Esercizio - Gauss a due e tre punti su 1 su x e confronto con Simpson

Teoria: Quadratura gaussiana e formule composite adattiveLe formule di Newton-Cotes a $m$ nodi equispaziati hanno grado di esattezza $m-1$ ($m$ se $m$ è dispari). Scegliendo anche i nodi, la formula di Gauss-Legendre a $m$ nodi $\int_{-1}^1f\approx\sum w_if(t_i)$ ha grado $2m-1$: i nodi sono le radici del polinomio di Legendre $P_m$ ($m=2$: $\pm\frac1{\sqrt3}$, pesi 1; $m=3$: $0,\pm\sqrt{3/5}$, pesi $\frac89,\frac59,\frac59$), i pesi sono positivi. Su $[a,b]$: $x_i=\frac{a+b}2+\frac{b-a}2t_i$, $Q=\frac{b-a}2\sum w_if(x_i)$. Errore $\frac{(b-a)^{2m+1}(m!)^4}{(2m+1)[(2m)!]^3}f^{(2m)}(\xi)$ ($m=2$: $\frac{(b-a)^5}{4320}f^{(4)}$). Composita: ordine $2m$ in $h$. Adattiva: si confronta Simpson su $[a,b]$ ($S_1$) con Simpson sulle due metà ($S_2$); se $|S_2-S_1|\le15\varepsilon$ si accetta $S_2+\frac{S_2-S_1}{15}$, altrimenti si divide e si riparte con $\varepsilon/2$ su ciascuna metà: pochi nodi dove $f$ varia poco, molti dove varia molto.Quadratura gaussiana e formule composite adattive →, Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di RichardsonUna formula di quadratura approssima $\int_a^b f,dx$ con $\sum w_if(x_i)$ ottenuta integrando il polinomio che interpola $f$ nei nodi. Trapezio $\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]$ (grado di esattezza 1, errore $-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$), punto medio $(b-a)f(m)$ (grado 1, errore $+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$), Cavalieri-Simpson $\frac{b-a}6[f(a)+4f(m)+f(b)]$ (grado 3, errore $-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)$). Composite con passo $h=\frac{b-a}n$: trapezi errore $-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ (ordine 2, rapporto tra errori 4 se $h$ si dimezza), Simpson errore $-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)$ (ordine 4, rapporto 16, $n$ pari). Estrapolazione di Richardson: se $Q(h)=I+Ch^p+\dots$ allora $I\approx\frac{2^pQ(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$; per i trapezi $p=2$ e $\frac{4T_{h/2}-T_h}3=S_{h/2}$; ripetuta dà la tabella di Romberg. Stima dell'errore a posteriori: $I-Q(h/2)\approx\frac{Q(h/2)-Q(h)}{2^p-1}$.Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di Richardson →.

Testo. Si vuole approssimare $I=\displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x}=\ln2=0{,}693147$ con le formule di Gauss-Legendre.

1. Calcolare l'approssimazione con la formula di Gauss a $m=2$ punti (nodi $\pm\frac1{\sqrt3}$, pesi $1,1$ su $[-1,1]$) e a $m=3$ punti (nodi $0,\pm\sqrt{3/5}$, pesi $\frac89,\frac59,\frac59$).
2. Confrontare gli errori con quello di Simpson (tre valutazioni, $Q_S=\frac{25}{36}$) e con le maggiorazioni teoriche.
3. Verificare che la formula a due punti è esatta per $x^3$ ma non per $x^4$ su $[1,2]$, e calcolare l'errore su $x^4$.

Soluzione

1. Cambio di intervallo. Su $[1,2]$: $x=\frac32+\frac12t$ e $\frac{b-a}2=\frac12$.

Due punti. $x_{1,2}=\frac32\mp\frac1{2\sqrt3}=1{,}211325;\ 1{,}788675$. Valori: $f(x_1)=0{,}825542$, $f(x_2)=0{,}559073$. $$Q_2=\frac12\big(1\cdot0{,}825542+1\cdot0{,}559073\big)=\frac12\cdot1{,}384615=0{,}692308 .$$ Il valore è esattamente $\frac9{13}$: infatti $\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac3{13/6}=\frac{18}{13}$, perché $x_1+x_2=3$ e $x_1x_2=\frac94-\frac1{12}=\frac{13}6$.

Tre punti. $x=\frac32+\frac12\big(0,\pm\sqrt{0{,}6}\big)=1{,}112702;\ 1{,}5;\ 1{,}887298$ con $f=0{,}898713;\ 0{,}666667;\ 0{,}529858$. $$Q_3=\frac12\Big[\frac59(0{,}898713+0{,}529858)+\frac89\cdot0{,}666667\Big]=\frac12\big[0{,}793651+0{,}592593\big]=0{,}693122 .$$

2. Confronto. Errori $I-Q$:

Con due valutazioni Gauss batte Simpson con tre; con tre valutazioni lo batte di un fattore $\approx50$. Maggiorazioni: $f^{(4)}=\frac{24}{x^5}\le24$ e $f^{(6)}=\frac{720}{x^7}\le720$ su $[1,2]$, quindi $$|E_2|\le\frac{1^5}{4320}\cdot24=5{,}6\cdot10^{-3},\qquad|E_3|\le\frac{1^7}{2016000}\cdot720=3{,}6\cdot10^{-4},$$ rispettate (i valori veri sono molto più piccoli: le maggiorazioni sono prese in $x=1$, dove le derivate sono massime).

3. Grado di esattezza sulla funzione $x^k$. Si usano $x_1+x_2=3$, $x_1x_2=\frac{13}6$, e $\frac{b-a}2(w_1+w_2)=1$. Allora:

• $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=27-3\cdot\frac{13}6\cdot3=7{,}5$, quindi $Q=\frac12\cdot7{,}5=3{,}75=\frac{15}4=\int_1^2x^3dx$ ✓ esatto;
• $x_1^2+x_2^2=9-\frac{13}3=\frac{14}3$ e $x_1^4+x_2^4=\big(\frac{14}3\big)^2-2\big(\frac{13}6\big)^2=\frac{196}9-\frac{169}{18}=\frac{223}{18}=12{,}3889$, quindi $Q=6{,}19444$, mentre $\int_1^2x^4dx=\frac{31}5=6{,}2$: errore $E=6{,}2-6{,}19444=0{,}005556=\frac1{180}$.

Controllo con la formula d'errore: per $f=x^4$, $f^{(4)}=24$ costante, quindi $E=\frac{(b-a)^5}{4320}\cdot24=\frac1{180}=0{,}005556$ ✓ (esatto, perché non c'è $\xi$ da scegliere).

Risultati: $Q_2=\frac9{13}=0{,}6923$ (errore $8{,}4\cdot10^{-4}$), $\mathbf{Q_3=0{,}69312}$ (errore $2{,}5\cdot10^{-5}$); Gauss a due punti ha grado esattamente $3$.

Errori tipici. Dimenticare il fattore $\frac{b-a}2=\frac12$; usare i nodi $\pm\frac1{\sqrt3}$ senza trasformarli; confondere il grado di esattezza $2m-1$ con $m$.