Esercizio - norme e raggio spettrale di matrici 2x2 e 3x3

Teoria: Norme di matrici e condizionamento dei sistemi lineariNorme di vettore $|x|1=\sum|x_i|$, $|x|2=\sqrt{\sum x_i^2}$, $|x|\infty=\max|x_i|$. Norma di matrice indotta $|A|=\max{x\ne0}\frac{|Ax|}{|x|}$: $|A|1$ = massima somma per colonne, $|A|\infty$ = massima somma per righe, $|A|2=\sqrt{\lambda{\max}(A^TA)}$ (= $\rho(A)$ se $A$ simmetrica); valgono $|Ax|\le|A||x|$, $|AB|\le|A||B|$, $\rho(A)\le|A|$. Numero di condizionamento $\kappa(A)=|A||A^{-1}|\ge1$ ($\kappa_2=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$, per SPD $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}$, per ortogonali 1). Se $A\mathbf x=\mathbf b$ e $A(\mathbf x+\delta\mathbf x)=\mathbf b+\delta\mathbf b$: $\frac{|\delta\mathbf x|}{|\mathbf x|}\le\kappa(A)\frac{|\delta\mathbf b|}{|\mathbf b|}$ (D); con residuo $\mathbf r=\mathbf b-A\hat{\mathbf x}$: $\frac1\kappa\frac{|\mathbf r|}{|\mathbf b|}\le\frac{|\mathbf x-\hat{\mathbf x}|}{|\mathbf x|}\le\kappa\frac{|\mathbf r|}{|\mathbf b|}$. Si perdono circa $\log_{10}\kappa$ cifre; un residuo piccolo non garantisce un errore piccolo se $\kappa$ è grande.Norme di matrici e condizionamento dei sistemi lineari →, Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →.

Testo. Siano $$B=\begin{pmatrix}3&0\\4&5\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}.$$

1. Calcolare per $B$ le norme $\|B\|_1$, $\|B\|_\infty$, $\|B\|_F$, $\|B\|_2$ e il raggio spettrale $\rho(B)$. Verificare $\rho(B)\le\|B\|_2$.
2. Calcolare $\kappa_1(B)$, $\kappa_\infty(B)$ e $\kappa_2(B)$.
3. Per $K$ calcolare $\|K\|_1$, $\|K\|_\infty$ e $\rho(K)$; dedurre $\|K\|_2$.
4. (Teoria) Dimostrare che $\|A\|_2\le\sqrt{\|A\|_1\,\|A\|_\infty}$ e verificarlo per $B$.

Soluzione

1. Norme di $B$.

• Somme per colonne: colonna 1: $|3|+|4|=7$; colonna 2: $0+5=5$. $\|B\|_1=\max(7,5)=7$.
• Somme per righe: riga 1: $3+0=3$; riga 2: $4+5=9$. $\|B\|_\infty=\max(3,9)=9$.
• Frobenius: $\|B\|_F=\sqrt{9+0+16+25}=\sqrt{50}=7{,}0711$.
• Norma 2: $B^TB=\begin{pmatrix}3&4\\0&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\4&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25&20\\20&25\end{pmatrix}$, autovalori $25\pm20=45,\ 5$ (autovettori $(1,1)$ e $(1,-1)$). $\|B\|_2=\sqrt{45}=6{,}7082$.
• Autovalori di $B$ (triangolare): $3$ e $5$, quindi $\rho(B)=5\le\|B\|_2=6{,}71$ ✓ (e $\le\|B\|_1=7$, $\le\|B\|_\infty=9$).

Controllo di consistenza: $\|B\|_2\le\|B\|_F$: $6{,}71\le7{,}07$ ✓.

2. Condizionamento. $\det B=15$, $B^{-1}=\frac1{15}\begin{pmatrix}5&0\\-4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13&0\\-\frac4{15}&\frac15\end{pmatrix}$.

• $\|B^{-1}\|_1$: colonne $\frac13+\frac4{15}=\frac9{15}=0{,}6$ e $\frac15$: $0{,}6$. $\kappa_1=7\cdot0{,}6=4{,}2$.
• $\|B^{-1}\|_\infty$: righe $\frac13$ e $\frac4{15}+\frac15=\frac7{15}=0{,}4667$: $\frac7{15}$. $\kappa_\infty=9\cdot\frac7{15}=4{,}2$.
• $\kappa_2$: i valori singolari di $B$ sono $\sqrt{45}$ e $\sqrt5$ (quelli di $B^{-1}$ sono i reciproci), quindi $\kappa_2=\sqrt{\frac{45}5}=3$. Come controllo, $\sigma_{\max}\sigma_{\min}=\sqrt{45\cdot5}=15=|\det B|$ ✓. Tutti i valori sono piccoli: la matrice è ben condizionata.

3. Matrice $K$. $K$ è simmetrica, con righe e colonne di somma assoluta $3,4,3$: $\|K\|_1=\|K\|_\infty=4$. Gli autovalori di $K$ sono $2-\sqrt2,\ 2,\ 2+\sqrt2$ (da $\det(K-\lambda I)=(2-\lambda)\big[(2-\lambda)^2-2\big]=0$), quindi $\rho(K)=2+\sqrt2=3{,}4142$. Per una matrice simmetrica $\|K\|_2=\rho(K)=3{,}4142$. Si rispetta $\rho\le\|K\|_2\le\|K\|_1=4$ ✓ (la norma 1 sovrastima del 17%).

4. Dimostrazione. Siccome $A^TA$ è simmetrica, $\|A\|_2^2=\lambda_{\max}(A^TA)=\rho(A^TA)\le\|A^TA\|_1$ (raggio spettrale $\le$ qualunque norma indotta). Per la submoltiplicatività $\|A^TA\|_1\le\|A^T\|_1\|A\|_1$ e $\|A^T\|_1$ (massima somma per colonne di $A^T$) è la massima somma per righe di $A$, cioè $\|A\|_\infty$. Quindi $\|A\|_2^2\le\|A\|_\infty\|A\|_1$. $\blacksquare$ Per $B$: $\sqrt{7\cdot9}=\sqrt{63}=7{,}94\ge\|B\|_2=6{,}71$ ✓.

Risultati: $\|B\|_1=7$, $\|B\|_\infty=9$, $\|B\|_F=7{,}07$, $\|B\|_2=6{,}71$, $\rho(B)=5$; $\kappa_1=\kappa_\infty=4{,}2$, $\mathbf{\kappa_2=3}$; $\|K\|_1=\|K\|_\infty=4$, $\mathbf{\|K\|_2=\rho(K)=2+\sqrt2}$.

Errori tipici. Scambiare le somme per righe e per colonne; calcolare $\|B\|_2$ come $\rho(B)$ (vale solo per matrici simmetriche; qui $5\ne6{,}71$); dimenticare la radice quadrata nell'autovalore di $B^TB$.