Norme di matrici e condizionamento dei sistemi lineari

Un sistema $A\mathbf x=\mathbf b$ nasce da dati misurati (carichi, proprietà dei materiali, geometria) che hanno incertezze. La domanda è: di quanto può cambiare la soluzione se i dati cambiano di poco? Per un sistema $2\times2$ con coefficienti quasi uguali la risposta può essere «moltissimo», e in quel caso nessun algoritmo, per quanto accurato, può rimediare. Per rispondere in modo quantitativo serve un modo di misurare la «grandezza» di vettori e matrici: le norme. Il quadro generale del condizionamento è in Condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmoL'errore finale ha tre origini (dati, troncamento, arrotondamento). Un problema è ben posto se la soluzione esiste, è unica e dipende con continuità dai dati; il numero di condizionamento K = |x f'(x)/f(x)| misura di quanto un errore relativo sui dati si amplifica nel risultato (si perdono circa log10 K cifre). La stabilità riguarda invece l'algoritmo: un algoritmo instabile amplifica gli errori anche su un problema ben condizionato (ricorrenza I_n = 1 − n I_{n−1}); un problema mal condizionato non si salva con nessun algoritmo. Uno schema numerico converge se è consistente e stabile (derivata numerica: troncamento contro arrotondamento).Condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo →; qui si specializza ai sistemi lineari.

Prerequisiti: Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →, Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. È l'ortodiagonalizzazione delle matrici simmetriche reali: serve per le direzioni principali (tensioni, momenti d'inerzia) e permette di scrivere le forme quadratiche come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →, Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →; la fattorizzazione che risolve il sistema è in Fattorizzazione LU, pivoting e CholeskyRisolvere $A\mathbf x=\mathbf b$ con Gauss equivale a fattorizzare $A=LU$ ($L$ triangolare inferiore con $1$ sulla diagonale e i moltiplicatori $l_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}}$ sotto la diagonale, $U$ la matrice a scala finale) e poi risolvere $L\mathbf y=\mathbf b$ (in avanti) e $U\mathbf x=\mathbf y$ (all'indietro). Esiste (ed è unica) se i minori principali di testa $\det A_k$, $k<n$, sono $\ne0$. Costo $\frac23n^3$ flop per la fattorizzazione, $2n^2$ per ogni termine noto; $\det A=\prod u_{kk}$. Con un pivot piccolo l'algoritmo è instabile: il pivoting parziale (scambio di righe che porta in posizione di pivot l'elemento di modulo massimo della colonna) dà $PA=LU$ con $|l_{ik}|\le1$ ed esiste per ogni $A$ invertibile. Se $A$ è simmetrica definita positiva esiste $A=LL^T$ (Cholesky), con $l_{jj}=\sqrt{a_{jj}-\sum_{k<j}l_{jk}^2}$ e $l_{ij}=\frac{a_{ij}-\sum_{k<j}l_{ik}l_{jk}}{l_{jj}}$; costo $\frac13n^3$, senza pivoting.Fattorizzazione LU, pivoting e Cholesky →.

1. Norme di vettore

Definizione. Una norma su $\mathbb R^n$ è una funzione $\|\cdot\|$ con: $\|\mathbf x\|\ge0$ e $=0$ solo per $\mathbf x=\mathbf 0$; $\|\alpha\mathbf x\|=|\alpha|\|\mathbf x\|$; $\|\mathbf x+\mathbf y\|\le\|\mathbf x\|+\|\mathbf y\|$ (disuguaglianza triangolare).

Le tre norme usate sono $$\|\mathbf x\|_1=\sum_{i=1}^n|x_i|,\qquad\|\mathbf x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2},\qquad\|\mathbf x\|_\infty=\max_i|x_i| .$$ Per $\mathbf x=(3,-4,12)^T$: $\|\mathbf x\|_1=19$, $\|\mathbf x\|_2=\sqrt{9+16+144}=13$, $\|\mathbf x\|_\infty=12$. In $\mathbb R^n$ tutte le norme sono equivalenti: ad esempio $\|\mathbf x\|_\infty\le\|\mathbf x\|_2\le\sqrt n\,\|\mathbf x\|_\infty$ e $\|\mathbf x\|_2\le\|\mathbf x\|_1\le\sqrt n\,\|\mathbf x\|_2$. Per questo una successione che tende a zero in una norma tende a zero in tutte; le costanti però contano nelle stime.

2. Norme di matrice

Una matrice $A$ è un'applicazione lineare: la sua «grandezza» è il massimo fattore di cui allunga un vettore.

Definizione (norma indotta). $\|A\|=\displaystyle\max_{\mathbf x\ne\mathbf 0}\frac{\|A\mathbf x\|}{\|\mathbf x\|}=\max_{\|\mathbf x\|=1}\|A\mathbf x\|$.

Dalla definizione seguono subito $\|A\mathbf x\|\le\|A\|\,\|\mathbf x\|$ per ogni $\mathbf x$ e la proprietà submoltiplicativa $\|AB\|\le\|A\|\,\|B\|$ (perché $\|AB\mathbf x\|\le\|A\|\|B\mathbf x\|\le\|A\|\|B\|\|\mathbf x\|$).

Teorema (formule esplicite). $$\|A\|_1=\max_j\sum_{i=1}^n|a_{ij}|\ \ (\text{massima somma per colonne}),\qquad\|A\|_\infty=\max_i\sum_{j=1}^n|a_{ij}|\ \ (\text{massima somma per righe}),$$ $$\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}=\sigma_{\max}(A).$$

Dimostrazione per $\|\cdot\|_\infty$. Per ogni $\mathbf x$, $|(A\mathbf x)_i|=\big|\sum_ja_{ij}x_j\big|\le\sum_j|a_{ij}|\,\|\mathbf x\|_\infty$, quindi $\|A\mathbf x\|_\infty\le\big(\max_i\sum_j|a_{ij}|\big)\|\mathbf x\|_\infty$. Viceversa, se la riga $i^*$ ha somma massima, il vettore $x_j=\operatorname{sgn}(a_{i^*j})$ ha $\|\mathbf x\|_\infty=1$ e $(A\mathbf x)_{i^*}=\sum_j|a_{i^*j}|$: il massimo è raggiunto. $\blacksquare$ (Per $\|\cdot\|_1$ è lo stesso scambiando righe e colonne.)

Perché $\|A\|_2$ ha gli autovalori di $A^TA$. $\|A\mathbf x\|_2^2=\mathbf x^TA^TA\mathbf x$, forma quadratica con matrice simmetrica semidefinita positiva $A^TA$: il suo massimo su $\|\mathbf x\|_2=1$ è l'autovalore massimo (Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. È l'ortodiagonalizzazione delle matrici simmetriche reali: serve per le direzioni principali (tensioni, momenti d'inerzia) e permette di scrivere le forme quadratiche come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →). La radice degli autovalori di $A^TA$ sono i valori singolari $\sigma_i$. Se $A$ è simmetrica, $A^TA=A^2$ ha autovalori $\lambda_i^2$ e $\|A\|_2=\max|\lambda_i|=\rho(A)$.

Raggio spettrale. $\rho(A)=\max|\lambda_i(A)|$ (autovalori anche complessi). Per ogni norma indotta $\rho(A)\le\|A\|$.

Perché. Se $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$, $\mathbf v\ne\mathbf 0$: $|\lambda|\,\|\mathbf v\|=\|A\mathbf v\|\le\|A\|\,\|\mathbf v\|$, quindi $|\lambda|\le\|A\|$ per ogni autovalore. $\blacksquare$ Il raggio spettrale non è una norma (la matrice $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ ha $\rho=0$) ma è l'estremo inferiore delle norme indotte: serve per i metodi iterativi (Metodi iterativi - Jacobi, Gauss-Seidel e convergenzaSi spezza $A=M-N$ con $M$ facile da invertire e si itera $M\mathbf x^{(k+1)}=N\mathbf x^{(k)}+\mathbf b$, cioè $\mathbf x^{(k+1)}=B\mathbf x^{(k)}+\mathbf c$ con $B=M^{-1}N=I-M^{-1}A$. Con $A=D+L+U$ (diagonale, parte strettamente inferiore e superiore): Jacobi $M=D$, $x_i^{(k+1)}=\frac1{a_{ii}}\big(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}\big)$; Gauss-Seidel $M=D+L$, usa subito i valori nuovi $x_j^{(k+1)}$, $j<i$. Convergenza per ogni $\mathbf x^{(0)}$ se e solo se $\rho(B)<1$ (D); basta $|B|<1$. Matrice a dominanza diagonale stretta per righe: convergono entrambi; $A$ SPD: converge Gauss-Seidel; per matrici tridiagonali $\rho(B_{GS})=\rho(B_J)^2$. Errore: $\mathbf e^{(k)}=B^k\mathbf e^{(0)}$, $|\mathbf e^{(k)}|\le|B|^k|\mathbf e^{(0)}|$ e $|\mathbf x-\mathbf x^{(k)}|\le\frac{|B|}{1-|B|}|\mathbf x^{(k)}-\mathbf x^{(k-1)}|$. Per guadagnare $d$ cifre servono $k\approx\frac d{-\log_{10}\rho(B)}$ iterazioni.Metodi iterativi - Jacobi, Gauss-Seidel e convergenza →).

La norma di Frobenius $\|A\|_F=\sqrt{\sum_{ij}a_{ij}^2}$ non è indotta ma è facile da calcolare e vale $\|A\|_2\le\|A\|_F\le\sqrt n\,\|A\|_2$. Vale anche $\|A\|_2\le\sqrt{\|A\|_1\|A\|_\infty}$.

Esempio ($3\times3$). $A=\begin{pmatrix}1&-2&3\\0&4&-1\\-2&1&5\end{pmatrix}$. Somme per colonne: $|1|+|0|+|-2|=3$; $|-2|+4+1=7$; $3+1+5=9$: $\|A\|_1=9$. Somme per righe: $1+2+3=6$; $0+4+1=5$; $2+1+5=8$: $\|A\|_\infty=8$. Frobenius: $\sqrt{1+4+9+0+16+1+4+1+25}=\sqrt{61}=7{,}81$. Stime per la norma 2: $\|A\|_2\le\sqrt{9\cdot8}=8{,}49$ e $\|A\|_2\ge\rho(A)=4{,}38$; il valore esatto (Python) è $6{,}13$.

Esempio ($2\times2$, norma 2 a mano). $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$: $A^TA=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$, polinomio caratteristico $\lambda^2-6\lambda+1=0$, $\lambda=3\pm2\sqrt2$. Allora $\|A\|_2=\sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2=2{,}4142$ (perché $(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2$). Gli autovalori di $A$ valgono entrambi $1$: $\rho(A)=1<\|A\|_2$, a conferma che $\rho$ può essere molto minore della norma.

3. Numero di condizionamento

Definizione. Per $A$ invertibile $\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|$ (con la stessa norma indotta).

Proprietà.

• $\kappa(A)\ge1$, perché $1=\|I\|=\|AA^{-1}\|\le\|A\|\|A^{-1}\|$.
• $\kappa(\alpha A)=\kappa(A)$ per $\alpha\ne0$: il condizionamento non dipende dalla scala (non è il determinante: $\operatorname{diag}(10^{-10},10^{-10})$ ha determinante piccolissimo ma $\kappa=1$).
• $\kappa_2(A)=\dfrac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$; per $A$ simmetrica definita positiva $\kappa_2(A)=\dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}$ (perché gli autovalori di $A^{-1}$ sono $\frac1{\lambda_i}$).
• Per una matrice ortogonale (Isometrie e matrici ortogonaliUna matrice Q è ortogonale se QᵀQ = I, cioè se ha colonne (e righe) ortonormali; equivale a conservare prodotto scalare, norme e angoli, ed è la matrice di una isometria lineare. Ha Q⁻¹ = Qᵀ e det Q = ±1. In R² le ortogonali sono le rotazioni (det 1) e le riflessioni rispetto a una retta (det −1); in R³ le rotazioni hanno un asse (autovalore 1) e un angolo con tr Q = 1 + 2 cos θ, le riflessioni rispetto a un piano hanno Q = I − 2nnᵀ/(n·n). Le isometrie affini sono x ↦ Qx + b.Isometrie e matrici ortogonali →) $\kappa_2(Q)=1$: è la matrice meglio condizionata possibile.
• $\kappa$ è anche la distanza (relativa) dalla singolarità: $\frac1{\kappa(A)}=\min\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}$ tra le perturbazioni che rendono $A+\delta A$ singolare.

Esempio. $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ ha $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$, quindi $\kappa_1=\kappa_\infty=3\cdot3=9$ e $\kappa_2=(1+\sqrt2)^2=5{,}83$.

Esempio (quasi singolare). $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1{,}0001\end{pmatrix}$ ha $\det A=10^{-4}$, $A^{-1}=10^4\begin{pmatrix}1{,}0001&-1\\-1&1\end{pmatrix}$, $\|A\|_\infty=2{,}0001$, $\|A^{-1}\|_\infty=2{,}0001\cdot10^4$, quindi $\kappa_\infty(A)=4{,}0004\cdot10^4$. Le due righe sono quasi parallele: le due rette del sistema sono quasi sovrapposte e il loro punto di intersezione si sposta molto per piccole variazioni.

4. Sensibilità della soluzione ai dati

Teorema (perturbazione del termine noto, D). Se $A\mathbf x=\mathbf b$ e $A(\mathbf x+\delta\mathbf x)=\mathbf b+\delta\mathbf b$, con $\mathbf b\ne\mathbf 0$, $$\frac{\|\delta\mathbf x\|}{\|\mathbf x\|}\le\kappa(A)\,\frac{\|\delta\mathbf b\|}{\|\mathbf b\|}.$$

Dimostrazione. Sottraendo le equazioni, $A\,\delta\mathbf x=\delta\mathbf b$, cioè $\delta\mathbf x=A^{-1}\delta\mathbf b$ e $\|\delta\mathbf x\|\le\|A^{-1}\|\,\|\delta\mathbf b\|$. Da $\mathbf b=A\mathbf x$ si ha $\|\mathbf b\|\le\|A\|\,\|\mathbf x\|$, cioè $\frac1{\|\mathbf x\|}\le\frac{\|A\|}{\|\mathbf b\|}$. Moltiplicando le due disuguaglianze si ottiene la tesi. $\blacksquare$

Il fattore $\kappa(A)$ è l'amplificatore massimo dell'errore relativo sui dati; esistono $\mathbf b$ e $\delta\mathbf b$ per cui la disuguaglianza è un'uguaglianza.

Perturbando anche la matrice: se $(A+\delta A)(\mathbf x+\delta\mathbf x)=\mathbf b+\delta\mathbf b$ con $\kappa(A)\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}<1$, $$\frac{\|\delta\mathbf x\|}{\|\mathbf x\|}\le\frac{\kappa(A)}{1-\kappa(A)\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}}\left(\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}+\frac{\|\delta\mathbf b\|}{\|\mathbf b\|}\right).$$ Se $\kappa\,\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}\ll1$ il denominatore è $\approx1$ e la regola è la stessa: errore relativo sui dati $\times\kappa$.

Esempio. Con $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1{,}0001\end{pmatrix}$ e $\mathbf b=(2;\,2{,}0001)^T$ la soluzione è $\mathbf x=(1,1)^T$. Se $b_2$ passa a $2{,}0002$ ($\|\delta\mathbf b\|_\infty=10^{-4}$, errore relativo $\frac{10^{-4}}{2{,}0001}=5\cdot10^{-5}$) la soluzione diventa $(0,\,2)^T$: $\delta\mathbf x=(-1,1)$, errore relativo $\frac{1}{1}=1$, cioè 100%. L'amplificazione effettiva è $\frac1{5\cdot10^{-5}}=2\cdot10^4\le\kappa_\infty=4\cdot10^4$ ✓.

Cifre perdute. Se i dati hanno $d$ cifre decimali corrette e $\kappa\approx10^s$, la soluzione ha circa $d-s$ cifre corrette. In doppia precisione ($d\approx16$) con $\kappa=10^{12}$ restano circa $4$ cifre. Esempio classico: le matrici di Hilbert $H_{ij}=\frac1{i+j-1}$ hanno $\kappa_2=5{,}2\cdot10^2$ per $n=3$, $4{,}8\cdot10^5$ per $n=5$, $1{,}5\cdot10^{10}$ per $n=8$, $1{,}6\cdot10^{13}$ per $n=10$.

5. Residuo ed errore

Per un algoritmo si conosce la soluzione calcolata $\hat{\mathbf x}$ ma non la soluzione vera $\mathbf x$. Quello che si può calcolare è il residuo $\mathbf r=\mathbf b-A\hat{\mathbf x}$. Dato che $A(\mathbf x-\hat{\mathbf x})=\mathbf r$, l'errore è $\mathbf e=\mathbf x-\hat{\mathbf x}=A^{-1}\mathbf r$ e (stessi argomenti del teorema, in entrambi i versi):

$$\boxed{\ \frac1{\kappa(A)}\frac{\|\mathbf r\|}{\|\mathbf b\|}\ \le\ \frac{\|\mathbf x-\hat{\mathbf x}\|}{\|\mathbf x\|}\ \le\ \kappa(A)\frac{\|\mathbf r\|}{\|\mathbf b\|}\ }$$

Se $\kappa$ è vicino a $1$, residuo piccolo $\Leftrightarrow$ errore piccolo. Se $\kappa$ è grande, un residuo piccolo non dice niente sull'errore: è il motivo per cui il criterio d'arresto «$\|\mathbf r\|<\text{tol}$» dei metodi iterativi è affidabile solo per matrici ben condizionate.

Esempio. Con la stessa $A$ quasi singolare e $\hat{\mathbf x}=(2,0)^T$: $\mathbf r=\mathbf b-A\hat{\mathbf x}=(2-2,\ 2{,}0001-2)=(0,\,10^{-4})$, residuo relativo $\frac{10^{-4}}{2{,}0001}=5\cdot10^{-5}$ — minuscolo, eppure $\mathbf x-\hat{\mathbf x}=(-1,1)$ ha errore relativo $1$. Il limite superiore $\kappa\cdot5\cdot10^{-5}=2$ lo rispetta.

Collegamento con gli algoritmi. La fattorizzazione LU con pivoting è stabile all'indietro: produce $\hat{\mathbf x}$ con residuo piccolo, $\frac{\|\mathbf r\|}{\|\mathbf b\|}\approx u$ ($u$ precisione di macchina). L'errore finale è allora $\lesssim\kappa(A)\,u$: la precisione dipende dal condizionamento del problema, non dall'algoritmo.

6. Implementazione

import numpy as np
from numpy.linalg import norm, cond, inv, solve

A = np.array([[1, -2, 3], [0, 4, -1], [-2, 1, 5]], dtype=float)
print("norme 1, inf, F, 2:", norm(A, 1), norm(A, np.inf), round(norm(A, "fro"), 4), round(norm(A, 2), 4))
print("raggio spettrale   :", round(max(abs(np.linalg.eigvals(A))), 4))

B = np.array([[1, 1], [1, 1.0001]])
b = np.array([2, 2.0001])
print("cond_inf(B) =", round(cond(B, np.inf), 1))
x = solve(B, b)
x2 = solve(B, b + [0, 1e-4])                   # perturbo b2 di 1e-4
print("x =", x.round(6), "  x perturbata =", x2.round(6) + 0)
print("amplificazione:", norm(x2 - x, np.inf) / norm(x, np.inf) / (1e-4 / norm(b, np.inf)))

for n in (3, 5, 8, 10):                         # matrici di Hilbert
    H = np.array([[1 / (i + j + 1) for j in range(n)] for i in range(n)])
    print("Hilbert", n, f"cond_2 = {cond(H):.2e}")

Output:

norme 1, inf, F, 2: 9.0 8.0 7.8102 6.1295
raggio spettrale   : 4.3836
cond_inf(B) = 40004.0
x = [1. 1.]   x perturbata = [0. 2.]
amplificazione: 20001.0
Hilbert 3 cond_2 = 5.24e+02
Hilbert 5 cond_2 = 4.77e+05
Hilbert 8 cond_2 = 1.53e+10
Hilbert 10 cond_2 = 1.60e+13

Equivalenti MATLAB: norm(A,1), norm(A,inf), norm(A) (norma 2), norm(A,'fro'), cond(A) o cond(A,1), rcond(A) (stima di $1/\kappa_1$, più economica), hilb(n).

Errori da evitare

• Confondere $\rho(A)$ con $\|A\|$: $\rho(A)\le\|A\|$, anche con forte differenza (esempio $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$: $\rho=1$, $\|\cdot\|_2=2{,}41$).
• Scambiare «somma per colonne» e «per righe» nelle norme $1$ e $\infty$.
• Giudicare il condizionamento dal determinante: $\kappa(\alpha A)=\kappa(A)$, mentre $\det(\alpha A)=\alpha^n\det A$.
• Fidarsi del residuo piccolo con $\kappa$ grande.
• Usare norme diverse nello stesso rapporto (errore in norma 2, dati in norma $\infty$): le stime valgono con la stessa norma; passare da una all'altra costa un fattore $\le\sqrt n$.
• Dimenticare che $\kappa$ è un limite superiore: il peggioramento effettivo può essere minore, ma esistono dati per cui è raggiunto.

Esercizi svolti: Esercizio - norme e raggio spettrale di matrici 2x2 e 3x3, Esercizio - numero di condizionamento di un sistema 2x2 quasi singolare, Esercizio - residuo ed errore in un sistema ben e mal condizionato, Esercizio - condizionamento della matrice di rigidezza di una catena di molle.

Domande d'esame

1. Dare le formule di $\|A\|_1$ e $\|A\|_\infty$ e dimostrare quella di $\|A\|_\infty$. Traccia. Disuguaglianza $|(A\mathbf x)_i|\le\sum_j|a_{ij}|\|\mathbf x\|_\infty$; massimo raggiunto con $x_j=\operatorname{sgn}(a_{i^*j})$.
2. Dimostrare $\rho(A)\le\|A\|$ e mostrare che l'uguaglianza può non valere. Traccia. $|\lambda|\|\mathbf v\|=\|A\mathbf v\|\le\|A\|\|\mathbf v\|$; $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$.
3. Dimostrare che $\frac{\|\delta\mathbf x\|}{\|\mathbf x\|}\le\kappa(A)\frac{\|\delta\mathbf b\|}{\|\mathbf b\|}$. Che significa $\kappa=10^8$ in doppia precisione? Traccia. $\delta\mathbf x=A^{-1}\delta\mathbf b$ e $\|\mathbf b\|\le\|A\|\|\mathbf x\|$; restano circa $16-8=8$ cifre.
4. Perché un residuo piccolo non garantisce un errore piccolo? Quando lo garantisce? Traccia. $\mathbf e=A^{-1}\mathbf r$, $\frac{\|\mathbf e\|}{\|\mathbf x\|}\le\kappa\frac{\|\mathbf r\|}{\|\mathbf b\|}$; se $\kappa\approx1$ (ad esempio $A$ ortogonale, SPD con autovalori vicini).