Esercizio - Differenze divise di una tabella, grado del polinomio e un dato sbagliato

Teoria: Interpolazione polinomiale - forma di Lagrange, differenze divise ed erroreDati n+1 punti con ascisse distinte esiste un unico polinomio p_n di grado ≤ n che passa per tutti. Forma di Lagrange p = Σ y_i L_i(x) (L_i(x_j) = δ_ij); forma di Newton p = Σ f[x_0..x_k] Π_{j<k}(x − x_j) con le differenze divise (si aggiunge un nodo senza rifare tutto). Errore f(x) − p_n(x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! · ω(x), ω(x) = Π(x − x_i): dipende da f e dalla scelta dei nodi. Nodi equispaziati con n grande danno il fenomeno di Runge; i nodi di Chebyshev minimizzano max|ω| = 2^(−n) su [−1,1].Interpolazione polinomiale - forma di Lagrange, differenze divise ed errore →.

Testo

Una grandezza è misurata in cinque punti:

• (a) Costruire la tabella delle differenze divise e dedurne il grado del polinomio di interpolazione.
• (b) Scrivere il polinomio in forma di Newton e poi in potenze di $x$. Calcolare il valore in $x = 1{,}5$.
• (c) Il dato in $x = 1$ viene trascritto per errore come $0{,}5$ invece di $0$. Come si riconosce dalla tabella?
• (d) Domanda teorica: cosa dice il valore della differenza divisa di terzo ordine?

Soluzione

(a) Tabella

(In ogni colonna si sottrae l'elemento sopra da quello sotto e si divide per la differenza tra l'ultimo e il primo nodo coinvolti: per l'ordine 2 della prima riga il denominatore è $x_2 - x_0 = 1 - (-1) = 2$; per l'ordine 3 è $3$; per l'ordine 4 è $4$.)

Le differenze divise di ordine $4$ sono nulle e quelle di ordine $3$ sono costanti, uguali a $1$: i dati provengono da un polinomio di grado $3$ con coefficiente direttivo $1$.

(b) Polinomio

I coefficienti di Newton sono i primi elementi di ogni colonna: $2,\ -1,\ 0,\ 1$. $$p(x) = 2 - (x+1) + 0\cdot(x+1)x + 1\cdot(x+1)x(x-1).$$ Sviluppando, $(x+1)x(x-1) = x^3 - x$, quindi $p(x) = 2 - x - 1 + x^3 - x = \mathbf{x^3 - 2x + 1}$. Controllo ai nodi: $p(-1) = -1+2+1 = 2$ ✓, $p(0) = 1$ ✓, $p(1) = 0$ ✓, $p(2) = 8 - 4 + 1 = 5$ ✓, $p(3) = 27 - 6 + 1 = 22$ ✓. In $x = 1{,}5$: $p(1{,}5) = 3{,}375 - 3 + 1 = \mathbf{1{,}375}$.

(c) Un dato sbagliato

Con $y(1) = 0{,}5$ la tabella diventa: ordine 1: $-1,\ -0{,}5,\ 4{,}5,\ 17$; ordine 2: $0{,}25,\ 2{,}5,\ 6{,}25$; ordine 3: $0{,}75,\ 1{,}25$; ordine 4: $0{,}125 \ne 0$. Si vede che la terza colonna non è più costante e la quarta non è nulla: un solo dato errato "inquina" le differenze di tutti gli ordini che lo contengono. La differenza divisa di ordine 4 vale esattamente $\frac{\delta}{\prod_{j\ne i}(x_i - x_j)}$ con $\delta = 0{,}5$ l'errore e $i$ il nodo errato: $\prod_{j \ne 2}(1 - x_j) = (1+1)(1-0)(1-2)(1-3) = 2\cdot1\cdot(-1)(-2) = 4$, quindi $\frac{0{,}5}{4} = 0{,}125$ ✓. Questo permette anche di individuare quale dato è sbagliato (l'errore lascia la sua "firma" con i pesi dei nodi).

(d) Significato

La differenza divisa di ordine $k$ soddisfa $f[x_0,\dots,x_k] = \dfrac{f^{(k)}(\xi)}{k!}$: per $k = 3$ il valore $1$ dice che $f''' \approx 6\cdot 1 = 6$, cioè coefficiente di $x^3$ uguale a $1$. Se i dati vengono da una funzione qualunque, l'ordine in cui le differenze divise diventano "piccole" suggerisce il grado utile del polinomio.

Risultati. Grado $\mathbf{3}$; $p(x) = \mathbf{x^3 - 2x + 1}$; $p(1{,}5) = \mathbf{1{,}375}$; con il dato sbagliato la differenza di ordine $4$ è $\mathbf{0{,}125}$.

Errori tipici

• Dividere per la differenza dei nodi adiacenti invece che dei nodi estremi dell'intervallo coinvolto.
• Usare tutte le righe della tabella come coefficienti: i coefficienti di Newton sono solo il bordo superiore (primo elemento di ogni colonna).