Esercizio - Numeri di macchina di F(2,3,-1,2), arrotondamento e somma non associativa

Teoria: Aritmetica di macchina - floating point, precisione di macchina e cancellazioneUn calcolatore rappresenta solo un insieme finito di numeri F(β,t,L,U); ogni numero reale viene arrotondato con errore relativo al più u = ½β^(1−t) (u ≈ 1,1·10⁻¹⁶ in doppia precisione) e ogni operazione è esatta più un errore (1+δ), |δ| ≤ u. Conseguenze: overflow e underflow, somma non associativa, assorbimento, e soprattutto la cancellazione numerica nella differenza di numeri quasi uguali, che si evita riformulando l'espressione.Aritmetica di macchina - floating point, precisione di macchina e cancellazione →.

Testo

Si consideri il sistema di numeri di macchina $F(2,3,-1,2)$ con arrotondamento al numero più vicino (a parità, al numero con ultima cifra binaria $0$).

• (a) Quanti numeri contiene? Quanto valgono $x_{\min}$, $x_{\max}$, la precisione di macchina $\varepsilon_M$ e l'unità di arrotondamento $u$?
• (b) Calcolare $\mathrm{fl}(0{,}6)$, $\mathrm{fl}(4{,}4)$ e $\mathrm{fl}(5{,}5)$ e l'errore relativo commesso in ciascun caso, confrontandolo con $u$.
• (c) Calcolare $(4 + 0{,}5) + 0{,}5$ e $4 + (0{,}5 + 0{,}5)$ in aritmetica di macchina e commentare.
• (d) Domanda teorica: perché si dice che l'arrotondamento limita l'errore relativo e non quello assoluto?

Soluzione

(a) Struttura del sistema

I numeri positivi sono $(1{,}m_1m_2)_2 \cdot 2^e = \left(1 + \frac m4\right)2^e$ con $m \in \{0,1,2,3\}$ ed $e \in \{-1,0,1,2\}$, quindi $4 \cdot 4 = 16$ numeri positivi. Con gli opposti e lo zero: $$\#F = 2(\beta-1)\beta^{t-1}(U-L+1) + 1 = 2\cdot 1\cdot 2^{2}\cdot 4 + 1 = 33.$$

• $x_{\min} = 1 \cdot 2^{-1} = 0{,}5$ (mantissa minima, esponente minimo).
• $x_{\max} = 1{,}75 \cdot 2^{2} = 7$ (mantissa $(1{,}11)_2 = 1{,}75$, esponente massimo).
• $\varepsilon_M = \beta^{1-t} = 2^{-2} = 0{,}25$ (da $1$ al successivo $1{,}25$) e $u = \varepsilon_M/2 = 0{,}125$.

(b) Arrotondamento

I numeri di macchina vicini e le distanze:

• $0{,}6$ sta tra $0{,}5$ e $0{,}625$ (passo $0{,}125$): distanze $0{,}1$ e $0{,}025$, quindi $\mathrm{fl}(0{,}6) = 0{,}625$. Errore relativo $\frac{0{,}025}{0{,}6} \approx 0{,}0417 \le u$.
• $4{,}4$ sta tra $4$ e $5$ (passo $1$): distanze $0{,}4$ e $0{,}6$, quindi $\mathrm{fl}(4{,}4) = 4$. Errore relativo $\frac{0{,}4}{4{,}4} \approx 0{,}0909 \le u$.
• $5{,}5$ è esattamente a metà tra $5 = (1{,}01)_2\cdot 2^2$ e $6 = (1{,}10)_2\cdot 2^2$. Si sceglie quello con ultima cifra binaria $0$: è $6$. Errore relativo $\frac{0{,}5}{5{,}5} \approx 0{,}0909 \le u$.

In tutti i casi l'errore relativo è $\le u = 0{,}125$, come garantisce il teorema.

(c) La somma non è associativa

• $(4 + 0{,}5) + 0{,}5$: $4 + 0{,}5 = 4{,}5$ è a metà tra $4 = (1{,}00)_2\cdot 2^2$ e $5$; vince il numero con ultima cifra $0$, cioè $4$. Poi $4 + 0{,}5 = 4{,}5 \to 4$ ancora. Risultato $4$.
• $4 + (0{,}5 + 0{,}5)$: $0{,}5 + 0{,}5 = 1$ (esatto, è di macchina); $4 + 1 = 5$, di macchina. Risultato $5$.

Il valore esatto è $5$: la prima via ha assorbito due volte il $0{,}5$ (a $4$ il passo è $1$, quindi aggiungere meno di $0{,}5$ non cambia nulla e $0{,}5$ cade proprio sul pareggio). Le due espressioni sono uguali in matematica ma diverse in aritmetica di macchina: conviene sommare prima i termini piccoli.

(d) Errore relativo e non assoluto

I numeri di macchina con esponente $e$ sono equispaziati con passo $\beta^{e+1-t}$, che cresce con $e$: qui $0{,}125$ vicino a $0{,}5$ e $1$ vicino a $7$. L'errore assoluto massimo è mezzo passo, quindi dipende da $e$ e può essere grande per numeri grandi. Dividendo per $|x| \ge \beta^e$ il fattore $\beta^e$ si semplifica e resta $\frac12\beta^{1-t} = u$, uguale per ogni $e$.

Risultati. $\#F = \mathbf{33}$, $x_{\min} = \mathbf{0{,}5}$, $x_{\max} = \mathbf{7}$, $\varepsilon_M = \mathbf{0{,}25}$, $u = \mathbf{0{,}125}$; $\mathrm{fl}(0{,}6) = \mathbf{0{,}625}$, $\mathrm{fl}(4{,}4) = \mathbf{4}$, $\mathrm{fl}(5{,}5) = \mathbf{6}$; $(4+0{,}5)+0{,}5 = \mathbf{4}$, $4+(0{,}5+0{,}5) = \mathbf{5}$.

Errori tipici

• Dimenticare che le mantisse partono da $1$: $x_{\min} = 0{,}5$, non $0{,}125$.
• Nei pareggi arrotondare "per eccesso" invece che al numero con ultima cifra pari.
• Pensare che $\varepsilon_M$ sia il più piccolo numero positivo: è la distanza tra $1$ e il successivo.