Esercizio - lavoro di una forza da dati misurati con trapezi, Simpson e Richardson

Teoria: Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di RichardsonUna formula di quadratura approssima $\int_a^b f,dx$ con $\sum w_if(x_i)$ ottenuta integrando il polinomio che interpola $f$ nei nodi. Trapezio $\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]$ (grado di esattezza 1, errore $-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$), punto medio $(b-a)f(m)$ (grado 1, errore $+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$), Cavalieri-Simpson $\frac{b-a}6[f(a)+4f(m)+f(b)]$ (grado 3, errore $-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)$). Composite con passo $h=\frac{b-a}n$: trapezi errore $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ (ordine 2, rapporto tra errori 4 se $h$ si dimezza), Simpson errore $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ (ordine 4, rapporto 16, $n$ pari). Estrapolazione di Richardson: se $Q(h)=I+Ch^p+\dots$ allora $I\approx\frac{2^pQ(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$; per i trapezi $p=2$ e $\frac{4T_{h/2}-T_h}3=S_{h/2}$; ripetuta dà la tabella di Romberg. Stima dell'errore a posteriori: $I-Q(h/2)\approx\frac{Q(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$.Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di Richardson →.

Testo. Una molla a rigidezza crescente viene allungata lentamente. Un sensore misura la forza $F$ (in N) in nove posizioni equispaziate dell'allungamento $x$ (in m):

Il lavoro compiuto è $W=\int_0^{0{,}8}F\,dx$.

1. Calcolare $W$ con i trapezi usando passo $h=0{,}2$ m e poi passo $h=0{,}1$ m.
2. Calcolare $W$ con Cavalieri-Simpson (passo $0{,}1$ m) e con l'estrapolazione di Richardson dei due risultati precedenti. Che relazione c'è?
3. Stimare l'errore del trapezio con $h=0{,}1$ m senza conoscere $F(x)$.
4. (Teoria) Se ogni misura di $F$ ha un errore massimo di $0{,}5$ N, quanto può sbagliare al massimo $W$ calcolato con una formula a pesi positivi?

Soluzione

1. Trapezi. Con $h=0{,}2$ si usano i nodi $x=0;\,0{,}2;\,0{,}4;\,0{,}6;\,0{,}8$ ($n=4$): $$T_{0{,}2}=0{,}2\Big[\frac{0}{2}+43{,}2+105{,}6+206{,}4+\frac{364{,}8}2\Big]=0{,}2\,[355{,}2+182{,}4]=0{,}2\cdot537{,}6=107{,}52\ \text{J}.$$ Con $h=0{,}1$ si usano tutti i nove nodi ($n=8$). La somma dei sette valori interni è $20{,}4+43{,}2+70{,}8+105{,}6+150+206{,}4+277{,}2=873{,}6$ e $$T_{0{,}1}=0{,}1\Big[\frac02+873{,}6+\frac{364{,}8}2\Big]=0{,}1\cdot1056=105{,}6\ \text{J}.$$

2. Simpson e Richardson. Con $n=8$ (pari) e $h=0{,}1$: nodi di indice dispari ($x=0{,}1;0{,}3;0{,}5;0{,}7$) con peso $4$, nodi pari interni ($x=0{,}2;0{,}4;0{,}6$) con peso $2$: $$S_{0{,}1}=\frac{0{,}1}3\Big[0+364{,}8+4(20{,}4+70{,}8+150+277{,}2)+2(43{,}2+105{,}6+206{,}4)\Big]=\frac{0{,}1}3\,[364{,}8+2073{,}6+710{,}4]=\frac{3148{,}8}{30}=104{,}96\ \text{J}.$$ Richardson per i trapezi ($p=2$): $$\frac{4T_{0{,}1}-T_{0{,}2}}3=\frac{4\cdot105{,}6-107{,}52}3=\frac{314{,}88}3=104{,}96\ \text{J}.$$ Coincide con Simpson, come deve (teoria §5). Il lavoro è $\mathbf{W\approx104{,}96\ J}$.

3. Errore del trapezio senza conoscere $F$. Con $p=2$, $$W-T_{0{,}1}\approx\frac{T_{0{,}1}-T_{0{,}2}}{2^2-1}=\frac{105{,}6-107{,}52}3=-0{,}64\ \text{J},$$ cioè il trapezio con $h=0{,}1$ sovrastima di circa $0{,}64$ J (circa $0{,}6\%$). Correggendo: $105{,}6-0{,}64=104{,}96$, lo stesso valore di Simpson. (Questi dati vengono da $F(x)=200x+400x^3$, il cui lavoro esatto è $100x^2+100x^4=64+40{,}96=104{,}96$ J: Simpson è esatto per i polinomi di grado $\le3$ e la stima a posteriori è esatta perché per un cubico $T_h=I+c_2h^2$ senza altri termini.)

4. Propagazione degli errori di misura. Se la formula è $Q=\sum w_iF_i$ con tutti i pesi $w_i>0$ e $\sum w_i=b-a$ (perché la formula integra esattamente la costante $1$), un errore $|\delta F_i|\le\varepsilon$ produce $$|\delta Q|\le\sum w_i|\delta F_i|\le\varepsilon\sum w_i=\varepsilon\,(b-a)=0{,}5\cdot0{,}8=0{,}4\ \text{J}.$$ L'errore massimo non viene amplificato: è lo stesso che si avrebbe integrando una costante. È la ragione per cui la quadratura è un problema ben condizionato (a differenza della derivazione numerica), per tutte le formule con pesi positivi come trapezi e Simpson.

Risultati: $T_{0{,}2}=107{,}52$ J, $T_{0{,}1}=105{,}6$ J, $\mathbf{W=S_{0{,}1}=104{,}96\ J}$, errore stimato del trapezio $-0{,}64$ J; incertezza dovuta alle misure $\le0{,}4$ J.

Errori tipici. Usare $4$ e $2$ sui nodi sbagliati; dividere per $3$ senza il passo $h$; interpretare $\frac{4T_{h/2}-T_h}3$ con $T_h$ e $T_{h/2}$ scambiati.