Esercizio - gioco di una catena di quote nel caso peggiore e statistico

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Teoria: Quotatura funzionale e catene di quote.

Testo. In un alloggiamento di lunghezza interna $A = 100{,}0 \pm 0{,}20$ mm si montano in fila un anello $B = 25{,}00 \pm 0{,}05$ mm, un distanziale $C = 48{,}00 \pm 0{,}10$ mm e un secondo anello $D = 25{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Il gioco assiale $G$ resta tra l'ultimo anello e la parete.

Calcolare il gioco nominale.
Calcolare $G_{\max}$ e $G_{\min}$ nel caso peggiore.
Calcolare l'intervallo del gioco con il metodo statistico (radice della somma dei quadrati, ipotesi di quote indipendenti).
Verificare, con ciascun metodo, tre requisiti: (R1) $1{,}5 \le G \le 2{,}5$ mm; (R2) $1{,}8 \le G \le 2{,}2$ mm; (R3) $1{,}75 \le G \le 2{,}25$ mm.
Per soddisfare R2 anche nel caso peggiore: calcolare le tolleranze se tutte e quattro sono uguali, e proporre una redistribuzione che stringe solo le quote più facili.
Domanda teorica. Perché il metodo statistico non si usa per pochi pezzi?

1. Gioco nominale

La cavità $A$ è la maglia positiva, i tre pezzi che la riempiono sono maglie negative:

$G = A - (B + C + D) = 100 - (25 + 48 + 25) = 2{,}00\ \text{mm}$

2. Caso peggiore

Il gioco è massimo con cavità al massimo e pezzi al minimo, minimo nel caso opposto:

$G_{\max} = 100{,}20 - (24{,}95 + 47{,}90 + 24{,}95) = 100{,}20 - 97{,}80 = 2{,}40\ \text{mm}$ $G_{\min} = 99{,}80 - (25{,}05 + 48{,}10 + 25{,}05) = 99{,}80 - 98{,}20 = 1{,}60\ \text{mm}$

La tolleranza di chiusura è la somma di tutte le tolleranze: $0{,}20 + 0{,}05 + 0{,}10 + 0{,}05 = 0{,}40$ mm, cioè $G = 2{,}00 \pm 0{,}40$ mm ✓ ( $2{,}40 - 1{,}60 = 0{,}80 = 2 \cdot 0{,}40$ è l'ampiezza totale).

3. Metodo statistico

$t_G = \sqrt{0{,}20^2 + 0{,}05^2 + 0{,}10^2 + 0{,}05^2} = \sqrt{0{,}04 + 0{,}0025 + 0{,}01 + 0{,}0025} = \sqrt{0{,}055} = 0{,}2345\ \text{mm}$

quindi $G = 2{,}00 \pm 0{,}23$ mm, cioè tra $1{,}77$ e $2{,}23$ mm. (Il termine dominante è $0{,}20^2$ : la tolleranza della cavità pesa quasi come tutte le altre insieme.)

4. Verifica dei requisiti

requisito	intervallo richiesto	caso peggiore $1{,}60 \div 2{,}40$	statistico $1{,}77 \div 2{,}23$
R1	$1{,}5 \div 2{,}5$	sì	sì
R2	$1{,}8 \div 2{,}2$	no	no ( $1{,}7655 < 1{,}8$ )
R3	$1{,}75 \div 2{,}25$	no	sì ( $1{,}7655 \ge 1{,}75$ e $2{,}2345 \le 2{,}25$ )

Per R1 il progetto è sicuro anche nel caso peggiore; per R3 funziona solo statisticamente (una piccola frazione di assiemi potrebbe uscire dall'intervallo); per R2 non basta nessuno dei due, serve restringere le tolleranze.

5. Ripartizione per R2 (caso peggiore)

Il requisito $1{,}8 \div 2{,}2$ vuole una semi-tolleranza di chiusura $t_G = 0{,}20$ mm. Con quattro maglie uguali (caso peggiore):

$t = \frac{t_G}{n} = \frac{0{,}20}{4} = 0{,}05\ \text{mm per ciascuna}$

Ridistribuzione pratica: gli anelli sono pezzi lavorati con precisione ( $\pm 0{,}03$ ), il distanziale è più facile da rettificare ( $\pm 0{,}06$ ) e la cavità, la più costosa, si lascia più larga ( $\pm 0{,}08$ ): $0{,}08 + 0{,}03 + 0{,}06 + 0{,}03 = 0{,}20$ mm ✓. In questo caso, con il metodo statistico, la tolleranza risultante sarebbe $\sqrt{0{,}08^2 + 0{,}03^2 + 0{,}06^2 + 0{,}03^2} = 0{,}109$ mm (molto più stretta del necessario).

python

import math
A = (100.0, 0.20); neg = [(25.0, 0.05), (48.0, 0.10), (25.0, 0.05)]
G = A[0] - sum(n for n, _ in neg)
wc = A[1] + sum(t for _, t in neg)
rss = math.sqrt(A[1]**2 + sum(t**2 for _, t in neg))
print(G, round(G - wc, 2), round(G + wc, 2), round(G - rss, 4), round(G + rss, 4))
print(round(0.08 + 0.03 + 0.06 + 0.03, 2), round(math.sqrt(0.08**2 + 0.03**2 + 0.06**2 + 0.03**2), 3))

L'uscita è 2.0 1.6 2.4 1.7655 2.2345 e 0.2 0.109.

6. Perché il metodo statistico non vale per pochi pezzi

Il metodo si basa sul fatto che le quote sono variabili casuali indipendenti e che molti assiemi hanno scarti che si compensano (un pezzo troppo lungo con uno troppo corto). Con pochi pezzi, o con un lotto proveniente da un'unica lavorazione che ha lo stesso errore su tutti, non c'è compensazione e tutti i pezzi possono cadere dallo stesso lato: vale il caso peggiore. Inoltre il metodo accetta, per definizione, una piccola frazione di assiemi fuori limite.

Risultati

punto	risultato
1	$G = 2{,}00$ mm
2	$G_{\max} = 2{,}40$ mm, $G_{\min} = 1{,}60$ mm ( $\pm 0{,}40$ )
3	$t_G = 0{,}2345$ mm: $1{,}77 \div 2{,}23$ mm
4	R1: peggiore e statistico; R2: nessuno; R3: solo statistico
5	$\pm 0{,}05$ ciascuna; oppure $\pm 0{,}08$ , $\pm 0{,}03$ , $\pm 0{,}06$ , $\pm 0{,}03$ (somma $0{,}20$ )
6	servono molti pezzi e quote indipendenti; altrimenti vale il caso peggiore

Errori comuni

Sommare solo le tolleranze delle maglie positive: contano tutte.
Usare i massimi di tutte le quote per $G_{\max}$ : la cavità va al massimo ma i pezzi al minimo.
Applicare il metodo statistico a pochi pezzi o a quote non indipendenti.
Dimenticare la radice nella somma dei quadrati.

Versione ripasso

Testo. Alloggiamento $A = 100{,}0 \pm 0{,}20$ con anelli $B = D = 25{,}00 \pm 0{,}05$ e distanziale $C = 48{,}00 \pm 0{,}10$ mm: gioco nominale, caso peggiore, statistico; requisiti R1 $1{,}5 \div 2{,}5$ , R2 $1{,}8 \div 2{,}2$ , R3 $1{,}75 \div 2{,}25$ mm; tolleranze per R2. Teoria: Quotatura funzionale e catene di quote.

Soluzione

$G = 100 - (25 + 48 + 25) = 2{,}00$ mm.
$G_{\max} = 100{,}20 - 97{,}80 = 2{,}40$ ; $G_{\min} = 99{,}80 - 98{,}20 = 1{,}60$ ( $\pm 0{,}40 = \sum t_i$ ).
$t_G = \sqrt{0{,}055} = 0{,}2345$ : $1{,}77 \div 2{,}23$ mm.
R1 sì (entrambi); R2 no (entrambi); R3 solo statistico.
$t = 0{,}20/4 = 0{,}05$ ciascuna, oppure $0{,}08 + 0{,}03 + 0{,}06 + 0{,}03 = 0{,}20$ .
RSS richiede molti pezzi e quote indipendenti.

Controllo finale

Intervalli: peggiore $1{,}60 \div 2{,}40$ ; statistico $1{,}7655 \div 2{,}2345$ mm; la somma $0{,}20 + 0{,}05 + 0{,}10 + 0{,}05 = 0{,}40$ e la radice $\sqrt{0{,}055} = 0{,}2345$ .
Ripartizione per R2: $0{,}20/4 = 0{,}05$ , o $0{,}08 + 0{,}03 + 0{,}06 + 0{,}03 = 0{,}20$ mm.

Passaggi principali

Maglie: cavità $A$ positiva, tre pezzi negativi; massimo e minimo con cavità al massimo e pezzi al minimo (e viceversa); tolleranza di chiusura = somma di tutte le tolleranze.
Statistico: radice della somma dei quadrati (quote indipendenti, molti pezzi); i requisiti sono verificati confrontando gli intervalli.

Errori comuni

Solo maglie positive; massimi per tutte le quote; RSS con pochi pezzi; radice dimenticata.

Teoria collegata

Quotatura funzionale e catene di quote