Esercizio - Spline cubica naturale su quattro nodi, momenti e continuità delle derivate

Teoria: Interpolazione a tratti, spline cubiche e minimi quadratiInvece di un polinomio di grado alto si usano polinomi di grado basso su ogni intervallo. Lineare a tratti: errore ≤ h²/8·max|f''|. Spline cubica: polinomio di grado 3 su ogni intervallo, di classe C² nei nodi; i momenti M_i = S''(x_i) risolvono un sistema tridiagonale (h_{i−1}/6)M_{i−1} + ((h_{i−1}+h_i)/3)M_i + (h_i/6)M_{i+1} = differenza tra le pendenze dei due intervalli adiacenti, con due condizioni agli estremi (naturale M_0 = M_n = 0, vincolata, not-a-knot); errore O(h⁴), nessun fenomeno di Runge. Minimi quadrati: con più dati che parametri si minimizza ‖Ac − y‖², cioè si risolvono le equazioni normali AᵀA c = Aᵀy (proiezione ortogonale di y sulle colonne di A); la retta di regressione minimizza la somma dei quadrati dei residui e i residui sono ortogonali alle colonne.Interpolazione a tratti, spline cubiche e minimi quadrati →.

Testo

Si considerano i punti $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,0)$, $(3,3)$ e la spline cubica interpolante naturale $S$.

• (a) Contare le condizioni e spiegare perché servono quelle agli estremi.
• (b) Scrivere e risolvere il sistema per i momenti $M_i = S''(x_i)$.
• (c) Scrivere $S$ sull'intervallo $[0,1]$ e calcolare $S(0{,}5)$, $S(1{,}5)$, $S(2{,}5)$.
• (d) Verificare la continuità di $S'$ nei nodi $x=1$ e $x=2$.

Soluzione

(a) Condizioni

Quattro nodi, tre intervalli: $4\cdot 3 = 12$ coefficienti. Condizioni: interpolazione $2\cdot 3 = 6$; continuità di $S'$ e di $S''$ nei due nodi interni $2 + 2 = 4$. Totale $10 < 12$: mancano due condizioni, assegnate agli estremi. Per la spline naturale $S''(0) = S''(3) = 0$, cioè $M_0 = M_3 = 0$.

(b) Sistema dei momenti

Nodi equispaziati con $h = 1$: $M_{i-1} + 4M_i + M_{i+1} = 6(y_{i-1} - 2y_i + y_{i+1})$ per $i = 1, 2$.

• $i=1$: $M_0 + 4M_1 + M_2 = 6(1 - 4 + 0) = -18$, cioè $4M_1 + M_2 = -18$.
• $i=2$: $M_1 + 4M_2 + M_3 = 6(2 - 0 + 3) = 30$, cioè $M_1 + 4M_2 = 30$.

Dalla prima $M_2 = -18 - 4M_1$; nella seconda $M_1 - 72 - 16M_1 = 30$, quindi $-15M_1 = 102$ e $M_1 = -6{,}8$, $M_2 = -18 + 27{,}2 = 9{,}2$.

(c) $S$ su ciascun intervallo

Formula con $h = 1$: $S_i(x) = \frac{M_i(x_{i+1}-x)^3 + M_{i+1}(x - x_i)^3}{6} + \left(y_i - \frac{M_i}6\right)(x_{i+1} - x) + \left(y_{i+1} - \frac{M_{i+1}}6\right)(x - x_i)$.

• $[0,1]$: $M_0 = 0$, $M_1 = -6{,}8$. $y_0 - \frac{M_0}{6} = 1$, $y_1 - \frac{M_1}6 = 2 + 1{,}1333 = 3{,}1333$. Quindi $$S_0(x) = -\frac{6{,}8}{6}x^3 + 1\cdot(1 - x) + 3{,}1333\,x = -1{,}1333\,x^3 + 2{,}1333\,x + 1.$$ Controllo: $S_0(0) = 1$ ✓, $S_0(1) = -1{,}1333 + 2{,}1333 + 1 = 2$ ✓. $S(0{,}5) = -1{,}1333\cdot 0{,}125 + 1{,}0667 + 1 = \mathbf{1{,}925}$.
• $[1,2]$: $y_1 - \frac{M_1}6 = 3{,}1333$, $y_2 - \frac{M_2}6 = -1{,}5333$. $S_1(x) = \frac{-6{,}8(2-x)^3 + 9{,}2(x-1)^3}{6} + 3{,}1333(2-x) - 1{,}5333(x-1)$; in $x = 1{,}5$: $\frac{(-6{,}8 + 9{,}2)\cdot 0{,}125}{6} + 3{,}1333\cdot 0{,}5 - 1{,}5333\cdot 0{,}5 = 0{,}05 + 1{,}5667 - 0{,}7667 = \mathbf{0{,}85}$.
• $[2,3]$: $M_2 = 9{,}2$, $M_3 = 0$; $S_2(x) = \frac{9{,}2(3-x)^3}{6} - 1{,}5333(3-x) + 3(x-2)$; in $x = 2{,}5$: $\frac{9{,}2\cdot0{,}125}{6} - 0{,}7667 + 1{,}5 = 0{,}1917 - 0{,}7667 + 1{,}5 = \mathbf{0{,}925}$.

(d) Continuità della derivata prima

Derivate (con $h=1$): $S_i'(x) = \frac{-M_i(x_{i+1}-x)^2 + M_{i+1}(x-x_i)^2}{2} - \left(y_i - \frac{M_i}6\right) + \left(y_{i+1} - \frac{M_{i+1}}6\right)$.

• $x = 1$: da sinistra ($i=0$): $\frac{0 + (-6{,}8)\cdot 1}{2} - 1 + 3{,}1333 = -3{,}4 + 2{,}1333 = -1{,}2667$. Da destra ($i=1$): il primo termine è $\frac{-(-6{,}8)\cdot 1 + 0}{2} = 3{,}4$ e gli altri due $-\left(y_1 - \frac{M_1}6\right) + \left(y_2 - \frac{M_2}6\right) = -3{,}1333 - 1{,}5333 = -4{,}6667$; somma $3{,}4 - 4{,}6667 = -1{,}2667$ ✓.
• $x = 2$: da sinistra ($i=1$): $\frac{0 + 9{,}2\cdot 1}{2} - 4{,}6667 = 4{,}6 - 4{,}6667 = -0{,}0667$. Da destra ($i=2$): $\frac{-9{,}2\cdot 1 + 0}{2} - (-1{,}5333) + 3 = -4{,}6 + 1{,}5333 + 3 = -0{,}0667$ ✓.

Le derivate coincidono: $S'(1) = -1{,}2667$ e $S'(2) = -0{,}0667$.

Risultati. $M = (0,\ -6{,}8,\ 9{,}2,\ 0)$; $S(0{,}5) = \mathbf{1{,}925}$, $S(1{,}5) = \mathbf{0{,}85}$, $S(2{,}5) = \mathbf{0{,}925}$; $S'(1) = -1{,}2667$, $S'(2) = -0{,}0667$.

Errori tipici

• Dimenticare i fattori $6$ e $h^2$ nel membro destro del sistema dei momenti (per $h\ne 1$ è $\frac{6}{h^2}$).
• Usare $M_0$, $M_n$ nelle equazioni come incognite non nulle: per la naturale sono $0$.
• Concludere che la spline è "più oscillante" perché $|M_i|$ è grande: i momenti sono curvature, la spline resta comunque vicina ai dati.