Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio - trapezio, punto medio e Simpson semplici su 1 su x

Esercizio - trapezio, punto medio e Simpson semplici su 1 su x

Teoria: Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di RichardsonUna formula di quadratura approssima $\int_a^b f,dx$ con $\sum w_if(x_i)$ ottenuta integrando il polinomio che interpola $f$ nei nodi. Trapezio $\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]$ (grado di esattezza 1, errore $-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$), punto medio $(b-a)f(m)$ (grado 1, errore $+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$), Cavalieri-Simpson $\frac{b-a}6[f(a)+4f(m)+f(b)]$ (grado 3, errore $-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)$). Composite con passo $h=\frac{b-a}n$: trapezi errore $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ (ordine 2, rapporto tra errori 4 se $h$ si dimezza), Simpson errore $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ (ordine 4, rapporto 16, $n$ pari). Estrapolazione di Richardson: se $Q(h)=I+Ch^p+\dots$ allora $I\approx\frac{2^pQ(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$; per i trapezi $p=2$ e $\frac{4T_{h/2}-T_h}3=S_{h/2}$; ripetuta dà la tabella di Romberg. Stima dell'errore a posteriori: $I-Q(h/2)\approx\frac{Q(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$.Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di Richardson →.

Testo. Si vuole approssimare I=∫12dxx=ln⁡2I=\displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x}=\ln2.

  1. Calcolare l'approssimazione con la formula del punto medio, del trapezio e di Cavalieri-Simpson (una sola applicazione su tutto [1,2][1,2]).
  2. Calcolare l'errore vero I−QI-Q di ciascuna e confrontarlo con la maggiorazione data dalla teoria.
  3. Verificare che QS=2QPM+QT3Q_S=\frac{2Q_{PM}+Q_T}3.
  4. (Teoria) Calcolare QSQ_S per f(x)=x3f(x)=x^3 e f(x)=x4f(x)=x^4 su [0,1][0,1] e dedurre il grado di esattezza.

Soluzione

Qui a=1a=1, b=2b=2, H=1H=1, m=32m=\frac32, f(x)=1xf(x)=\frac1x: f(1)=1f(1)=1, f(32)=23f(\frac32)=\frac23, f(2)=12f(2)=\frac12. Valore esatto: ln⁡2=0,693147\ln2=0{,}693147.

1. Le tre formule. QPM=H f(m)=23=0,666667,QT=H2[f(1)+f(2)]=12(1+12)=0,75,Q_{PM}=H\,f(m)=\frac23=0{,}666667,\qquad Q_T=\frac H2\big[f(1)+f(2)\big]=\frac12\Big(1+\frac12\Big)=0{,}75, QS=H6[f(1)+4f(32)+f(2)]=16(1+83+12)=16⋅256=2536=0,694444.Q_S=\frac H6\big[f(1)+4f(\tfrac32)+f(2)\big]=\frac16\Big(1+\frac83+\frac12\Big)=\frac16\cdot\frac{25}6=\frac{25}{36}=0{,}694444 .

2. Errori e maggiorazioni. Gli errori veri sono EPM=0,693147−0,666667=+0,026481,ET=0,693147−0,75=−0,056853,ES=0,693147−0,694444=−0,001297.E_{PM}=0{,}693147-0{,}666667=+0{,}026481,\quad E_T=0{,}693147-0{,}75=-0{,}056853,\quad E_S=0{,}693147-0{,}694444=-0{,}001297 . Segni: f′′(x)=2x3>0f''(x)=\frac2{x^3}>0 (ff convessa), quindi il trapezio sovrastima (ET<0E_T<0) e il punto medio sottostima (EPM>0E_{PM}>0), come previsto; il rapporto ETEPM=−2,15\frac{E_T}{E_{PM}}=-2{,}15 è vicino a −2-2 (nelle formule c'è −112-\frac1{12} contro +124+\frac1{24}).

Maggiorazioni: f′′(x)=2x3≤2f''(x)=\frac2{x^3}\le2 su [1,2][1,2] (massimo in x=1x=1) e f(4)(x)=24x5≤24f^{(4)}(x)=\frac{24}{x^5}\le24. Allora ∣EPM∣≤1324⋅2=0,0833,∣ET∣≤1312⋅2=0,1667,∣ES∣≤152880⋅24=0,00833.|E_{PM}|\le\frac{1^3}{24}\cdot2=0{,}0833,\qquad|E_T|\le\frac{1^3}{12}\cdot2=0{,}1667,\qquad|E_S|\le\frac{1^5}{2880}\cdot24=0{,}00833 . Le maggiorazioni sono rispettate, ma pessimistiche (di un fattore 3-6): sono state calcolate nel punto peggiore x=1x=1, mentre l'errore dipende da una media di f′′f'' sull'intervallo.

3. Simpson come combinazione. 2QPM+QT3=13(43+34)=13⋅2512=2536=QS\frac{2Q_{PM}+Q_T}3=\frac13\Big(\frac43+\frac34\Big)=\frac13\cdot\frac{25}{12}=\frac{25}{36}=Q_S ✓. In generale QS=23QPM+13QTQ_S=\frac23Q_{PM}+\frac13Q_T: le due formule di grado 1 hanno errori +H324f′′+\frac{H^3}{24}f'' e −H312f′′-\frac{H^3}{12}f'', e la combinazione con pesi 23,13\frac23,\frac13 cancella il termine in f′′f'' (23⋅124−13⋅112=0\frac23\cdot\frac1{24}-\frac13\cdot\frac1{12}=0).

4. Grado di esattezza. Su [0,1][0,1]: m=12m=\frac12, H=1H=1.

  • f=x3f=x^3: QS=16(0+4⋅18+1)=14=∫01x3dxQ_S=\frac16\big(0+4\cdot\frac18+1\big)=\frac14=\int_0^1x^3dx ✓ esatto.
  • f=x4f=x^4: QS=16(0+4⋅116+1)=524=0,20833≠15Q_S=\frac16\big(0+4\cdot\frac1{16}+1\big)=\frac5{24}=0{,}20833\ne\frac15.

Poiché sono esatti anche 1,x,x21,x,x^2 (per costruzione), il grado di esattezza è 3. Coerente con l'errore −H52880f(4)(ξ)-\frac{H^5}{2880}f^{(4)}(\xi), che si annulla per ogni cubico. Controllo con x4x^4: f(4)=24f^{(4)}=24, E=−242880=−0,008333E=-\frac{24}{2880}=-0{,}008333; direttamente 15−524=−1120=−0,008333\frac15-\frac5{24}=-\frac1{120}=-0{,}008333 ✓.

Risultati: QPM=0,6667Q_{PM}=0{,}6667, QT=0,75Q_T=0{,}75, QS=2536=0,6944\mathbf{Q_S=\frac{25}{36}=0{,}6944} (errore −1,3⋅10−3-1{,}3\cdot10^{-3}); grado di esattezza di Simpson: 3.

Errori tipici. Dimenticare il fattore 44 sul punto medio in Simpson; usare (b−a)2(b-a)^2 al posto di (b−a)3(b-a)^3 nelle maggiorazioni; interpretare il segno di E=I−QE=I-Q al contrario.

Versione ripasso

(Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di RichardsonUna formula di quadratura approssima $\int_a^b f,dx$ con $\sum w_if(x_i)$ ottenuta integrando il polinomio che interpola $f$ nei nodi. Trapezio $\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]$ (grado di esattezza 1, errore $-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$), punto medio $(b-a)f(m)$ (grado 1, errore $+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$), Cavalieri-Simpson $\frac{b-a}6[f(a)+4f(m)+f(b)]$ (grado 3, errore $-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)$). Composite con passo $h=\frac{b-a}n$: trapezi errore $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ (ordine 2, rapporto tra errori 4 se $h$ si dimezza), Simpson errore $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ (ordine 4, rapporto 16, $n$ pari). Estrapolazione di Richardson: se $Q(h)=I+Ch^p+\dots$ allora $I\approx\frac{2^pQ(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$; per i trapezi $p=2$ e $\frac{4T_{h/2}-T_h}3=S_{h/2}$; ripetuta dà la tabella di Romberg. Stima dell'errore a posteriori: $I-Q(h/2)\approx\frac{Q(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$.Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di Richardson →)

∫12dxx=ln⁡2=0,693147\int_1^2\frac{dx}x=\ln2=0{,}693147; H=1H=1, f(1)=1f(1)=1, f(32)=23f(\frac32)=\frac23, f(2)=12f(2)=\frac12.

  • QPM=23=0,6667Q_{PM}=\frac23=0{,}6667 (E=+0,0265E=+0{,}0265), QT=0,75Q_T=0{,}75 (E=−0,0569E=-0{,}0569), QS=16(1+83+12)=2536=0,6944Q_S=\frac16(1+\frac83+\frac12)=\frac{25}{36}=0{,}6944 (E=−0,0013E=-0{,}0013).
  • f′′=2x3≤2f''=\frac2{x^3}\le2, f(4)=24x5≤24f^{(4)}=\frac{24}{x^5}\le24: ∣EPM∣≤0,0833|E_{PM}|\le0{,}0833, ∣ET∣≤0,1667|E_T|\le0{,}1667, ∣ES∣≤0,00833|E_S|\le0{,}00833.
  • QS=2QPM+QT3Q_S=\frac{2Q_{PM}+Q_T}3: i termini in f′′f'' si cancellano (23⋅124=13⋅112\frac23\cdot\frac1{24}=\frac13\cdot\frac1{12}).
  • Su [0,1][0,1]: QS(x3)=14Q_S(x^3)=\frac14 esatto, QS(x4)=524≠15Q_S(x^4)=\frac5{24}\ne\frac15: grado 3. Controllo: f(4)=24f^{(4)}=24, E=−242880=−1120=15−524E=-\frac{24}{2880}=-\frac1{120}=\frac15-\frac5{24}.
  • Segni: f′′>0f''>0 (convessa), il trapezio sovrastima e il punto medio sottostima; le maggiorazioni sono pessimistiche di un fattore 3-6 perché prese in x=1x=1.

Errori tipici: manca il 44 sul punto medio; (b−a)2(b-a)^2 per (b−a)3(b-a)^3; segno di E=I−QE=I-Q.

Teoria collegata