Esercizio - numero di condizionamento di un sistema 2x2 quasi singolare

Teoria: Norme di matrici e condizionamento dei sistemi lineariNorme di vettore $|x|1=\sum|x_i|$, $|x|2=\sqrt{\sum x_i^2}$, $|x|\infty=\max|x_i|$. Norma di matrice indotta $|A|=\max{x\ne0}\frac{|Ax|}{|x|}$: $|A|1$ = massima somma per colonne, $|A|\infty$ = massima somma per righe, $|A|2=\sqrt{\lambda{\max}(A^TA)}$ (= $\rho(A)$ se $A$ simmetrica); valgono $|Ax|\le|A||x|$, $|AB|\le|A||B|$, $\rho(A)\le|A|$. Numero di condizionamento $\kappa(A)=|A||A^{-1}|\ge1$ ($\kappa_2=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$, per SPD $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}$, per ortogonali 1). Se $A\mathbf x=\mathbf b$ e $A(\mathbf x+\delta\mathbf x)=\mathbf b+\delta\mathbf b$: $\frac{|\delta\mathbf x|}{|\mathbf x|}\le\kappa(A)\frac{|\delta\mathbf b|}{|\mathbf b|}$ (D); con residuo $\mathbf r=\mathbf b-A\hat{\mathbf x}$: $\frac1\kappa\frac{|\mathbf r|}{|\mathbf b|}\le\frac{|\mathbf x-\hat{\mathbf x}|}{|\mathbf x|}\le\kappa\frac{|\mathbf r|}{|\mathbf b|}$. Si perdono circa $\log_{10}\kappa$ cifre; un residuo piccolo non garantisce un errore piccolo se $\kappa$ è grande.Norme di matrici e condizionamento dei sistemi lineari →.

Testo. Due forze incognite $x_1,x_2$ in una struttura soddisfano $$\begin{pmatrix}1&2\\2&4{,}002\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6{,}002\end{pmatrix}\quad(\text{soluzione }x_1=x_2=1).$$ La seconda componente del termine noto è misurata con una strumentazione che ha precisione $10^{-3}$.

1. Calcolare $A^{-1}$ e $\kappa_\infty(A)$.
2. Se $b_2$ viene letto $6{,}003$ invece di $6{,}002$, calcolare la nuova soluzione e confrontare l'amplificazione con quanto previsto da $\kappa_\infty$.
3. Se la matrice fosse nota solo con $a_{22}=4{,}000$ invece di $4{,}002$, cosa accadrebbe? Confrontare con $\frac1{\kappa}$.
4. Quante cifre significative decimali si possono ritenere affidabili con dati a 6 cifre?

Soluzione

1. Condizionamento. $\det A=1\cdot4{,}002-2\cdot2=0{,}002$ e $$A^{-1}=\frac1{0{,}002}\begin{pmatrix}4{,}002&-2\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2001&-1000\\-1000&500\end{pmatrix}.$$ $\|A\|_\infty=\max(1+2,\ 2+4{,}002)=6{,}002$ e $\|A^{-1}\|_\infty=\max(2001+1000,\ 1000+500)=3001$. Allora $$\kappa_\infty(A)=6{,}002\cdot3001=18\,012 .$$ (Poiché $A$ è simmetrica, $\kappa_1=\kappa_\infty$.) Le due righe sono quasi proporzionali: $(1,2)$ e $(2,4{,}002)\approx2\,(1,2)$.

2. Perturbazione di $b_2$. $\delta\mathbf b=(0,\ 0{,}001)^T$: $\delta\mathbf x=A^{-1}\delta\mathbf b=(-1000\cdot0{,}001,\ 500\cdot0{,}001)=(-1,\ 0{,}5)$. La nuova soluzione è $\mathbf x+\delta\mathbf x=(0,\ 1{,}5)$.

• Errore relativo sui dati: $\frac{\|\delta\mathbf b\|_\infty}{\|\mathbf b\|_\infty}=\frac{0{,}001}{6{,}002}=1{,}67\cdot10^{-4}$ (0,017%).
• Errore relativo sul risultato: $\frac{\|\delta\mathbf x\|_\infty}{\|\mathbf x\|_\infty}=\frac11=1$ (100%).
• Amplificazione: $\frac{1}{1{,}67\cdot10^{-4}}=6002\le\kappa_\infty=18\,012$ ✓. Una variazione dello 0,017% sul dato cambia completamente la soluzione.

3. Perturbazione della matrice. Con $a_{22}=4{,}000$ la matrice diventa $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$, singolare (seconda riga $=2\times$ prima): il sistema non ha più soluzione unica. L'errore relativo sulla matrice è $\frac{\|\delta A\|_\infty}{\|A\|_\infty}=\frac{0{,}002}{6{,}002}=3{,}33\cdot10^{-4}$. Il teorema sulla distanza dalla singolarità dice che questo valore deve essere almeno $\frac1{\kappa_\infty}=\frac1{18012}=5{,}55\cdot10^{-5}$ ✓ (lo è: $3{,}33\cdot10^{-4}\ge5{,}55\cdot10^{-5}$). Una matrice con $\kappa$ grande è «a poca distanza» da una singolare.

4. Cifre affidabili. $\log_{10}\kappa_\infty=\log_{10}18012=4{,}26$: si perdono circa $4$ cifre decimali. Con dati a 6 cifre significative restano circa $6-4=2$ cifre corrette nella soluzione; con la doppia precisione ($\approx16$ cifre) ne restano circa $16-4=12$. In una struttura con carichi misurati con 0,1% ($10^{-3}$) di incertezza e $\kappa\approx2\cdot10^4$ i risultati non hanno nessuna cifra affidabile: bisogna rivedere il modello (il sistema è quasi labile in una direzione) o ridurre l'incertezza sui dati.

Risultati: $\kappa_\infty=18\,012$; con $\delta b_2=0{,}001$ la soluzione passa da $(1,1)$ a $(0,\ 1{,}5)$ (errore relativo $100\%$, amplificazione $6002$); $\approx4$ cifre perse.

Errori tipici. Usare $\det A=0{,}002$ come misura del condizionamento (conta il rapporto con la scala: $\kappa$, non il determinante); dimenticare di normalizzare le variazioni per $\|\mathbf b\|$ e $\|\mathbf x\|$; confondere l'amplificazione effettiva $6002$ con il limite $\kappa=18012$.