Esercizio - numero di sottointervalli per una tolleranza assegnata

Teoria: Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di RichardsonUna formula di quadratura approssima $\int_a^b f,dx$ con $\sum w_if(x_i)$ ottenuta integrando il polinomio che interpola $f$ nei nodi. Trapezio $\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]$ (grado di esattezza 1, errore $-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$), punto medio $(b-a)f(m)$ (grado 1, errore $+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$), Cavalieri-Simpson $\frac{b-a}6[f(a)+4f(m)+f(b)]$ (grado 3, errore $-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)$). Composite con passo $h=\frac{b-a}n$: trapezi errore $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ (ordine 2, rapporto tra errori 4 se $h$ si dimezza), Simpson errore $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ (ordine 4, rapporto 16, $n$ pari). Estrapolazione di Richardson: se $Q(h)=I+Ch^p+\dots$ allora $I\approx\frac{2^pQ(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$; per i trapezi $p=2$ e $\frac{4T_{h/2}-T_h}3=S_{h/2}$; ripetuta dà la tabella di Romberg. Stima dell'errore a posteriori: $I-Q(h/2)\approx\frac{Q(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$.Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di Richardson →.

Testo. Si vuole calcolare $I=\displaystyle\int_1^3\ln x\,dx$ con errore assoluto non superiore a $10^{-6}$.

1. Maggiorare $|f''|$ e $|f^{(4)}|$ su $[1,3]$.
2. Trovare il numero minimo di sottointervalli $n$ per la formula dei trapezi composita e per quella di Cavalieri-Simpson composita.
3. Confrontare il numero di valutazioni di $f$ e dire se l'errore vero rispetta la tolleranza (il valore esatto è $3\ln3-2=1{,}295837$).
4. (Teoria) Se si usasse l'intervallo $[0{,}01,\,3]$ le stime sarebbero ancora possibili? Perché?

Soluzione

1. Derivate. $f=\ln x$, $f'=\frac1x$, $f''=-\frac1{x^2}$, $f'''=\frac2{x^3}$, $f^{(4)}=-\frac6{x^4}$. Su $[1,3]$ i moduli sono decrescenti in $x$, quindi il massimo è in $x=1$: $$M_2=\max|f''|=1,\qquad M_4=\max|f^{(4)}|=6 .$$

2. Trapezi. Con $b-a=2$ si impone $$\frac{(b-a)h^2}{12}M_2=\frac{2h^2}{12}\le10^{-6}\ \Longrightarrow\ h^2\le6\cdot10^{-6}\ \Longrightarrow\ h\le0{,}0024495 .$$ Il numero di intervalli è $n=\frac{b-a}h\ge\frac2{0{,}0024495}=816{,}5$, quindi $\mathbf{n=817}$.

Simpson. $$\frac{(b-a)h^4}{180}M_4=\frac{2h^4\cdot6}{180}=\frac{h^4}{15}\le10^{-6}\ \Longrightarrow\ h^4\le1{,}5\cdot10^{-5}\ \Longrightarrow\ h\le0{,}06223 .$$ Allora $n\ge\frac2{0{,}06223}=32{,}14$; $n$ deve essere pari, quindi $\mathbf{n=34}$ ($h=0{,}0588$).

3. Confronto. Il trapezio richiede $818$ valutazioni di $\ln x$, Simpson solo $35$: circa 23 volte di meno, a parità di precisione garantita. Verifica numerica (calcolata con Python): con $n=817$ l'errore $I-Q$ è $+3{,}3\cdot10^{-7}$ ($\ln x$ è concava, quindi il trapezio sottostima), con $n=34$ è $+1{,}3\cdot10^{-7}$: entrambi entro $10^{-6}$ e di un fattore 3-8 più piccoli del limite, perché $M_2$ e $M_4$ sono stati presi nel punto peggiore $x=1$ mentre su quasi tutto l'intervallo le derivate sono molto più piccole. Con $n=32$ (pari, ma sotto la soglia) l'errore sarebbe $+1{,}6\cdot10^{-7}$: ancora entro la tolleranza, ma non garantito dalla maggiorazione.

4. Estremo vicino a zero. Su $[0{,}01,3]$ si avrebbe $M_2=\frac1{0{,}01^2}=10^4$ e $M_4=\frac6{0{,}01^4}=6\cdot10^8$: le stime sono possibili ma enormemente pessimistiche, $n$ cresce di un fattore $\sqrt{10^4}=100$ per i trapezi e $\sqrt[4]{10^8}=100$ per Simpson. Su $(0,3]$ (estremo $0$) $\ln x$ non è derivabile in $0$: le formule d'errore non si applicano, e la convergenza è più lenta di $h^2$ e $h^4$. Servirebbe una formula adattiva o un cambio di variabile.

Risultati: trapezi $\mathbf{n=817}$ (818 valutazioni), Simpson $\mathbf{n=34}$ (35 valutazioni).

Errori tipici. Dimenticare di arrotondare $n$ per eccesso; scegliere $n$ dispari per Simpson; usare $M_2$ al posto di $M_4$ (o viceversa); inserire $h$ al posto di $b-a$ nel prefattore.