Esercizio - giunto bullonato con carico esterno e separazione delle parti

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a) Precarico e rigidezza della vite

$$F_i = 0{,}75\cdot 580\cdot 84{,}3 = 36\,660\ \text{N} \approx 36{,}7\ \text{kN}$$ La vite si comporta come una molla assiale di rigidezza $k = EA/L$: $$k_b = \frac{E A_s}{L} = \frac{210\,000\cdot 84{,}3}{30} = 5{,}9\cdot10^5\ \text{N/mm} = 590\ \text{kN/mm}$$ (è molto minore di $k_m$: la vite è più flessibile delle parti serrate).

b) Ripartizione del carico

$$C = \frac{k_b}{k_b + k_m} = \frac{5{,}9\cdot10^5}{5{,}9\cdot10^5 + 18\cdot10^5} = \frac{5{,}9}{23{,}9} = 0{,}247$$ Con carico esterno $F_e = 15$ kN:

• forza nella vite: $F_b = F_i + C F_e = 36{,}66 + 0{,}247\cdot 15 = 36{,}66 + 3{,}70 = 40{,}36$ kN;
• compressione residua sulle parti: $F_m = F_i - (1 - C)F_e = 36{,}66 - 0{,}753\cdot 15 = 36{,}66 - 11{,}30 = 25{,}36$ kN.

Controllo di equilibrio: $F_b - F_m = 40{,}36 - 25{,}36 = 15{,}00$ kN $= F_e$ ✓. Delle $15$ kN di carico, solo $3{,}7$ kN (il $25\%$) vanno in più nella vite; i restanti $11{,}3$ kN scaricano le parti.

c) Separazione

Le parti si separano quando $F_m = 0$: $$F_{e,sep} = \frac{F_i}{1 - C} = \frac{36{,}66}{0{,}753} = 48{,}7\ \text{kN}$$ Coefficiente di sicurezza alla separazione: $48{,}7/15 = 3{,}2$.

d) Tensioni nella vite

Sotto il carico massimo la tensione nominale è $\sigma_{max} = \frac{F_b}{A_s} = \frac{40\,360}{84{,}3} = 479$ MPa. È sotto $S_p = 580$ MPa, con coefficiente di sicurezza $580/479 = 1{,}21$.

Il carico esterno varia da $0$ a $15$ kN: la forza nella vite varia da $F_i = 36{,}66$ kN a $40{,}36$ kN, cioè di $\Delta F_b = C F_e = 3{,}70$ kN. L'ampiezza della tensione alterna è $$\sigma_a = \frac{C F_e}{2 A_s} = \frac{3700}{2\cdot 84{,}3} = 22{,}0\ \text{MPa}$$ intorno a una tensione media $\sigma_m = 457$ MPa. Un'ampiezza così bassa è compatibile con la fatica di una vite filettata ben serrata.

e) Perché il precarico serve

Se il precarico fosse nullo ($F_i = 0$) la vite sentirebbe l'intero carico variabile: $\sigma_a = \frac{F_e}{2A_s} = \frac{15\,000}{2\cdot 84{,}3} = 89$ MPa, quattro volte maggiore ($1/C = 4{,}05$), e le parti si separerebbero subito. Con un precarico elevato le parti restano compresse, la rigidezza del giunto prevale e la vite vede solo una frazione $C$ del carico variabile; a fatica contano l'ampiezza della tensione alterna, non il valore massimo. È anche per questo che le viti dei giunti importanti si stringono con una coppia controllata.

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Risultati

• $F_i = \mathbf{36{,}7\ kN}$, $k_b = 590\ \text{kN/mm}$, $C = \mathbf{0{,}247}$.
• Sotto $F_e = 15$ kN: $F_b = \mathbf{40{,}4\ kN}$, $F_m = \mathbf{25{,}4\ kN}$.
• Separazione a $F_e = \mathbf{48{,}7\ kN}$ (sicurezza $3{,}2$).
• $\sigma_{max} = 479$ MPa $< S_p$ (sicurezza $1{,}21$); $\sigma_a = 22{,}0$ MPa.

Errori comuni

• Sommare tutto $F_e$ al precarico ($F_b = F_i + F_e$): la vite prende solo $C F_e$.
• Calcolare $C$ con $k_m/(k_b + k_m)$: è il complemento, $1 - C$.
• Dimenticare che le parti si scaricano: $F_m = F_i - (1-C)F_e$ deve restare positiva.
• Usare l'area del diametro nominale nella tensione e nella rigidezza della vite.