Esercizio - Numero di condizionamento di ln x, e^x, 1ᐟ(1-x) e cos x

Teoria: Condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmoL'errore finale ha tre origini (dati, troncamento, arrotondamento). Un problema è ben posto se la soluzione esiste, è unica e dipende con continuità dai dati; il numero di condizionamento K = |x f'(x)/f(x)| misura di quanto un errore relativo sui dati si amplifica nel risultato (si perdono circa log10 K cifre). La stabilità riguarda invece l'algoritmo: un algoritmo instabile amplifica gli errori anche su un problema ben condizionato (ricorrenza I_n = 1 − n I_{n−1}); un problema mal condizionato non si salva con nessun algoritmo. Uno schema numerico converge se è consistente e stabile (derivata numerica: troncamento contro arrotondamento).Condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo →.

Testo

Si usa $K(x) = \left|\dfrac{x f'(x)}{f(x)}\right|$ come numero di condizionamento di $y = f(x)$.

• (a) Calcolare $K$ per $f(x) = \ln x$ in $x = 1{,}001$, per $f(x) = e^x$ in $x = 20$, per $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ in $x = 0{,}99$ e per $f(x) = \cos x$ in $x = 1{,}5707$.
• (b) Se il dato è noto con errore relativo $u = 1{,}1\cdot 10^{-16}$, quante cifre decimali corrette restano nei quattro risultati?
• (c) Verificare numericamente la previsione di $K$ per $\ln x$ in $x = 1{,}001$ con perturbazione relativa del dato $10^{-6}$.
• (d) Domanda teorica: perché $\ln x$ è mal condizionato vicino a $1$ ma non vicino a $100$?

Soluzione

(a) Calcolo di $K$

• $f = \ln x$, $f' = \frac1x$: $K = \left|\frac{x\cdot\frac1x}{\ln x}\right| = \frac{1}{|\ln x|}$. Per $x = 1{,}001$: $\ln 1{,}001 = 9{,}995\cdot 10^{-4}$, quindi $K = \mathbf{1000{,}5}$.
• $f = e^x$, $f' = e^x$: $K = \left|\frac{x e^x}{e^x}\right| = |x| = \mathbf{20}$.
• $f = \frac{1}{1-x}$, $f' = \frac{1}{(1-x)^2}$: $K = \left|\frac{x/(1-x)^2}{1/(1-x)}\right| = \left|\frac{x}{1-x}\right|$. Per $x = 0{,}99$: $\frac{0{,}99}{0{,}01} = \mathbf{99}$.
• $f = \cos x$, $f' = -\sin x$: $K = |x\tan x|$. Per $x = 1{,}5707$: $\tan 1{,}5707 = 10381{,}3$, quindi $K = 1{,}5707\cdot 10381{,}3 \approx \mathbf{16306}$.

(b) Cifre perse

Con errore relativo $u \approx 10^{-16}$ sul dato, l'errore relativo sul risultato è $K\cdot u$; si perdono $\log_{10}K$ cifre su $16$.

(c) Verifica numerica per $\ln x$

Si pone $\tilde x = x(1 + 10^{-6}) = 1{,}001001001$. Previsione: errore relativo su $\ln x$ pari a $K\cdot 10^{-6} = 1{,}0005\cdot 10^{-3}$. Calcolo diretto: $\ln 1{,}001 = 9{,}995003\cdot 10^{-4}$, $\ln 1{,}001001001 = 1{,}000500\cdot 10^{-3}$; differenza $1{,}0005\cdot 10^{-6}$; relativa: $\frac{1{,}0005\cdot 10^{-6}}{9{,}995003\cdot 10^{-4}} = 1{,}00050\cdot 10^{-3}$ ✓. Un errore dello $0{,}0001\%$ sul dato diventa dello $0{,}1\%$ nel risultato.

(d) Domanda teorica

$K = \frac{1}{|\ln x|}$ diverge quando $\ln x \to 0$, cioè per $x \to 1$: il risultato è un numero piccolo, ma il suo errore assoluto $\Delta(\ln x) \approx \frac{\Delta x}{x}$ resta dell'ordine dell'errore relativo del dato, quindi l'errore relativo esplode (si perde la stessa cifra significativa come nella cancellazione). Per $x = 100$: $\ln 100 = 4{,}605$, $K = 0{,}217$: gli errori si riducono.

Risultati. $K = \mathbf{1000{,}5}$; $\mathbf{20}$; $\mathbf{99}$; $\mathbf{\approx 16306}$.

Errori tipici

• Usare $|f'(x)|$ (condizionamento assoluto) al posto di $\left|\frac{xf'}{f}\right|$: per $\ln x$ vicino a $1$ darebbe $K\approx 1$, senza vedere il problema.
• Dimenticare che $K$ dipende dal punto: la stessa funzione è ben condizionata in certi punti e mal condizionata in altri.