Esercizio - Eulero implicito e Crank-Nicolson per un'equazione non lineare con Newton

Teoria: Metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-NicolsonProblema di Cauchy $y'=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$, con $f$ lipschitziana in $y$ (costante $L$): ben posto. Nodi $t_n=t_0+nh$, $u_n\approx y(t_n)$. Eulero esplicito $u_{n+1}=u_n+h,f(t_n,u_n)$; Eulero implicito $u_{n+1}=u_n+h,f(t_{n+1},u_{n+1})$ (equazione da risolvere a ogni passo: punto fisso se $hL<1$, Newton, o formula chiusa se $f$ è lineare); Crank-Nicolson $u_{n+1}=u_n+\frac h2[f(t_n,u_n)+f(t_{n+1},u_{n+1})]$ (regola dei trapezi). Errore di troncamento locale $\tau_n=\frac{y(t_{n+1})-y(t_n)}h-\Phi$: $\frac h2y''$ (EE), $-\frac h2y''$ (EI), $-\frac{h^2}{12}y'''$ (CN). Consistenza + stabilità $\Rightarrow$ convergenza: ordine 1 per EE e EI, ordine 2 per CN, cioè errore globale $O(h)$ e $O(h^2)$; per EE $|e_n|\le\frac{Mh}{2L}\big(e^{L(t_n-t_0)}-1\big)$ con $M=\max|y''|$ (D). Dimezzando $h$ l'errore si divide per 2 (EE, EI) o per 4 (CN).Metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson →, Metodo di Newton, metodo delle secanti e ordine di convergenzaOrdine di convergenza p: |e_{k+1}| ≈ C|e_k|^p (p = 1 lineare, p = 2 quadratica: le cifre corrette raddoppiano a ogni passo). Newton x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): zero della tangente, ordine 2 per radici semplici con e_{k+1} ≈ f''(α)/(2f'(α)) e_k²; per radici di molteplicità m è solo lineare con tasso (m−1)/m (si recupera con x − m f/f'). Secanti: sostituisce f' con un rapporto incrementale, ordine (1+√5)/2 ≈ 1,618, una sola valutazione di f per passo. Newton richiede un x_0 abbastanza vicino: può ciclare o divergere.Metodo di Newton, metodo delle secanti e ordine di convergenza →.

Testo. Un corpo in moto in un fluido con resistenza quadratica, senza forze motrici, ha velocità adimensionale $y$ che obbedisce a $$y'=-y^2,\qquad y(0)=1,\qquad y(t)=\frac1{1+t}\ \text{(esatta)}.$$ Si usa $h=0{,}5$.

1. Eseguire due passi di Eulero esplicito.
2. Eseguire due passi di Eulero implicito: l'equazione di ogni passo è di secondo grado, la si risolva in forma chiusa. Poi, per il primo passo, mostrare un passo di Newton partendo da $u=1$ e le iterazioni di punto fisso.
3. Eseguire due passi di Crank-Nicolson.
4. Confrontare gli errori in $t=1$ ($y(1)=0{,}5$) e commentare la condizione $hL<1$.

Soluzione

1. EE. $u_{n+1}=u_n-h\,u_n^2$: $u_1=1-0{,}5\cdot1=0{,}5$; $u_2=0{,}5-0{,}5\cdot0{,}25=0{,}375$. Errore in $t=1$: $0{,}5-0{,}375=0{,}125$.

2. EI. L'equazione è $u_{n+1}=u_n-h\,u_{n+1}^2$, cioè $h\,u^2+u-u_n=0$, con radice positiva (la soluzione fisica è positiva) $u_{n+1}=\dfrac{-1+\sqrt{1+4h\,u_n}}{2h}$. Con $h=0{,}5$: $u_{n+1}=-1+\sqrt{1+2u_n}$.

• $u_1=-1+\sqrt{3}=0{,}732051$;
• $u_2=-1+\sqrt{1+2\cdot0{,}732051}=-1+\sqrt{2{,}464102}=-1+1{,}569746=0{,}569746$. Errore in $t=1$: $0{,}5-0{,}569746=-0{,}0697$.

Newton sul primo passo. $G(u)=u-1+0{,}5u^2$, $G'(u)=1+u$. Da $u^{(0)}=1$: $G=0{,}5$, $G'=2$, $u^{(1)}=1-0{,}25=0{,}75$. Poi $G(0{,}75)=0{,}75-1+0{,}28125=0{,}03125$, $G'=1{,}75$, $u^{(2)}=0{,}75-0{,}017857=0{,}732143$. Valore esatto della radice $0{,}732051$: bastano due iterazioni (errore $9\cdot10^{-5}$), perché la convergenza di Newton è quadratica.

Punto fisso $u^{(k+1)}=1-0{,}5\,\big(u^{(k)}\big)^2$, partendo da $u^{(0)}=1$: $0{,}5;\ 0{,}875;\ 0{,}6172;\ 0{,}8095;\ 0{,}6723;\ 0{,}7740;\dots$ L'iterazione oscilla attorno alla radice $0{,}732$ e converge lentamente: il fattore di contrazione è $|\varphi'(u)|=|{-}u|=0{,}73$ vicino alla radice. Qui $L=\max|\partial_yf|=2|y|=2$ e $hL=1$: siamo al limite della condizione $hL<1$ che garantisce la contrazione, e infatti la convergenza è lenta.

3. CN. $u_{n+1}=u_n+\frac h2\big(-u_n^2-u_{n+1}^2\big)=u_n-\frac h2u_n^2-\frac h2u_{n+1}^2$, con $\frac h2=0{,}25$: $0{,}25\,u^2+u-\big(u_n-0{,}25\,u_n^2\big)=0$, $u_{n+1}=\dfrac{-1+\sqrt{1+r_n}}{0{,}5}$ con $r_n=u_n-0{,}25u_n^2$.

• $u_1$: $r_0=1-0{,}25=0{,}75$, $u_1=\frac{-1+\sqrt{1{,}75}}{0{,}5}=\frac{-1+1{,}322876}{0{,}5}=0{,}645751$.
• $u_2$: $r_1=0{,}645751-0{,}25\cdot0{,}416995=0{,}541502$, $u_2=\frac{-1+\sqrt{1{,}541502}}{0{,}5}=\frac{-1+1{,}241573}{0{,}5}=0{,}483145$. Errore in $t=1$: $0{,}5-0{,}483145=+0{,}0169$.

4. Confronto in $t=0{,}5$ e $t=1$. ($y(0{,}5)=0{,}666667$.)

Risultati: in $t=1$: EE $0{,}375$, EI $0{,}5697$, $\mathbf{CN\ 0{,}4831}$ contro $0{,}5$ esatto.

Errori tipici. Prendere la radice negativa della quadratica; usare $f(u_n)$ al posto di $f(u_{n+1})$ nel termine implicito; derivare $G$ rispetto a $t$ invece che rispetto a $u$.