Esercizio - dimensionamento e verifica di una linguetta parallela

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a) Sezione e forza

Per $d = 45$ mm ($44 < d \le 50$) la tabella dà $b \times h = 14\times9$, $t_1 = 5{,}5$, $t_2 = 3{,}8$ mm. La forza sulla linguetta, applicata al raggio dell'albero, è $$F = \frac{2T}{d} = \frac{2\cdot 600\,000\ \text{N mm}}{45\ \text{mm}} = 26\,667\ \text{N}$$

b) Verifica e scelta della lunghezza

Con $l = 50$ mm: $l_{eff} = l - b = 50 - 14 = 36$ mm. Pressione sulla faccia di altezza $h/2 = 4{,}5$ mm: $$p = \frac{F}{(h/2)\,l_{eff}} = \frac{26\,667}{4{,}5\cdot 36} = 164{,}6\ \text{MPa} > 110\ \text{MPa}$$ Non va bene.

Lunghezza minima. Dalla condizione sulla pressione: $$l_{eff} \ge \frac{F}{(h/2)\,p_{adm}} = \frac{26\,667}{4{,}5\cdot 110} = 53{,}9\ \text{mm} \quad\Rightarrow\quad l \ge 53{,}9 + 14 = 67{,}9\ \text{mm}$$ La lunghezza normalizzata maggiore è $l = 70$ mm, con $l_{eff} = 56$ mm.

Verifica con $l = 70$ mm. $$p = \frac{26\,667}{4{,}5\cdot56} = 105{,}8\ \text{MPa} \le 110 \ ✓, \qquad \tau = \frac{F}{b\,l_{eff}} = \frac{26\,667}{14\cdot 56} = 34{,}0\ \text{MPa} \le 70 \ ✓$$ Linguetta scelta: $14\times9\times70$. (Con $l = 70$ mm il mozzo deve essere lungo almeno $70$ mm: la lunghezza va confrontata con la larghezza della puleggia.)

c) Quote e accoppiamento

• Albero: profondità della cava dalla parte opposta $d - t_1 = 45 - 5{,}5 = 39{,}5$ mm; larghezza $14$ N9.
• Mozzo: $d + t_2 = 45 + 3{,}8 = 48{,}8$ mm; larghezza $14$ JS9.
• Linguetta: larghezza $14$ h9, altezza $9$.

Accoppiamento linguetta (h9: $0 / -43$) con cava del mozzo (JS9: $+21{,}5 / -21{,}5\ \mu\text{m}$): $$G_{max} = ES - ei = 21{,}5 - (-43) = +64{,}5\ \mu\text{m}, \qquad G_{min} = EI - es = -21{,}5 - 0 = -21{,}5\ \mu\text{m}$$ Accoppiamento incerto (da $21{,}5\ \mu\text{m}$ di interferenza a $64{,}5\ \mu\text{m}$ di gioco), adatto a un montaggio normale. Il montaggio fra linguetta e cava dell'albero (N9 con h9) ha $G_{max} = 0 + 43 = 43$ e $G_{min} = -43 - 0 = -43\ \mu\text{m}$, cioè una linguetta ben fissata all'albero; si lascia $0{,}3$ mm di gioco sul dorso ($5{,}5 + 3{,}8 - 9 = 0{,}3$).

d) Coppia massima

Con $l_{eff} = 56$ mm, la forza massima (limitata dalla pressione) è $F_{max} = p_{adm}\,(h/2)\,l_{eff} = 110\cdot 4{,}5\cdot 56 = 27\,720$ N, quindi $$T_{max} = F_{max}\,\frac{d}{2} = 27\,720\cdot 22{,}5 = 623\,700\ \text{N mm} = 623{,}7\ \text{N m}$$ Il margine sulla coppia di progetto ($600$ N m) è del $4\%$.

e) Pressione e taglio

Il rapporto tra le due tensioni è $p/\tau = \dfrac{b}{h/2} = \dfrac{14}{4{,}5} = 3{,}1$: la pressione è circa tre volte il taglio, perché la faccia che spinge è alta solo $h/2$, mentre la sezione di taglio è larga $b$. Le tensioni ammissibili hanno un rapporto $p_{adm}/\tau_{adm} = 110/70 = 1{,}6$, molto minore: la pressione raggiunge quindi il limite per prima. Il taglio comanda solo con linguette molto alte e strette.

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Risultati

• $14\times9$; $F = \mathbf{26{,}7\ kN}$.
• $l = 50$ non va bene ($p = 164{,}6$ MPa); $l_{min} = 67{,}9$ mm, si sceglie $14\times9\times70$ ($p = 105{,}8$ MPa, $\tau = 34{,}0$ MPa).
• Quote: $39{,}5$ sull'albero ($d - t_1$) e $48{,}8$ nel mozzo ($d + t_2$); linguetta–mozzo incerto da $-21{,}5$ a $+64{,}5\ \mu\text{m}$.
• $T_{max} = \mathbf{623{,}7\ N\,m}$.

Errori comuni

• Usare $F = T/d$: la forza è $2T/d$.
• Dimenticare $l_{eff} = l - b$ per il tipo A.
• Usare $h$ invece di $h/2$ nell'area di contatto.
• Scegliere la lunghezza minima senza arrotondare al valore normalizzato maggiore.