Valore efficace - RMS-DC, RMS-AC e segnali periodici

Il valore efficaceradice quadrata del valore medio del quadrato del segnale; è la tensione continua che dissiperebbe sullo stesso resistore la stessa potenza media (in inglese root mean square, RMS) è il parametro con cui il multimetro descrive l'ampiezza di un segnale. Nel corso si distingue sempre se si calcola sul segnale intero o sulla sola parte alternata, perché le due scelte danno risultati diversi e il tema d'esame chiede quasi sempre di decidere quale è quella giusta.

Definizione e le due varianti

Per un segnale periodicosegnale che si ripete identico ogni periodo T $v(t)$ di periodo $T$: $$V_{rms,DC}=\sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2(t)\,dt}\qquad\text{(RMS-DC, o AC+DC)}.$$ Si chiama RMS-DC perché nel quadrato è compresa la componente continuaparte costante del segnale, quella che un condensatore in serie non lascia passare. Si ottiene la versione RMS-AC togliendo prima il valore mediomedia del segnale su un periodo: è la componente continua $V_{DC}=\frac1T\int_0^Tv\,dt$: $$V_{rms,AC}=\sqrt{\frac1T\int_0^T\big(v(t)-V_{DC}\big)^2dt}.$$ Le due sono legate da una relazione che evita di rifare l'integrale: $$\boxed{V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2.}$$ Infatti $\frac1T\int(v-V_{DC})^2=\frac1T\int v^2-2V_{DC}\cdot\frac1T\int v+V_{DC}^2=V_{rms,DC}^2-V_{DC}^2$. L'RMS-AC è la deviazione standardradice della varianza: misura quanto i valori si scostano dalla media del segnale e l'RMS-DC la radice del suo momento secondo (Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →): è lo stesso legame tra media, varianza e valore quadratico medio di una variabile aleatoria.

Segnali notevoli

Sinusoide $v=V_0\sin(2\pi f_0t)$. Il valore medio del quadrato è $V_0^2\cdot\overline{\sin^2}=V_0^2/2$, perché $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$ e il coseno ha media nulla. Quindi $$V_{rms}=\frac{V_0}{\sqrt2}\qquad(=0{,}707V_0).$$ Con una componente continua $v=V_{DC}+V_0\sin(\cdot)$ il termine misto $2V_{DC}V_0\sin(\cdot)$ ha media nulla e resta $V_{rms,DC}=\sqrt{V_{DC}^2+V_0^2/2}$, mentre $V_{rms,AC}=V_0/\sqrt2$. Esempio (gennaio 2022): $V_{DC}=1{,}51$ V, $V_0=2{,}05$ V danno $V_{rms,DC}=\sqrt{1{,}51^2+2{,}05^2/2}=2{,}09$ V.

Onda rettangolare con livelli $V_H$, $V_L$ e duty cycle $d$: il quadrato vale $V_H^2$ per una frazione $d$ del periodo e $V_L^2$ per la parte restante, quindi $$V_{rms,DC}=\sqrt{V_H^2d+V_L^2(1-d)},\qquad V_{rms,AC}=(V_H-V_L)\sqrt{d(1-d)}.$$ Per un'onda unipolareche non cambia segno: qui livello alto positivo e livello basso a zero $0\to V_H$ si ha $V_{rms,DC}=V_H\sqrt d$ e $V_{rms,AC}=V_H\sqrt{d(1-d)}$. Esempio (febbraio 2022): $V_H=4$ V, $V_L=-1$ V, $d=20\%$ (valore medio nullo): $V_{rms}=\sqrt{16\cdot0{,}2+1\cdot0{,}8}=\sqrt{4}=2$ V, e infatti $5\sqrt{0{,}2\cdot0{,}8}=2$ V, uguali perché $V_{DC}=0$.

Triangolare e dente di sega. Se la forma d'onda è una rampa lineare tra $V_{min}$ e $V_{max}$ (anche con ritorno istantaneo) il valore medio è $\frac{V_{max}+V_{min}}2$ e, calcolando $\frac1T\int(mt+V_{min})^2dt$ con $m=\frac{V_{max}-V_{min}}T$, si ottiene $$V_{rms,DC}=\sqrt{\frac{V_{max}^2+V_{max}V_{min}+V_{min}^2}{3}},\qquad V_{rms,AC}=\frac{V_{max}-V_{min}}{2\sqrt3}=\frac{V_{pp}}{2\sqrt3}.$$ Esempio (febbraio 2023): $V_{min}=-150$ mV, $V_{max}=450$ mV: $V_{DC}=150$ mV; $V_{rms,DC}=\sqrt{(0{,}2025-0{,}0675+0{,}0225)/3}=229$ mV; $V_{rms,AC}=\frac{0{,}6}{2\sqrt3}=173$ mV. Controllo con la relazione: $\sqrt{0{,}15^2+0{,}173^2}=0{,}229$ V. Nel caso del rippleondulazione residua della tensione di uscita di un alimentatore o convertitore di un convertitore DC-DC (febbraio 2024), triangolare con $V_{pp}=400\ \mu$V, l'RMS-AC è $400/(2\sqrt3)=115\ \mu$V.

Segnali impulsivi. Con più livelli si somma $v_k^2\cdot\frac{t_k}{T}$ su ogni tratto. Per due impulsi $V_1=5$ V ($T_1=20$ ms) e $V_2=2$ V ($T_2=40$ ms) in un periodo di $150$ ms (febbraio 2025): media $\frac{5\cdot20+2\cdot40}{150}=1{,}2$ V; valore quadratico medio $\frac{25\cdot20+4\cdot40}{150}=4{,}4$ V$^2$, quindi $V_{rms,DC}=2{,}098$ V e $V_{rms,AC}=\sqrt{4{,}4-1{,}44}=1{,}72$ V.

Come lo misurano gli strumenti

Multimetro true-RMSvero valore efficace: calcola davvero la radice della media dei quadrati, qualunque sia la forma d'onda. Un multimetro "vero valore efficace" calcola la radice del valore medio del quadrato, e non il picco diviso per $\sqrt2$ (che sarebbe corretto solo per una sinusoide): a un'onda quadra darebbe un risultato sbagliato. Ha però due modi di funzionare, e il tema ammette entrambe le risposte purché motivate:

• accoppiamento in alternatacondensatore in serie all'ingresso che toglie la componente continua (il caso più comune, modalità "Volt AC"): un filtro passa-alto elimina la componente continua e lo strumento indica $V_{rms,AC}$;
• accoppiamento in continua (AC+DC): indica $V_{rms,DC}$.

Se la misura è in modalità AC e il segnale ha frequenza molto bassa (pochi Hz) bisogna controllare che il filtro non attenui la fondamentalecomponente alla frequenza del segnale, la più bassa dello spettro: le specifiche di accuratezza del multimetro cambiano con la banda di frequenza (Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace veroIl multimetro digitale (DMM) non mostra la forma d'onda ma uno o più parametri del segnale: tensione e corrente continue e alternate (vero valore efficace), resistenza. Ingressi flottanti (differenziali). Voltmetro: resistenza interna idealmente infinita, in parallelo; amperometro: resistenza interna idealmente nulla (shunt), in serie, la caduta $V_b=R_sI$ è la burden voltage. Catena: partitore di campo, amplificatore, convertitore (RMS), ADC (doppia rampa $V_x=V_{ref}T_2/T_1$), display a $n\tfrac12$ cifre. Si sceglie il campo più piccolo che contiene il valore; specifiche $\pm(%\text{ lettura}+%\text{ fondo scala})$ con banda e tempo dalla taratura.Multimetro digitale - voltmetro, amperometro e valore efficace vero →).

Oscilloscopio. Le funzioni di misura numeriche calcolano il valore efficace dai campioni acquisiti e si distinguono per due scelte:

• DC RMS / AC RMS: con o senza componente continua;
• full screencalcolo eseguito su tutti i campioni visibili sullo schermo, anche se non formano periodi interi / N cycles: su tutti i campioni visualizzati oppure solo su un numero intero di periodi.

Il valore efficace si riferisce a un segnale periodico, quindi vale solo su un numero intero di periodi. Esempio: corrente in un LED, impulsi alti di $50$ mA lunghi $1$ ms ogni $4$ ms ($d=25\%$), scala orizzontale di $500\ \mu$s/div, cioè una finestra di $5$ ms ($1{,}25$ periodi). La misura corretta è $\text{DC RMS (N cycles)}=50\sqrt{0{,}25}=25$ mA (il segnale non è alternato, la sua media è $12{,}5$ mA e va tenuta); sul full screen i campioni comprendono due impulsi su cinque millisecondi, la frazione alta diventa $2/5$ e si legge $50\sqrt{0{,}4}=31{,}6$ mA, un errore del 26%. Solo con molte divisioni per periodo il full screen si avvicina al valore vero.

Confronto dei due strumenti. Il multimetro e l'oscilloscopio calcolano la stessa grandezza, ma per ripple molto piccoli (centinaia di microvolt) l'incertezza di un oscilloscopio senza sonde amplificate è dello stesso ordine del segnale, mentre quella di un multimetro è molto più piccola (esempio febbraio 2024: $200\ \mu$V contro $50\ \mu$V per un RMS-AC di $115\ \mu$V). Inoltre il multimetro filtra il rumore sovrapposto, mentre il calcolo dai campioni dell'oscilloscopio include tutto il rumore visualizzato.

Esempio completo: dente di sega a $f_0=6{,}7$ Hz

Rampa $-150\to450$ mV con $T=150$ ms. Come la leggerebbe un multimetro in modalità AC? La fondamentale è a $6{,}7$ Hz, dentro la banda $5$-$10$ Hz della tabella delle specifiche, con coefficienti $0{,}38\%$ della lettura più $0{,}03\%$ del fondo scalavalore massimo misurabile con l'impostazione scelta (range). Con fondo scala $1$ V e lettura $173$ mV (RMS-AC) l'incertezza estesa è $0{,}0038\cdot0{,}173+0{,}0003\cdot1=0{,}96$ mV; se lo strumento fosse in AC+DC e leggesse $229$ mV sarebbe $1{,}17$ mV (Esercizio 3 · dente di sega, valore efficace e multimetro true-RMS (tema d'esame febbraio 2023)).

Errori comuni

• Usare $V_0/\sqrt2$ per qualunque forma d'onda: è valido solo per la sinusoide.
• Dimenticare che un multimetro in AC non vede la componente continua, oppure aggiungerla all'RMS-AC sommando i valori invece dei quadrati ($V_{rms,DC}^2=V_{DC}^2+V_{rms,AC}^2$, non $V_{rms,DC}=V_{DC}+V_{rms,AC}$).
• Misurare l'RMS sull'oscilloscopio con full screen quando la finestra non contiene un numero intero di periodi.
• Prendere come valore efficace di un'onda rettangolare $V_H\sqrt d$ senza considerare il livello basso, o $V_H\sqrt{d(1-d)}$ quando si cerca l'RMS totale.