Esercizio - scelta e vita di un cuscinetto a sfere con le tolleranze delle sedi

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Testo. Un albero di diametro $d = 40$ mm gira a $n = 1000$ giri/min su un cuscinetto radiale rigido a sfere $6208$ ( $C = 32{,}5$ kN) con carico radiale costante $F_r = 4{,}5$ kN e nessun carico assiale. Il carico è fisso nello spazio (peso e forza di un ingranaggio in direzione costante) e l'anello interno ruota con l'albero. Dati per le sedi: alesaggio del cuscinetto $0 / -12\ \mu\text{m}$ ; diametro esterno $\varnothing 80$ con tolleranza $0 / -13\ \mu\text{m}$ ; albero k6 per $\varnothing 40$ con scostamenti $+2 / +18\ \mu\text{m}$ ; alloggiamento H7 per $\varnothing 80$ con scostamenti $+30 / 0\ \mu\text{m}$ .

a) Si decodifichi la sigla $6208$ e si dica quali sono le dimensioni $d \times D \times B$ del cuscinetto.

b) Si calcolino $L_{10}$ in milioni di giri e $L_{10h}$ in ore. Di quanto cambia la vita se il carico aumenta del $50\%$ ?

c) Si vuole una vita di $20\,000$ h. Quale $C$ serve? Il $6208$ basta? Si valutano $6308$ ( $C = 41{,}0$ kN) e $6408$ ( $C = 63{,}7$ kN). (I valori di $C$ sono dati del catalogo del costruttore: cataloghi diversi riportano valori un po' diversi per la stessa sigla.)

d) Si calcolino interferenza o gioco nelle due sedi e si dica se la scelta (k6 sull'albero, H7 in alloggiamento) è coerente con il tipo di carico.

e) Domanda teorica. Perché l'anello che ruota rispetto al carico va montato con interferenza e quello fermo può avere gioco?

Teoria: Organi delle macchine - cuscinetti, ruote dentate, molle e tenute; sedi: Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamenti.

a) Sigla

$6208$ : prima cifra $6$ = cuscinetto radiale rigido a sfere; seconda cifra $2$ = serie leggera; ultime due cifre $08$ : alesaggio $d = 8\cdot5 = 40$ mm. Le altre dimensioni (da catalogo): $D = 80$ mm e $B = 18$ mm, cioè $40\times80\times18$ .

b) Vita

Il carico equivalente con solo carico radiale è $P = F_r = 4{,}5$ kN; per le sfere $p = 3$ : $L_{10} = \left(\frac{C}{P}\right)^3 = \left(\frac{32{,}5}{4{,}5}\right)^3 = 7{,}222^3 = 376{,}7\ \text{milioni di giri}$ $L_{10h} = \frac{10^6\, L_{10}}{60\, n} = \frac{376{,}7\cdot10^6}{60\cdot1000} = 6279\ \text{h}$ Con il carico aumentato del $50\%$ ( $P = 6{,}75$ kN): la vita si divide per $1{,}5^3 = 3{,}375$ , cioè $L_{10h} = 6279/3{,}375 = 1860$ h.

c) Vita richiesta di $20\,000$ h

Servono $L_{10} = \dfrac{60\,n\,L_{10h}}{10^6} = \dfrac{60\cdot1000\cdot20\,000}{10^6} = 1200$ milioni di giri. Dalla formula inversa $C \ge P\, L_{10}^{1/3} = 4{,}5\cdot1200^{1/3} = 4{,}5\cdot10{,}63 = 47{,}8\ \text{kN}$ Il $6208$ ( $32{,}5$ kN) non basta, e neppure il $6308$ ( $41{,}0$ kN): vita $L_{10h} = \dfrac{10^6}{60\cdot1000}\left(\dfrac{41{,}0}{4{,}5}\right)^3 = 12\,606$ h. Il $6408$ ( $63{,}7$ kN) dà $47\,275$ h $> 20\,000$ ✓. Se l'ingombro non permette la serie pesante, si passa a un cuscinetto a rulli o si riduce il carico; la scelta più economica è quella che raggiunge la vita richiesta con meno materiale.

d) Sedi

Albero (anello interno): alesaggio $0 / -12$ su albero $+2 / +18$ : $G_{max} = ES - ei = 0 - 2 = -2\ \mu\text{m}, \qquad G_{min} = EI - es = -12 - 18 = -30\ \mu\text{m}$ Interferenza da $2$ a $30\ \mu\text{m}$ : montaggio leggermente forzato.

Alloggiamento (anello esterno): foro H7 ( $+30 / 0$ ) con esterno $0 / -13$ : $G_{max} = 30 - (-13) = +43\ \mu\text{m}, \qquad G_{min} = 0 - 0 = 0$ Gioco da $0$ a $43\ \mu\text{m}$ : l'anello esterno scorre nel supporto, utile anche come cuscinetto libero per dilatazioni.

Coerenza. Il carico è fisso e l'anello interno ruota: l'anello interno ruota rispetto al carico e ha interferenza (k6), l'esterno è fermo rispetto al carico e ha gioco (H7). ✓.

e) Perché

Un anello che ruota rispetto al carico vede il carico passare su tutta la sua circonferenza e tende a "camminare" (creep) sulla sede se c'è gioco, consumandola e surriscaldandosi. Con interferenza resta solidale alla sede. L'anello fermo rispetto al carico è sempre premuto sullo stesso lato e non cammina: può avere gioco, il che facilita il montaggio e consente la dilatazione termica dell'albero (cuscinetto libero).

Risultati

$6208$ : $d = 40$ , $D = 80$ , $B = 18$ mm.
$L_{10} = \mathbf{376{,}7}$ milioni di giri, $L_{10h} = \mathbf{6279\ h}$ ; con $+50\%$ di carico $1860$ h.
Per $20\,000$ h servono $C \ge 47{,}8$ kN: scelta $6408$ ( $47\,275$ h); il $6308$ dà $12\,606$ h.
Albero: interferenza $2$ - $30\ \mu\text{m}$ ; alloggiamento: gioco $0$ - $43\ \mu\text{m}$ .

Errori comuni

Leggere $08$ come $8$ mm: da $04$ in poi si moltiplica per $5$ .
Usare $p = 10/3$ per le sfere: per le sfere è $3$ .
Dimenticare che la vita varia con la terza potenza del carico.
Mettere l'interferenza sull'anello che non gira rispetto al carico.

Versione ripasso

Testo. Cuscinetto $6208$ ( $C = 32{,}5$ kN), $F_r = 4{,}5$ kN, $n = 1000$ giri/min, albero $\varnothing 40$ k6 ( $+2/+18$ ) con alesaggio $0/-12$ , alloggiamento $\varnothing 80$ H7 ( $+30/0$ ) con esterno $0/-13$ . Si chiedono sigla, $L_{10}$ , effetto del $+50\%$ di carico, $C$ per $20\,000$ h, sedi.

Teoria: Organi delle macchine - cuscinetti, ruote dentate, molle e tenute; Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamenti.

Soluzione

$6208$ : tipo $6$ (radiale rigido a sfere), serie $2$ (leggera), $08 \to 8\cdot5 = 40$ mm; $40\times80\times18$ .
$L_{10} = (C/P)^3 = (32{,}5/4{,}5)^3 = 376{,}7$ milioni di giri; $L_{10h} = 10^6\,L_{10}/(60\,n) = 6279$ h. Con $+50\%$ : divisa per $3{,}375$ , $1860$ h.
$20\,000$ h: $L_{10} = 1200$ milioni di giri, $C \ge P\,L_{10}^{1/3} = 4{,}5\cdot10{,}63 = 47{,}8$ kN. Il $6208$ non basta, il $6308$ ( $41{,}0$ kN) dà $12\,606$ h, il $6408$ ( $63{,}7$ kN) $47\,275$ h.
Albero: $G_{max} = 0 - 2 = -2$ , $G_{min} = -12 - 18 = -30\ \mu\text{m}$ (interferenza). Alloggiamento: $G_{max} = 30 + 13 = 43$ , $G_{min} = 0$ (gioco).
L'anello che ruota rispetto al carico ha interferenza per evitare il creep; l'anello fermo ha gioco per il montaggio e la dilatazione.

Errori tipici: $08$ letto come $8$ mm; $p = 10/3$ per le sfere; interferenza sull'anello sbagliato; vita non con la terza potenza.