Esercizio - Retta dei minimi quadrati per la rigidezza di una molla, con e senza intercetta

Teoria: Interpolazione a tratti, spline cubiche e minimi quadratiInvece di un polinomio di grado alto si usano polinomi di grado basso su ogni intervallo. Lineare a tratti: errore ≤ h²/8·max|f''|. Spline cubica: polinomio di grado 3 su ogni intervallo, di classe C² nei nodi; i momenti M_i = S''(x_i) risolvono un sistema tridiagonale (h_{i−1}/6)M_{i−1} + ((h_{i−1}+h_i)/3)M_i + (h_i/6)M_{i+1} = differenza tra le pendenze dei due intervalli adiacenti, con due condizioni agli estremi (naturale M_0 = M_n = 0, vincolata, not-a-knot); errore O(h⁴), nessun fenomeno di Runge. Minimi quadrati: con più dati che parametri si minimizza ‖Ac − y‖², cioè si risolvono le equazioni normali AᵀA c = Aᵀy (proiezione ortogonale di y sulle colonne di A); la retta di regressione minimizza la somma dei quadrati dei residui e i residui sono ortogonali alle colonne.Interpolazione a tratti, spline cubiche e minimi quadrati →; la proiezione ortogonale è in Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →.

Testo

Una molla viene caricata e si misura l'allungamento $x$ (in $\text{mm}$) e la forza $F$ (in $\text{N}$):

• (a) Scrivere e risolvere le equazioni normali del modello $F = a + b\,x$ e dare la rigidezza stimata $b$ in $\text{N/mm}$.
• (b) Calcolare i residui e verificare le due condizioni di ortogonalità e la somma dei quadrati dei residui.
• (c) Ripetere con il modello $F = k\,x$ (retta per l'origine, come vuole la legge di Hooke). Confrontare.
• (d) Domanda teorica: spiegare perché, nel modello senza intercetta, la somma dei residui non è più zero ma $\sum x_kr_k = 0$ resta valida.

Soluzione

(a) Modello con intercetta

Somme: $m = 5$, $\sum x = 15$, $\sum F = 30{,}4$, $\sum x^2 = 55$, $\sum xF = 2{,}0 + 8{,}4 + 17{,}7 + 32{,}4 + 51{,}0 = 111{,}5$ (con unità: $\text{mm}$, $\text{N}$, $\text{mm}^2$, $\text{N}\cdot\text{mm}$). Equazioni normali: $$5a + 15b = 30{,}4, \qquad 15a + 55b = 111{,}5.$$ Dalla prima $a = 6{,}08 - 3b$; nella seconda: $15(6{,}08 - 3b) + 55b = 111{,}5 \Rightarrow 91{,}2 - 45b + 55b = 111{,}5 \Rightarrow 10b = 20{,}3 \Rightarrow b = 2{,}03$, $a = 6{,}08 - 6{,}09 = -0{,}01$. Con la formula: $b = \frac{5\cdot 111{,}5 - 15\cdot 30{,}4}{5\cdot 55 - 225} = \frac{557{,}5 - 456}{50} = \mathbf{2{,}03\ \text{N/mm}}$ ✓; $a = \frac{30{,}4 - 2{,}03\cdot15}{5} = -0{,}01\ \text{N}$.

(b) Residui

$r_k = F_k - (-0{,}01 + 2{,}03\,x_k)$: valori previsti $2{,}02;\ 4{,}05;\ 6{,}08;\ 8{,}11;\ 10{,}14$, quindi $$r = (-0{,}02;\ +0{,}15;\ -0{,}18;\ -0{,}01;\ +0{,}06).$$

• $\sum r_k = -0{,}02 + 0{,}15 - 0{,}18 - 0{,}01 + 0{,}06 = 0$ ✓ (prima equazione normale).
• $\sum x_kr_k = -0{,}02 + 0{,}30 - 0{,}54 - 0{,}04 + 0{,}30 = 0$ ✓ (seconda).
• $\sum r_k^2 = 0{,}0004 + 0{,}0225 + 0{,}0324 + 0{,}0001 + 0{,}0036 = \mathbf{0{,}0590\ \text{N}^2}$.

(c) Modello per l'origine

Con la sola base $\varphi = x$ ($A$ è la colonna dei $x_k$), l'equazione normale è $\left(\sum x^2\right)k = \sum xF$: $$k = \frac{111{,}5}{55} = \mathbf{2{,}0273\ \text{N/mm}}.$$ Residui $F_k - kx_k$: $-0{,}027;\ 0{,}145;\ -0{,}182;\ -0{,}009;\ 0{,}064$; somma dei quadrati $\mathbf{0{,}0591\ \text{N}^2}$, praticamente uguale a $0{,}0590$ del modello con intercetta. L'intercetta $a = -0{,}01\,\text{N}$ è trascurabile rispetto alla precisione delle misure: il modello fisico $F = kx$ con un parametro solo è adeguato. Previsione a $x = 3{,}5\ \text{mm}$: $7{,}095\ \text{N}$ (con intercetta) contro $7{,}095\ \text{N}$ (senza): coincidono entro $10^{-3}$.

(d) Perché la somma dei residui cambia

Il residuo è ortogonale alle colonne di $A$. Con intercetta una delle colonne è il vettore $(1,\dots,1)$, quindi $\sum r_k = 0$. Senza intercetta l'unica colonna è $(x_1,\dots,x_m)$ e l'unica condizione è $\sum x_kr_k = 0$: infatti $-0{,}027\cdot1 + 0{,}145\cdot2 - 0{,}182\cdot3 - 0{,}009\cdot4 + 0{,}064\cdot5 = -0{,}027 + 0{,}290 - 0{,}546 - 0{,}036 + 0{,}320 = 0{,}001 \approx 0$, mentre $\sum r_k = -0{,}009 \ne 0$.

Risultati. $b = \mathbf{2{,}03\ \text{N/mm}}$, $a = -0{,}01\ \text{N}$, $\sum r^2 = 0{,}0590$; senza intercetta $k = \mathbf{2{,}027\ \text{N/mm}}$, $\sum r^2 = 0{,}0591$.

Errori tipici

• Mescolare le unità o dimenticare che $b$ ha le unità di $F/x$.
• Usare per il modello senza intercetta le formule della retta completa: l'equazione normale è la sola $\sum x^2\,k = \sum xF$.
• Controllare solo che i residui siano "piccoli" e non la loro ortogonalità: è la verifica più utile per scoprire errori di calcolo.