Esercizio - nodi e pesi di Gauss a due punti, composita e numero di intervalli

Teoria: Quadratura gaussiana e formule composite adattiveLe formule di Newton-Cotes a $m$ nodi equispaziati hanno grado di esattezza $m-1$ ($m$ se $m$ è dispari). Scegliendo anche i nodi, la formula di Gauss-Legendre a $m$ nodi $\int_{-1}^1f\approx\sum w_if(t_i)$ ha grado $2m-1$: i nodi sono le radici del polinomio di Legendre $P_m$ ($m=2$: $\pm\frac1{\sqrt3}$, pesi 1; $m=3$: $0,\pm\sqrt{3/5}$, pesi $\frac89,\frac59,\frac59$), i pesi sono positivi. Su $[a,b]$: $x_i=\frac{a+b}2+\frac{b-a}2t_i$, $Q=\frac{b-a}2\sum w_if(x_i)$. Errore $\frac{(b-a)^{2m+1}(m!)^4}{(2m+1)[(2m)!]^3}f^{(2m)}(\xi)$ ($m=2$: $\frac{(b-a)^5}{4320}f^{(4)}$). Composita: ordine $2m$ in $h$. Adattiva: si confronta Simpson su $[a,b]$ ($S_1$) con Simpson sulle due metà ($S_2$); se $|S_2-S_1|\le15\varepsilon$ si accetta $S_2+\frac{S_2-S_1}{15}$, altrimenti si divide e si riparte con $\varepsilon/2$ su ciascuna metà: pochi nodi dove $f$ varia poco, molti dove varia molto.Quadratura gaussiana e formule composite adattive →, Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di RichardsonUna formula di quadratura approssima $\int_a^b f,dx$ con $\sum w_if(x_i)$ ottenuta integrando il polinomio che interpola $f$ nei nodi. Trapezio $\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]$ (grado di esattezza 1, errore $-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$), punto medio $(b-a)f(m)$ (grado 1, errore $+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$), Cavalieri-Simpson $\frac{b-a}6[f(a)+4f(m)+f(b)]$ (grado 3, errore $-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)$). Composite con passo $h=\frac{b-a}n$: trapezi errore $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ (ordine 2, rapporto tra errori 4 se $h$ si dimezza), Simpson errore $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ (ordine 4, rapporto 16, $n$ pari). Estrapolazione di Richardson: se $Q(h)=I+Ch^p+\dots$ allora $I\approx\frac{2^pQ(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$; per i trapezi $p=2$ e $\frac{4T_{h/2}-T_h}3=S_{h/2}$; ripetuta dà la tabella di Romberg. Stima dell'errore a posteriori: $I-Q(h/2)\approx\frac{Q(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$.Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di Richardson →.

Testo.

1. Determinare nodi $x_1,x_2$ e pesi $w_1,w_2$ della formula $\int_0^1f(x)\,dx\approx w_1f(x_1)+w_2f(x_2)$ in modo che sia esatta per tutti i polinomi di grado $\le3$, senza risolvere il sistema non lineare dei momenti ma usando il polinomio ortogonale $q(x)=x^2+bx+c$ (che deve avere integrale nullo contro $1$ e $x$).
2. Verificare il grado di esattezza e calcolare l'errore su $x^4$.
3. Usare la formula composita ($n$ sottointervalli uguali, la formula del punto 1 su ciascuno) per $I=\int_0^\pi\sin x\,dx=2$ con $n=1$ e $n=2$, e commentare il rapporto tra gli errori.
4. Quanti sottointervalli servono per avere errore $\le10^{-8}$? Quante valutazioni servirebbero a Simpson composito per la stessa garanzia?

Soluzione

1. Nodi come radici di un polinomio ortogonale. I due nodi sono le radici di $q(x)=(x-x_1)(x-x_2)=x^2+bx+c$. Se la formula è esatta fino al grado $3$, per ogni polinomio $r$ di grado $\le1$ il prodotto $q\,r$ ha grado $\le3$ e vale $\int_0^1q\,r\,dx=w_1q(x_1)r(x_1)+w_2q(x_2)r(x_2)=0$. Quindi $q$ è ortogonale a $1$ e a $x$ su $[0,1]$: $$\int_0^1(x^2+bx+c)\,dx=\frac13+\frac b2+c=0,\qquad\int_0^1x(x^2+bx+c)\,dx=\frac14+\frac b3+\frac c2=0 .$$ Dalla prima $c=-\frac13-\frac b2$; sostituita nella seconda: $\frac14+\frac b3-\frac16-\frac b4=\frac1{12}+\frac b{12}=0$, cioè $b=-1$, $c=-\frac13+\frac12=\frac16$. Allora $q(x)=x^2-x+\frac16$, con radici $$x_{1,2}=\frac{1\mp\sqrt{1-\frac23}}2=\frac12\mp\frac1{2\sqrt3}=0{,}211325;\ 0{,}788675$$ (sono i nodi di Gauss $\mp\frac1{\sqrt3}$ trasformati su $[0,1]$). I pesi si ricavano dall'esattezza su $1$ e $x$: $$w_1+w_2=1,\qquad w_1x_1+w_2x_2=\frac12 .$$ I nodi sono simmetrici rispetto a $\frac12$, quindi $w_1=w_2=\frac12$ (verifica: $\frac12(x_1+x_2)=\frac12$ ✓).

2. Grado di esattezza. Si usano $x_1+x_2=1$ e $x_1x_2=\frac14-\frac1{12}=\frac16$ (dal polinomio $q$).

• $x_1^2+x_2^2=1-\frac13=\frac23$, quindi $\frac12\cdot\frac23=\frac13=\int_0^1x^2dx$ ✓.
• $x_1^3+x_2^3=1-3\cdot\frac16=\frac12$, quindi $\frac12\cdot\frac12=\frac14=\int_0^1x^3dx$ ✓.
• $x_1^4+x_2^4=\big(\tfrac23\big)^2-2\cdot\frac1{36}=\frac49-\frac1{18}=\frac7{18}$, quindi $Q=\frac7{36}=0{,}19444$, mentre $\int_0^1x^4dx=\frac15=0{,}2$: errore $E=\frac15-\frac7{36}=\frac1{180}=0{,}005556$.

Il grado è 3. Controllo con $E=\frac{(b-a)^5}{4320}f^{(4)}$: $\frac{24}{4320}=\frac1{180}$ ✓.

3. Composita su $[0,\pi]$, $f=\sin$. Su un sottointervallo $[\alpha,\beta]$ la formula vale $\frac{\beta-\alpha}2\big[f(\xi_1)+f(\xi_2)\big]$ con $\xi=\frac{\alpha+\beta}2\mp\frac{\beta-\alpha}{2\sqrt3}$.

• $n=1$: $\xi=\frac\pi2\mp\frac{\pi}{2\sqrt3}=0{,}663897;\ 2{,}477696$, $\sin\xi=0{,}616191$ (uguale nei due, per simmetria). $Q_1=\frac\pi2\cdot2\cdot0{,}616191=1{,}935820$, errore $I-Q_1=0{,}064180$.
• $n=2$: sottointervalli $[0,\frac\pi2]$ e $[\frac\pi2,\pi]$ di ampiezza $\frac\pi2$. Sul primo $\xi=\frac\pi4\mp\frac\pi{4\sqrt3}=0{,}331948;\ 1{,}238848$, $\sin\xi=0{,}325886;\ 0{,}945409$; contributo $\frac\pi4\,(0{,}325886+0{,}945409)=\frac\pi4\cdot1{,}271295=0{,}998473$. Il secondo è simmetrico (stesso valore). $Q_2=1{,}996945$, errore $0{,}003055$.

Rapporto tra gli errori $\frac{0{,}064180}{0{,}003055}=21{,}0$. Per $n$ grandi atteso $2^4=16$ (ordine 4): con $n=2$ non si è ancora nel regime asintotico; il rapporto tra $n=4$ e $n=8$ è invece $16{,}2$ (errori $1{,}80\cdot10^{-4}$ e $1{,}11\cdot10^{-5}$) e tra $n=8$ e $16$ è $16{,}06$.

4. Numero di intervalli. Con $h=\frac\pi n$, $M_4=\max|\sin|=1$, $b-a=\pi$: $$\frac{(b-a)h^4}{4320}M_4=\frac{\pi h^4}{4320}\le10^{-8}\ \Longrightarrow\ h^4\le1{,}375\cdot10^{-5}\ \Longrightarrow\ h\le0{,}06090\ \Longrightarrow\ n\ge\frac\pi{0{,}0609}=51{,}6,$$ quindi $\mathbf{n=52}$ sottointervalli e $2\cdot52=104$ valutazioni (errore vero $6{,}2\cdot10^{-9}$). Simpson composito: $\frac{\pi h^4}{180}\le10^{-8}\Rightarrow h^4\le5{,}73\cdot10^{-7}\Rightarrow h\le0{,}02751\Rightarrow n\ge114{,}2$, cioè $n=116$ (pari) e 117 valutazioni. Gauss (104) ne richiede circa $11\%$ in meno, e la differenza cresce con la precisione richiesta o con l'ordine $m$.

Risultati: $x_{1,2}=\frac12\mp\frac1{2\sqrt3}$, $w_1=w_2=\frac12$, grado $3$ ($E(x^4)=\frac1{180}$); $Q_1=1{,}93582$, $Q_2=1{,}99695$; per $\varepsilon=10^{-8}$: $n=52$ (104 valutazioni) contro $n=116$ (117 valutazioni) di Simpson.

Errori tipici. Imporre l'ortogonalità con $-1,1$ al posto di $0,1$; dimenticare il fattore $\frac{b-a}2$ nella composita; non arrotondare $n$ per eccesso.