Misura di resistenza - due fili, quattro fili e resistenze elevate

Il multimetro non ha un "ohmmetro" fatto di una sola resistenza: misura la resistenza con un metodo volt-amperometricosi ricava la resistenza dal rapporto tra una tensione misurata e una corrente nota interno. Si fa passare attraverso il resistore una corrente di riferimento $I_{REF}$ nota, costante e stabile (generata da un generatore di correntecircuito che mantiene costante la corrente indipendentemente dal carico interno) e si misura la tensione ai suoi capi con l'ADC, che ha un ingresso ad altissima impedenza: $$\hat R_x=\frac{V_{mis}}{I_{REF}}.$$ Il resistore va staccato dal circuito: altrimenti si misurerebbe la resistenza equivalente vista alla coppia di morsetti. La corrente scelta per ogni campo non deve fare scaldare il resistore (la potenza $R_xI_{REF}^2$ ne altererebbe il valore).

Misura a due fili

Le stesse due connessioni portano la corrente di prova e rilevano la tensione. I cavi di collegamento hanno resistenze $R_{L1}$ e $R_{L2}$ in serie con $R_x$, quindi $$V_{mis}=I_{REF}\,(R_x+R_{L1}+R_{L2})\ \Longrightarrow\ \hat R_x=R_x+R_{L1}+R_{L2}.$$ È un errore sistematicoscostamento costante che si ripete a ogni misura $\Delta R_x=R_{L1}+R_{L2}$ (costante e positivo), con errore relativo $\varepsilon=\frac{\Delta R_x}{R_x}\cdot100$ che diventa grande per $R_x$ piccola. Esempio (luglio 2020): corrente interna $10$ mA, $R_x=12\ \Omega$, cavi da $0{,}5\ \Omega$ ciascuno: $V_{mis}=10\ \text{mA}\cdot13\ \Omega=130$ mV, misura $13\ \Omega$, errore $1\ \Omega$ ($8{,}3\%$). Con cavi da $0{,}1\ \Omega$ (febbraio 2022) l'errore è $0{,}2\ \Omega$, cioè $1{,}7\%$. Le resistenze dei cavi dipendono anche dalla temperatura, $R(T)=R_0[1+\alpha(T-T_0)]$ (per il rame $\alpha\simeq0{,}004/^\circ$C), perciò l'errore varia: lo si corregge con la taratura solo alla temperatura di taratura.

È accettabile solo se $R_x\gg R_L$ (resistenze di kilohm: $0{,}2\ \Omega$ su $10$ k$\Omega$ è $0{,}002\%$). Per questo i manuali danno per i due fili "le stesse specifiche dei quattro fili più al massimo $0{,}2\ \Omega$ di offsettermine additivo costante dello strumento".

Misura a quattro fili

La misura a quattro fili (o di Kelvinconfigurazione a quattro terminali che separa il percorso della corrente da quello di misura della tensione) separa i cavi della corrente da quelli della tensione: due fili portano $I_{REF}$ a $R_x$, due fili distinti collegano gli ingressi dell'ADC direttamente ai terminali di $R_x$. Poiché l'ADC ha impedenza di ingressoimpedenza vista dalla sorgente ai morsetti dello strumento altissima, in questi due fili la corrente è nulla ($I_{ADC}=0$) e le loro resistenze $R_{L3}$, $R_{L4}$ non producono alcuna caduta. La tensione letta è $$V_{mis}=V^+-V^-=R_{L3}I_{ADC}+R_x(I_{REF}-I_{ADC})-R_{L4}I_{ADC}=R_xI_{REF}\ \Longrightarrow\ \hat R_x=R_x.$$ Le cadute sui cavi della corrente, $R_{L1}I_{REF}$ e $R_{L2}I_{REF}$, non compaiono perché i punti di prelievo sono a valle. Si elimina l'errore sistematico dei cavi. Si usa per resistenze piccole (da ohm a milliohm: shuntresistore di valore noto usato per trasformare una corrente in tensione, resistenze di contatto) e per misure di precisione; in cambio servono quattro collegamenti e uno strumento con la funzione dedicata.

Esempio con le specifiche (febbraio 2022): resistore nominale $12\ \Omega$ con tolleranzascostamento massimo ammesso tra valore nominale e valore effettivo $10\%$, campo $100\ \Omega$, un anno dalla taratura e $\pm5\ ^\circ$C ($0{,}014\%$ della lettura e $0{,}007\%$ del fondo scalatensione massima che l'ADC riesce a convertire): a due fili $U=\big(\frac{0{,}014}{100}\cdot12+\frac{0{,}007}{100}\cdot100+0{,}2\big)=0{,}2087\simeq0{,}2\ \Omega$ (domina il contributo dei cavi); a quattro fili $U=0{,}0017+0{,}007=0{,}0087\simeq0{,}009\ \Omega$, circa ventiquattro volte minore (Esercizio 23 · resistenza a due e quattro fili (temi d'esame luglio 2020 e febbraio 2022)).

Resistenze elevate

Per $R_x$ dell'ordine dei megaohm, $V_{mis}=I_{REF}R_x$ può superare la tensione di fondo scala dell'ADC. Esempio: generatore da $J=5\ \mu$A, ADC con fondo scala $\pm10$ V e $R_x$ fino a $12$ M$\Omega$: la tensione sarebbe $5\cdot10^{-6}\cdot12\cdot10^6=60$ V, sei volte il fondo scala. Sono problemi tipici della misura di resistenze elevate: la tensione supera il fondo scala; le correnti di dispersionepiccole correnti che scorrono attraverso isolanti e superfici non perfette (isolamento, umidità) e l'impedenza di ingresso finita del voltmetro in confronto a $R_x$ introducono errori; il rumore e le correnti di polarizzazione dell'ingresso pesano di più.

Soluzione. Si mette una resistenza nota $R_p$ in parallelo a $R_x$ ai morsetti: la corrente $J$ si divide e la tensione si riduce a $V_{mis}=J\,R$ con $R=R_x\parallel R_p$: $$R=\frac{R_xR_p}{R_x+R_p}\ \Longrightarrow\ \boxed{\hat R_x=\frac{R_p\,R}{R_p-R},\qquad R=\frac{V_{mis}}J.}$$ (Da $R(R_x+R_p)=R_xR_p$ si ottiene $R_x(R_p-R)=RR_p$.) Il resistore noto $R_p$ e la corrente $J$ sono le costantigrandezze del sistema che lo strumento conosce e usa nel calcolo del sistema che lo strumento memorizza.

Dimensionamento. Il caso peggiorevalore di R_x per cui la tensione sull'ADC è massima è $R_x=R_{x,max}$: si impone $$J\,\big(R_{x,max}\parallel R_p\big)\le V_{FS}\ \Longrightarrow\ R_{x,max}\parallel R_p\le\frac{V_{FS}}J=:R_V\ \Longrightarrow\ R_p\le\frac{R_V\,R_{x,max}}{R_{x,max}-R_V}.$$ Con $J=5\ \mu$A, $V_{FS}=10$ V, $R_{x,max}=12$ M$\Omega$: $R_V=2$ M$\Omega$ e $R_p\le\frac{2\cdot12}{10}=2{,}4$ M$\Omega$: si sceglie un valore commerciale più piccolo, per esempio $R_p=2$ M$\Omega$, che per $R_x=12$ M$\Omega$ dà $R=1{,}714$ M$\Omega$ e $V_{mis}=8{,}57$ V (dentro $\pm10$ V). Con $J=10\ \mu$A e $R_{x,max}=15$ M$\Omega$ (gennaio 2024): $R_V=1$ M$\Omega$, $R_p\le\frac{1\cdot15}{14}=1{,}07$ M$\Omega$, si sceglie $R_p=1$ M$\Omega$ con $V_{mis,max}=9{,}4$ V (Esercizio 24 · resistenze elevate con un multimetro volt-amperometrico (temi d'esame gennaio 2024, gennaio 2025 e settembre 2025)).

Amplificazione degli errori. Poiché $R_x=\frac{R_pR}{R_p-R}$ il denominatore piccolo ($R\to R_p$ per $R_x\to\infty$) amplifica le incertezze: gli errori relativi su $R$ (cioè su $V_{mis}$ e $J$) si moltiplicano per $\frac{R_p}{R_p-R}$ ($=7$ per $R_p=2$ M$\Omega$, $R_x=12$ M$\Omega$) e quelli su $R_p$ per $\frac R{R_p-R}$ ($=6$). Perciò $R_p$ va noto con accuratezza alta e non conviene sceglierlo molto più piccolo del necessario né quasi uguale a $R_x$: è un compromesso tra il rispetto del fondo scala e la propagazione delle incertezze (Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezzaSe $y=f(x_1,\dots,x_K)$ con ingressi indipendenti, l'incertezza standard combinata è $u_C(y)=\sqrt{\sum_i c_i^2u^2(x_i)}$ con coefficienti di sensibilità $c_i=\partial f/\partial x_i$ (Taylor al primo ordine). Casi tipici: somma/differenza $u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (la differenza di due misure con lo stesso cursore dà $\sqrt2,u$); prodotti e quozienti $\frac{u_y}{y}=\sqrt{\sum(\frac{a_iu_i}{x_i})^2}$. Il bilancio di incertezza confronta i contributi $|c_i|u_i$ e indica quale ottimizzare. Con ingressi correlati si aggiunge $2\sum c_ic_j,u(x_i,x_j)$. Il metodo Monte Carlo propaga le distribuzioni senza derivate.Propagazione dell'incertezza e bilancio di incertezza →).

Errori comuni

• Misurare una resistenza ancora collegata al circuito.
• Usare due fili per resistenze di pochi ohm.
• Dire che a quattro fili si elimina anche l'errore di strumento: si elimina solo quello dei cavi.
• Dimensionare $R_p$ solo sul fondo scala, dimenticando il caso peggiore $R_{x,max}$.
• Scrivere $R_x=R\,R_p/(R+R_p)$: è la formula del parallelo (diretta), non quella inversa.