -0{,}0306$, cioè $\xi = 0{,}0306^{-2/5} = 4{,}03$: il punto intermedio in cui $f'''$ vale poco ($f'''(4) = \frac{0{,}375}{32} = 0{,}0117$). Non lo si conosce a priori, quindi con i dati disponibili il maggiorante resta $1{,}0$.

(d) Fuori dai nodi e vicino a $0$

1. Fuori dall'intervallo dei nodi, $|\omega_3|$ cresce come $x^3$: ad esempio $\omega_3(16) = 15\cdot12\cdot7 = 1260$. L'interpolazione fuori dai nodi si chiama estrapolazione ed è molto meno affidabile.
2. $\sqrt x$ non è derivabile in $0$ ($f' \to \infty$) e le sue derivate successive crescono come $x^{-k+1/2}$: vicino a $0$ il termine $f'''(\xi)$ è enorme e un polinomio non può seguire la tangente verticale. Per funzioni con singolarità si preferiscono approssimazioni a tratti o un cambio di variabile.

Risultati. $p_2(5) = \mathbf{2{,}26667}$ (errore $0{,}031$); maggiorante $\mathbf{1{,}0}$; $p_2(16) = \mathbf{3}$ contro $\mathbf{4}$.

Errori tipici

• Usare il polinomio fuori dall'intervallo dei nodi senza valutarne l'errore.
• Maggiorare $|f'''|$ su un intervallo troppo ampio rispetto al punto d'interesse e concludere che l'errore è "grande" (la maggiorazione è prudente, non l'errore).