Esercizio - profilo scanalato a confronto con la linguetta e forzamento

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a) Coppia del profilo scanalato

Raggio medio: $r_m = \dfrac{D + d}{4} = \dfrac{42 + 36}{4} = 19{,}5$ mm. Ogni dente porta una forza $p\,h\,l$ al raggio $r_m$, e portano $\psi\,z$ denti: $$T = \psi\, z\, h\, l\, r_m\, p_{adm} = 0{,}75\cdot 8\cdot 2{,}0\cdot 40\cdot 19{,}5\cdot 90 = 842\,400\ \text{N mm} = 842\ \text{N m}$$

b) Coppia della linguetta

Per $10\times8$ tipo A, $l_{eff} = l - b = 40 - 10 = 30$ mm. Forza massima dalla pressione: $F_{max} = p_{adm}\,(h/2)\,l_{eff} = 90\cdot 4\cdot 30 = 10\,800$ N. La coppia è $$T_k = F_{max}\,\frac{d}{2} = 10\,800\cdot 18 = 194\,400\ \text{N mm} = 194\ \text{N m}$$ Rapporto: $T/T_k = 842/194 = 4{,}3$: il profilo scanalato trasmette oltre quattro volte la coppia della linguetta a parità di diametro e lunghezza, perché il carico si distribuisce su otto denti.

Controllo del conto: l'area portante dei denti è $\psi\, z\, h\, l = 0{,}75\cdot 8\cdot 2\cdot 40 = 480\ \text{mm}^2$ contro $(h/2)\,l_{eff} = 4\cdot30 = 120\ \text{mm}^2$ della linguetta (rapporto $4$); il raggio è $19{,}5$ contro $18$ mm (rapporto $1{,}08$): $4\cdot 1{,}08 = 4{,}3$ ✓.

c) Il forzamento potrebbe sostituire il profilo scanalato?

Coppia di progetto $1{,}5\cdot 842 = 1263$ N m. Con $T = \mu\,p\,\dfrac{\pi d^2 l}{2}$ si ricava la pressione: $$p = \frac{2T}{\mu\,\pi\,d^2\,l} = \frac{2\cdot1\,263\,000}{0{,}12\cdot\pi\cdot 36^2\cdot 40} = \frac{2\,526\,000}{19\,543} = 129\ \text{MPa}$$ L'interferenza efficace necessaria, dalla relazione tra $p$ e $\delta$ per albero pieno e mozzo di diametro esterno $D_h = 70$ mm: $$\delta = \frac{2\,d\,p}{E\,(1 - d^2/D_h^2)} = \frac{2\cdot 36\cdot 129}{210\,000\cdot(1 - 0{,}2645)} = \frac{9288}{154\,455} = 0{,}060\ \text{mm} = 60\ \mu\text{m}$$ Questa è l'interferenza efficace, cioè quella che resta dopo lo schiacciamento delle creste, quindi più piccola di quella nominale. In H7/s6 (diametri da 30 a 50 mm) l'interferenza nominale va da $18$ a $59\ \mu\text{m}$: la richiesta ($60\ \mu\text{m}$ efficaci) supera già il massimo, e con la minima di $18\ \mu\text{m}$ la coppia trasmessa sarebbe circa un terzo. Quindi con H7/s6 il solo forzamento non è realistico: servirebbe un accoppiamento più forte, con tensioni circonferenziali nel mozzo $\sigma = p\,\dfrac{D_h^2 + d^2}{D_h^2 - d^2} = 129\cdot\dfrac{4900 + 1296}{4900 - 1296} = 222$ MPa, e il mozzo non potrebbe scorrere.

d) Scorrevolezza e ripartizione

Un mozzo scorrevole deve potersi muovere assialmente sotto carico (o a vuoto) mantenendo la trasmissione della coppia: serve un accoppiamento con gioco e una trasmissione per forma (denti), non per attrito. Con un forzamento il mozzo non si sposta.

Il fattore $\psi \approx 0{,}75$ tiene conto del fatto che, per errori di passo e di centraggio, i denti non portano tutti lo stesso carico: alcuni si caricano prima degli altri. Con $\psi = 1$ si sovrastimerebbe la capacità del $33\%$.

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Risultati

• Profilo scanalato: $T = \mathbf{842\ N\,m}$.
• Linguetta: $T_k = \mathbf{194\ N\,m}$; rapporto $4{,}3$.
• Forzamento equivalente: $p = 129$ MPa, $\delta_{eff} = 60\ \mu\text{m}$; non realistico con H7/s6.

Errori comuni

• Usare $r_m = D/2$ invece di $(D+d)/4$.
• Dimenticare $\psi$.
• Chiamare "interferenza" quella nominale: il calcolo di $p$ richiede l'interferenza efficace, già ridotta dalle creste.
• Dimenticare che un mozzo scorrevole non può essere forzato.