Esercizio - Fenomeno di Runge per 1ᐟ(1+x^2) su [-5,5] con nodi equispaziati e di Chebyshev

Teoria: Interpolazione polinomiale - forma di Lagrange, differenze divise ed erroreDati n+1 punti con ascisse distinte esiste un unico polinomio p_n di grado ≤ n che passa per tutti. Forma di Lagrange p = Σ y_i L_i(x) (L_i(x_j) = δ_ij); forma di Newton p = Σ f[x_0..x_k] Π_{j<k}(x − x_j) con le differenze divise (si aggiunge un nodo senza rifare tutto). Errore f(x) − p_n(x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! · ω(x), ω(x) = Π(x − x_i): dipende da f e dalla scelta dei nodi. Nodi equispaziati con n grande danno il fenomeno di Runge; i nodi di Chebyshev minimizzano max|ω| = 2^(−n) su [−1,1].Interpolazione polinomiale - forma di Lagrange, differenze divise ed errore →.

Testo

Si interpola $f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ su $[-5,5]$ con un polinomio di grado $n = 10$ (11 nodi).

• (a) Scrivere i nodi equispaziati e i nodi di Chebyshev dell'intervallo $[-5,5]$.
• (b) Calcolare il massimo del polinomio nodale $|\omega_{11}|$ per i due insiemi di nodi (il primo numericamente, il secondo con la formula).
• (c) Riportare i valori di $p_{10}$ in alcuni punti e l'errore massimo, per i due casi.
• (d) Domanda teorica: perché con nodi equispaziati l'errore non diminuisce aumentando $n$?

Soluzione

(a) Nodi

• Equispaziati: passo $h = 1$, nodi $-5,-4,\dots,4,5$.
• Chebyshev su $[-1,1]$: $\hat x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{22}$, $k = 0,\dots,10$; su $[-5,5]$: $x_k = 5\hat x_k$: $$\pm4{,}9491,\ \pm4{,}5482,\ \pm3{,}7787,\ \pm2{,}7032,\ \pm1{,}4087,\ 0.$$ (Più fitti verso gli estremi.)

(b) Polinomio nodale

• Equispaziati: $\max_{[-5,5]}|\omega_{11}| \approx 4{,}17\cdot 10^{5}$, raggiunto vicino ai bordi (in $x \approx \pm 4{,}71$). Al centro, in $x=0$, $\omega_{11}$ vale $0$ (è un nodo); in $x = 4{,}5$ vale $3{,}2\cdot10^{5}$.
• Chebyshev: la formula $\max|\omega_{n+1}| = 2\left(\frac{b-a}{4}\right)^{n+1}$ con $b-a = 10$, $n = 10$ dà $2\cdot 2{,}5^{11} = 2\cdot 23283 = 4{,}77\cdot 10^{4}$. Circa $9$ volte meno (e in $x = 4{,}5$ vale $1{,}2\cdot 10^{4}$, quasi $30$ volte meno).

(c) Valori e errori (calcolati al calcolatore)

Errore massimo su $[-5,5]$ per $n = 10$: $1{,}92$ con nodi equispaziati (cioè più grande della funzione, che vale al massimo $1$!) e $0{,}109$ con nodi di Chebyshev. Per i diversi $n$ (equispaziati / Chebyshev): $n=4$: $0{,}438 / 0{,}402$; $n=8$: $1{,}045 / 0{,}171$; $n=12$: $3{,}66 / 0{,}0692$. Con i nodi equispaziati l'errore cresce; con Chebyshev decresce.

(d) Spiegazione

L'errore è $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$. Per nodi equispaziati $|\omega_{n+1}|$ è molto più grande ai bordi che al centro (rapporto che cresce esponenzialmente con $n$), e le derivate di $\frac{1}{1+x^2}$, che ha poli complessi in $\pm i$, non decrescono abbastanza da compensare $(n+1)!$ in tutto l'intervallo. I nodi di Chebyshev rendono $|\omega_{n+1}|$ quasi uniforme (oscillante tra $\pm\max$) e minimizzano il massimo.

Risultati. $\max|\omega_{11}|$: $\mathbf{4{,}17\cdot10^{5}}$ (equispaziati) contro $\mathbf{4{,}77\cdot 10^{4}}$ (Chebyshev); errore massimo $\mathbf{1{,}92}$ contro $\mathbf{0{,}109}$.

Errori tipici

• Pensare che aggiungere nodi equispaziati migliori sempre l'approssimazione.
• Dimenticare di cambiare variabile: i nodi di Chebyshev su $[a,b]$ sono $\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\hat x_k$.