Esercizio - coppia di serraggio e precarico di una vite M10 classe 8.8

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a) Precarico

$$F_i = 0{,}75\cdot S_p\cdot A_s = 0{,}75\cdot 580\ \text{MPa}\cdot 58{,}0\ \text{mm}^2 = 25\,230\ \text{N} \approx 25{,}2\ \text{kN}$$ La tensione nominale è $\sigma = F_i/A_s = 435$ MPa, cioè $75\%$ di $S_p$ ($580$ MPa) come richiesto, e $68\%$ di $R_{p0,2}$.

b) Coppia di serraggio

Angoli. $$\alpha = \arctan\frac{P}{\pi d_2} = \arctan\frac{1{,}5}{\pi\cdot 9{,}026} = \arctan 0{,}0529 = 3{,}03^\circ$$ Il filetto triangolare ha i fianchi inclinati di $30^\circ$ rispetto al piano perpendicolare all'asse, e l'attrito sui fianchi vale di più: $$\varphi' = \arctan\frac{\mu}{\cos 30^\circ} = \arctan\frac{0{,}15}{0{,}866} = \arctan 0{,}1732 = 9{,}83^\circ$$

Coppia sul filetto (il filetto è un piano inclinato di angolo $\alpha$ con attrito $\varphi'$): $$M_f = F_i\,\frac{d_2}{2}\tan(\alpha + \varphi') = 25\,230\cdot 4{,}513\cdot\tan 12{,}86^\circ = 25\,230\cdot 4{,}513\cdot 0{,}2283 = 25\,977\ \text{N mm} = 26{,}0\ \text{N m}$$

Coppia sotto la testa: $$M_t = F_i\,\mu_c\, r_c = 25\,230\cdot 0{,}15\cdot 6{,}4 = 24\,221\ \text{N mm} = 24{,}2\ \text{N m}$$

Totale: $M = 26{,}0 + 24{,}2 = 50{,}2\ \text{N m}$.

Regola pratica: $M = 0{,}2\,F d = 0{,}2\cdot 25\,230\cdot 0{,}010 = 50{,}5\ \text{N m}$. Il valore coincide con quello della formula (differenza dello $0{,}6\%$): $K = M/(Fd) = 0{,}199$.

c) Autobloccaggio e rendimento

La vite è autobloccante se $\varphi' > \alpha$: $9{,}83^\circ > 3{,}03^\circ$ ✓. Rendimento del solo filetto in salita: $$\eta = \frac{\tan\alpha}{\tan(\alpha + \varphi')} = \frac{0{,}0529}{0{,}2283} = 0{,}23$$ Solo il $23\%$ del lavoro fatto sul filetto è utile (si converte in energia elastica della vite): il resto è attrito. Anche sul totale della coppia conta poco: il lavoro elastico corrisponde a $F_i P/(2\pi) = 6{,}0$ N m, cioè il $12\%$ di $50{,}2$.

Tensione equivalente durante il serraggio. Oltre alla trazione $\sigma = 435$ MPa, la parte di coppia sul filetto torce il gambo: con $W_p = \frac{\pi}{16}\left(\frac{d_2 + d_3}{2}\right)^3 = \frac{\pi}{16}\cdot 8{,}593^3 = 124{,}6\ \text{mm}^3$, la tensione tangenziale è $\tau = 25\,977/124{,}6 = 208$ MPa e la tensione equivalente (von Mises) $\sigma_{eq} = \sqrt{435^2 + 3\cdot208^2} = 565$ MPa. È sotto $R_{p0,2} = 640$ MPa (con margine dell'$11\%$), per questo il precarico si limita al $75\%$ di $S_p$.

d) Vite lubrificata

Con $\mu = \mu_c = 0{,}10$: $\varphi' = \arctan(0{,}10/0{,}866) = 6{,}59^\circ$ e $$M = F\left[\frac{d_2}{2}\tan(\alpha + \varphi') + \mu_c r_c\right] = F\left[4{,}513\cdot\tan 9{,}62^\circ + 0{,}10\cdot 6{,}4\right]\ \text{mm} = F\cdot 1{,}405\ \text{mm}$$ (con $\tan 9{,}62^\circ = 0{,}1695$ si ha $4{,}513 \cdot 0{,}1695 = 0{,}765$ mm, e $0{,}765 + 0{,}64 = 1{,}405$ mm). Con la stessa coppia $M = 50{,}2$ N m: $$F = \frac{50\,200\ \text{N mm}}{1{,}405\ \text{mm}} = 35\,700\ \text{N} = 35{,}7\ \text{kN}$$ Il carico di prova della vite è $S_p A_s = 580\cdot 58{,}0 = 33\,640$ N: il nuovo precarico lo supera del $6\%$: con la trazione $\sigma = 616$ MPa e la torsione $\tau = 219$ MPa la tensione equivalente sarebbe $\sqrt{616^2 + 3\cdot 219^2} = 723$ MPa, oltre $R_{p0,2} = 640$ MPa. Non è accettabile: la vite si plasticizza e perde precarico. Per $F_i = 25{,}2$ kN servono $M \approx 35{,}4$ N m: lubrificare riduce la coppia necessaria del $30\%$.

e) Chiave dinamometrica

Il precarico dipende dal coefficiente d'attrito, che varia di molto con lubrificazione, finitura e riutilizzo (come mostra il caso (d): $\mu$ da $0{,}15$ a $0{,}10$ cambia il precarico del $41\%$). La chiave dinamometrica controlla la coppia, quindi il precarico se i coefficienti sono noti; il serraggio a sentimento ha una dispersione molto più grande. Nei collegamenti critici (testate, bielle, flange) si serra anche per angolo o si misura l'allungamento.

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Risultati

• $F_i = \mathbf{25{,}2\ kN}$, $\sigma = 435$ MPa.
• $\alpha = 3{,}03^\circ$, $\varphi' = 9{,}83^\circ$; $M = 26{,}0 + 24{,}2 = \mathbf{50{,}2\ N\,m}$ ($0{,}2Fd = 50{,}5$).
• Autobloccante; $\eta = 0{,}23$; $\sigma_{eq} = 565$ MPa $< 640$ MPa.
• Lubrificata ($\mu = 0{,}10$) a $50{,}2$ N m: $F = \mathbf{35{,}7\ kN} > S_p A_s = 33{,}6$ kN, non accettabile; per $F_i = 25{,}2$ kN servono $35{,}4$ N m.

Errori comuni

• Dimenticare l'attrito sotto la testa: vale quasi la metà della coppia.
• Usare $\varphi = \arctan\mu$ senza dividere per $\cos 30^\circ$ nei filetti triangolari.
• Usare le stesse coppie con viti lubrificate: il precarico supera $S_p A_s$.
• Confondere $R_{p0,2}$ e $S_p$: il precarico si riferisce a $S_p$.