FormularioDocumentazione Tecnica di Prodotto e CAD: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

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I. Norme e rappresentazione

Proiezioni ortogonali - metodo europeo e americano

Proprietà (metodo europeo). Nella pianta e nelle viste laterali il lato rivolto verso la vista frontale è la parte posteriore del pezzo; il lato più lontano è la parte anteriore. Nel metodo americano è l'opposto: il lato vicino alla frontale è il davanti.

II. Quotatura

Quotatura funzionale e catene di quote

Formula (caso peggiore). $T_G = G_{\max} - G_{\min} = \sum_i T_i$

III. Specificazione geometrica dei prodotti

Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamenti

Definizione (grandezze dimensionali).

Dimensione nominale $N$ : la quota scritta sul disegno, uguale per foro e albero di un accoppiamento ( $N = 40$ mm).

Limiti di dimensione: dimensione massima $D_{max}$ e minima $D_{min}$ ammesse ( $40{,}025$ e $40{,}000$ mm).

Scostamento superiore e inferiore: differenza tra il limite e la nominale, con il segno. Per i fori si scrivono con le maiuscole $ES$ e $EI$ , per gli alberi con le minuscole $es$ e $ei$ .

Tolleranza: ampiezza dell'intervallo, sempre positiva: $T = D_{max} - D_{min} = ES - EI \quad(\text{foro}), \qquad T = es - ei \quad(\text{albero})$

Linea dello zero: la linea che rappresenta la dimensione nominale; gli scostamenti si misurano da lì (positivi sopra, negativi sotto).

Esempio. Il foro sopra ha $ES = +25\ \mu\text{m}$ , $EI = 0$ , quindi $T = 25 - 0 = 25\ \mu\text{m}$ . Un albero con limiti $39{,}975$ e $39{,}984$ mm ha $es = -16\ \mu\text{m}$ , $ei = -25\ \mu\text{m}$ (differenze rispetto a 40 mm, in micrometri) e $T = -16 - (-25) = 9\ \mu\text{m}$ .

Definizione (sistemi di accoppiamento).

Sistema foro base: il foro è sempre di tipo H ( $EI = 0$ ) e il tipo di accoppiamento si ottiene cambiando la lettera dell'albero. È il sistema più usato.

Sistema albero base: l'albero è sempre di tipo h ( $es = 0$ ) e si cambia la lettera del foro.

Formula (gioco massimo e minimo). $G_{max} = D_{max} - d_{min} = ES - ei \qquad\qquad G_{min} = D_{min} - d_{max} = EI - es$ La tolleranza dell'accoppiamento è $T_G = G_{max} - G_{min} = T_{foro} + T_{albero}$ .

Esempio svolto. $\varnothing 40\ \text{H7/g6}$ . Dalle tabelle: $IT6 = 16\ \mu\text{m}$ , $IT7 = 25\ \mu\text{m}$ ; $g$ : $es = -9\ \mu\text{m}$ . Foro H7: $EI = 0$ , $ES = 0 + 25 = +25\ \mu\text{m}$ , quindi limiti $40{,}000$ e $40{,}025$ mm. Albero g6: $es = -9$ , $ei = -9 - 16 = -25\ \mu\text{m}$ , limiti $39{,}975$ e $39{,}991$ mm. $G_{max} = ES - ei = 25 - (-25) = +50\ \mu\text{m}, \qquad G_{min} = EI - es = 0 - (-9) = +9\ \mu\text{m}.$ Il gioco è sempre positivo (da $9$ a $50\ \mu\text{m}$ ): accoppiamento con gioco. Controllo: $T_G = 50 - 9 = 41 = 25 + 16$ ✓.

Formula (catena di tolleranze, caso peggiore). $T_C = T_1 + T_2 + T_3 = \sum_i T_i$ Il valore si dice "peggiore" perché presuppone che tutti i pezzi siano ai limiti insieme. In produzione di serie, con distribuzioni gaussiane, si usa a volte la somma quadratica $T_C = \sqrt{\sum_i T_i^2}$ , più ottimistica, che accetta un piccolo rischio di non conformità.

Esempio. Tre quote con tolleranze $0{,}10$ , $0{,}05$ e $0{,}08$ mm: caso peggiore $T_C = 0{,}23$ mm; somma quadratica $\sqrt{0{,}10^2+0{,}05^2+0{,}08^2} = 0{,}137$ mm. Si risparmia la tolleranza di una catena solo concentrandola nei pezzi dove costa meno (lo stesso ragionamento della Quotatura funzionale e catene di quote).

Tolleranze geometriche - forma, orientamento, posizione e oscillazione

Definizione (zona di tolleranza). È la porzione di spazio (o di piano) in cui deve stare tutto l'elemento tollerato: due rette o due piani paralleli distanti $t$ , un cerchio o un cilindro di diametro $t$ , due circonferenze concentriche di raggi che differiscono di $t$ . Il numero $t$ nel quadro è sempre la larghezza della zona, non il suo raggio. Se prima del valore c'è $\varnothing$ , la zona è un cerchio o un cilindro; altrimenti è compresa fra due rette o piani.

Formula (bonus di tolleranza con Ⓜ). $t_{disp} = t + \text{bonus}, \qquad \text{bonus} = \begin{cases} D_{eff} - D_{MMC} & \text{foro} \\ D_{MMC} - D_{eff} & \text{albero}\end{cases}$ Il bonus non può essere negativo e vale al massimo la tolleranza dimensionale dell'elemento.

Esempio svolto. Un foro $\varnothing 12\,^{+0{,}1}_{\ 0}$ (limiti $12{,}000$ e $12{,}100$ mm) ha tolleranza di posizione Ø0,2 Ⓜ rispetto ad A e B.

MMC del foro: $12{,}000$ mm. Condizione virtuale (perno del calibro): $12{,}000 - 0{,}2 = 11{,}8$ mm.
Se il foro misurato è $12{,}060$ mm: bonus $= 12{,}060 - 12{,}000 = 0{,}06$ mm, tolleranza disponibile $\varnothing 0{,}2 + 0{,}06 = \varnothing 0{,}26$ mm.
Se il centro del foro è spostato di $0{,}09$ mm in $x$ e $0{,}07$ mm in $y$ dalla posizione teorica, lo scostamento radiale è $\sqrt{0{,}09^2 + 0{,}07^2} = 0{,}114$ mm. Per contenere il centro serve una zona di diametro $2 \cdot 0{,}114 = 0{,}228$ mm.
Poiché $0{,}228 \le 0{,}26$ il foro è conforme; senza il bonus ( $0{,}228 > 0{,}2$ ) sarebbe stato scartato.

Grafico interattivo: Zona di posizione di un foro (scala in mm): il centro misurato (0,09; 0,07) è a 0,114 mm dalla posizione teorica, fuori dalla zona Ø0,2 (r = 0,1) ma dentro la zona Ø0,26 (r = 0,13) disponibile con il foro a 12,06 mm e requisito M

Rugosità e stato delle superfici

Definizione (Ra, rugosità media aritmetica). È la media del valore assoluto dell'altezza del profilo: $R_a = \frac{1}{l}\int_0^l |z(x)|\,dx \;\approx\; \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |z_i|$ con $z_i$ le altezze misurate in $n$ punti equidistanti. Si esprime in $\mu\text{m}$ .

Definizione (Rq, rugosità quadratica media). $R_q = \sqrt{\frac{1}{n}\sum z_i^2}$ . Pesa di più i picchi alti; $R_q \ge R_a$ (vale circa $1{,}11\,R_a$ per un profilo sinusoidale).

Definizione (Rp, Rv, Rz). Su una lunghezza di campionamento:

$R_p$ : altezza del picco massimo sopra la linea media;

$R_v$ : profondità della valle massima sotto la linea media;

$R_z = R_p + R_v$ : altezza massima del profilo. Il valore dichiarato è in genere la media di $R_z$ sulle cinque lunghezze di campionamento della lunghezza di valutazione. $R_t$ è la distanza tra picco e valle massimi sull'intera lunghezza di valutazione ( $R_t \ge R_z$ ).

Esempio svolto. Dodici altezze (in $\mu\text{m}$ ) rilevate su un profilo, rispetto a una base arbitraria: $3{,}1;\ 4{,}4;\ 2{,}8;\ 5{,}2;\ 3{,}5;\ 1{,}9;\ 4{,}8;\ 2{,}6;\ 5{,}5;\ 3{,}0;\ 4{,}1;\ 2{,}2$ .

Linea media (media): $\bar z = 43{,}1/12 = 3{,}59\ \mu\text{m}$ . Le altezze rispetto alla linea media sono $z_i = z_i^{misurato} - \bar z$ .
$R_a = \frac{1}{12}\sum|z_i - \bar z| = 1{,}01\ \mu\text{m}$ ; $R_q = 1{,}14\ \mu\text{m}$ .
$R_p = 5{,}5 - 3{,}59 = 1{,}91\ \mu\text{m}$ ; $R_v = 3{,}59 - 1{,}9 = 1{,}69\ \mu\text{m}$ ; $R_z = 3{,}6\ \mu\text{m}$ . Il rapporto $R_z/R_a = 3{,}6$ è un po' minore del solito: il campione ha solo 12 punti e non contiene i picchi estremi.

Grafico interattivo: Profilo di rugosità (scala verticale molto ingrandita rispetto all'orizzontale): la linea media (y = 0) divide il profilo in aree uguali sopra e sotto; Rp è il picco massimo (+2,07), Rv la valle massima (-2,10), Rz = Rp + Rv = 4,17 µm; Ra, media del valore assoluto, vale 0,95 µm

IV. Elementi di disegno di macchine

Collegamenti filettati - filettature, viti, dadi e rappresentazione

Formula (area resistente della vite). $A_s = \frac{\pi}{4}\left(\frac{d_2 + d_3}{2}\right)^2$

Esempio. M10 ( $P = 1{,}5$ mm): $d_2 = 10 - 0{,}6495\cdot1{,}5 = 9{,}026$ mm, $d_3 = 10 - 1{,}2269\cdot1{,}5 = 8{,}160$ mm; il diametro medio è $\frac{9{,}026+8{,}160}{2} = 8{,}593$ mm e $A_s = \frac{\pi}{4}\cdot 8{,}593^2 = 58{,}0\ \text{mm}^2.$

Formula (precarico consigliato). $F_i = 0{,}75\, S_p\, A_s \qquad(\text{collegamento permanente: } 0{,}9\, S_p A_s)$ (per i collegamenti smontabili si usa $0{,}75$ ).

Esempio. M10 classe 8.8: $F_i = 0{,}75\cdot 580\cdot 58{,}0 = 25\,230\ \text{N} = 25{,}2\ \text{kN}$ .

Formula (coppia di serraggio). $M = \underbrace{F\,\frac{d_2}{2}\tan(\alpha + \varphi')}_{\text{filetto}} \;+\; \underbrace{F\,\mu_c\, r_c}_{\text{sotto la testa}}$ con $\mu$ e $\mu_c$ coefficienti d'attrito sul filetto e sotto la testa, $r_c$ raggio medio di contatto della testa. In pratica si usa la regola $M \approx K F d$ , con $K \approx 0{,}2$ per viti asciutte e $0{,}15$ lubrificate.

Esempio svolto (M10 8.8, $F = 25\,230$ N, $\mu = \mu_c = 0{,}15$ , $r_c = 6{,}4$ mm):

$\alpha = \arctan\frac{1{,}5}{\pi\cdot 9{,}026} = 3{,}03^\circ$ ; $\varphi' = \arctan\frac{0{,}15}{0{,}866} = 9{,}83^\circ$ ;
filetto: $25\,230\cdot 4{,}513\cdot\tan 12{,}86^\circ = 25\,977\ \text{N mm} = 26{,}0\ \text{N m}$ ;
testa: $25\,230\cdot0{,}15\cdot 6{,}4 = 24\,221\ \text{N mm} = 24{,}2\ \text{N m}$ ;
totale $M = 50{,}2\ \text{N m}$ ; la regola $0{,}2\,F d = 0{,}2\cdot25\,230\cdot 0{,}010 = 50{,}5\ \text{N m}$ dà un valore molto vicino.

Formula (ripartizione del carico esterno). $C = \frac{k_b}{k_b + k_m}, \qquad F_b = F_i + C\,F_e, \qquad F_m = F_i - (1 - C)\,F_e$ con $F_b$ forza nella vite e $F_m$ compressione residua sulle parti. Le parti si separano quando $F_m = 0$ , cioè per $F_e = \dfrac{F_i}{1 - C}$ .

Collegamenti albero-mozzo - linguette, profili scanalati, spine e anelli elastici

Formula (forza sulla linguetta). $F = \frac{2T}{d}$

Formula (verifica a pressione e a taglio). $p = \frac{F}{\dfrac{h}{2}\, l_{eff}} \le p_{adm}, \qquad \tau = \frac{F}{b\, l_{eff}} \le \tau_{adm}$ Per l'acciaio con carichi moderati si usano come ordine di grandezza $p_{adm} \approx 100$ - $150$ MPa e $\tau_{adm} \approx 60$ - $90$ MPa; la pressione è quasi sempre la verifica che comanda.

Esempio svolto. Albero $d = 40$ mm, $T = 400$ N m. La tabella dà $12\times8$ (tipo A). $F = \frac{2\cdot400\,000\ \text{N mm}}{40\ \text{mm}} = 20\,000$ N. Con $l = 50$ mm, $l_{eff} = 50 - 12 = 38$ mm: $p = \frac{20\,000}{4\cdot 38} = 131{,}6\ \text{MPa}, \qquad \tau = \frac{20\,000}{12\cdot 38} = 43{,}9\ \text{MPa}$ Con $p_{adm} = 120$ MPa la pressione è troppo alta. Serve $l_{eff} \ge \frac{20\,000}{4\cdot120} = 41{,}7$ mm, quindi $l \ge 53{,}7$ mm: si sceglie $l = 56$ mm e si ottiene $p = 113{,}6$ MPa e $\tau = 37{,}9$ MPa, verificate.

Grafico interattivo: Sezione trasversale di un collegamento con linguetta (albero d = 40, linguetta 12 x 8): la linguetta sporge dall'albero verso il mozzo e trasmette la coppia con le sue facce laterali; l'albero ha la cava profonda t1 = 5, il mozzo t2 = 3,3 (il dorso resta a 0,3 mm dal mozzo)

Formula (coppia di un profilo scanalato). $T = \psi\, z\, h\, l\, r_m\, p_{adm}, \qquad r_m = \frac{D + d}{4}, \quad \psi \approx 0{,}75$ con $h$ altezza portante del dente (profondità del dente meno gli smussi), $l$ lunghezza di impegno e $r_m$ raggio medio. È un'estensione della formula della linguetta: ogni dente porta una forza $p\, h\, l$ al raggio $r_m$ .

Esempio svolto. Profilo $6\times21\times25$ , altezza portante $h = 1{,}4$ mm, $l = 30$ mm, $p_{adm} = 100$ MPa. Raggio medio $r_m = \frac{25+21}{4} = 11{,}5$ mm: $T = 0{,}75\cdot 6\cdot 1{,}4\cdot 30\cdot 11{,}5\cdot100 = 217\,350\ \text{N mm} = 217\ \text{N m}.$ Una linguetta $6\times6$ sullo stesso albero ( $d = 21$ mm, $l = 30$ , tipo A, $l_{eff} = 24$ mm, $p_{adm} = 100$ MPa) trasmette: $F_{max} = 100\cdot3\cdot24 = 7200$ N, $T = F_{max}\cdot\frac{d}{2} = 7200\cdot10{,}5 = 75\,600$ N mm $= 75{,}6$ N m. Il profilo scanalato porta $2{,}9$ volte la coppia.

Formula (pressione e coppia del forzamento). $p = \frac{E\,\delta}{2d}\left(1 - \frac{d^2}{D^2}\right), \qquad T = \mu\, p\,\pi d\, l\,\frac{d}{2} = \mu\,p\,\frac{\pi d^2 l}{2}$ La forza d'attrito è $\mu\,p\,(\pi d l)$ applicata al raggio $d/2$ .

Esempio. $\varnothing 40$ H7/s6 (interferenza da $18$ a $59\ \mu\text{m}$ ), mozzo con $D = 80$ mm, $l = 40$ mm, $\mu = 0{,}15$ , $E = 210\,000$ MPa: con $\delta = 18\ \mu\text{m}$ si ha $p = 35{,}4$ MPa e $T = 534$ N m; con $\delta = 59\ \mu\text{m}$ si ha $p = 116$ MPa e $T = 1752$ N m. La dispersione (un fattore tre) deriva dalla tolleranza e dalla rugosità: le creste si schiacciano e riducono l'interferenza efficace (vedi Rugosità e stato delle superfici). Per questo si progetta con l'interferenza minima.

Collegamenti fissi - saldature, chiodature e incollaggi

Formula (cordoni laterali, sollecitazione di taglio). $\tau = \frac{F}{\sum a_i\, l_{eff,i}} \le \tau_{adm}$ dove la somma è estesa a tutti i cordoni che portano la forza. $\tau_{adm}$ dipende dal materiale base e dal metodo (la norma di calcolo dà il valore); negli esercizi è dato.

Esempio svolto. Una piastra tirata da $F = 50$ kN è saldata con due cordoni laterali di altezza di gola $a = 4$ mm e lunghezza $l = 100$ mm. $l_{eff} = 100 - 2\cdot 4 = 92$ mm: $\tau = \frac{50\,000}{2\cdot 4\cdot 92} = 67{,}9\ \text{MPa}.$

Formula (giunto a sovrapposizione, taglio medio). $\tau_m = \frac{F}{b\, l} \le \tau_{adm} = \frac{\tau_u}{\nu}$ con $b$ larghezza, $l$ lunghezza della sovrapposizione, $\tau_u$ resistenza a taglio dell'adesivo, $\nu$ coefficiente di sicurezza (alto, $3$ o più). In realtà la tensione non è uniforme: è massima alle due estremità della sovrapposizione, anche del doppio della media, e allungare troppo la sovrapposizione non porta vantaggi.

Esempio svolto. Resina epossidica con $\tau_u = 20$ MPa e $\nu = 3$ : $\tau_{adm} = 6{,}67$ MPa. Larghezza $b = 25$ mm, forza $F = 4$ kN: $l = \dfrac{F}{b\,\tau_{adm}} = \dfrac{4000}{25\cdot6{,}67} = 24{,}0$ mm.

Organi delle macchine - cuscinetti, ruote dentate, molle e tenute

Formula (vita nominale di un cuscinetto). $L_{10} = \left(\frac{C}{P}\right)^p \ [\text{milioni di giri}], \qquad L_{10h} = \frac{10^6}{60\,n}\left(\frac{C}{P}\right)^p\ [\text{ore}]$ con $P$ carico dinamico equivalente, $n$ velocità in giri/min, $p = 3$ per sfere e $p = 10/3$ per rulli.

Esempio svolto. Cuscinetto $6208$ ( $C = 32{,}5$ kN) con $F_r = 3{,}0$ kN a $n = 1500$ giri/min: $L_{10} = (32{,}5/3{,}0)^3 = 1271$ milioni di giri e $L_{10h} = \dfrac{10^6\cdot1271}{60\cdot1500} = 14\,127$ ore.

Definizione (modulo e passo). $m = \frac{d}{z}, \qquad p = \pi\, m$ con $d$ diametro primitivo, $z$ numero di denti e $p$ passo (distanza fra due denti consecutivi misurata sul cerchio primitivo). Due ruote ingranano solo se hanno lo stesso modulo.

Esempio svolto. Pignone $z_1 = 20$ e ruota $z_2 = 60$ con $m = 3$ mm:

$d_1 = 60$ mm, $d_2 = 180$ mm; $d_{a1} = 3\cdot22 = 66$ mm, $d_{a2} = 186$ mm; $d_{f1} = 3\cdot17{,}5 = 52{,}5$ mm, $d_{f2} = 172{,}5$ mm;
interasse $a = \frac{3\cdot80}{2} = 120$ mm (somma dei raggi primitivi $30 + 90$ ); passo $p = 9{,}42$ mm;
rapporto $i = 60/20 = 3$ : se il pignone gira a $1500$ giri/min, la ruota gira a $500$ giri/min.

Grafico interattivo: Due ruote cilindriche a denti diritti (modulo 3, z1 = 20, z2 = 40): le circonferenze primitive (tratteggiate qui, in linea mista sottile sul disegno vero; raggi 30 e 60) sono tangenti nel punto di contatto; la circonferenza di testa (r + 3) e di piede (r - 3,75) sono in linea continua; l'interasse è la somma dei raggi primitivi, 90 mm

Formula (rigidezza e tensione). $k = \frac{G\, d^4}{8\, D^3\, n_a}, \qquad \tau_{max} = K_W\,\frac{8\,F\,D}{\pi\, d^3}, \qquad K_W = \frac{4C - 1}{4C - 4} + \frac{0{,}615}{C}$ con $G$ modulo di taglio ( $\approx 80\,000$ MPa per gli acciai), $K_W$ fattore di Wahl (tiene conto della curvatura e del taglio diretto).

Esempio svolto. $d = 4$ mm, $D = 32$ mm, $n_a = 8$ , $F = 200$ N, $G = 80\,000$ MPa:

$k = \dfrac{80\,000\cdot 4^4}{8\cdot32^3\cdot8} = 9{,}77\ \text{N/mm}$ ; freccia $f = F/k = 20{,}5$ mm;
$C = 8$ , $K_W = \frac{31}{28} + \frac{0{,}615}{8} = 1{,}184$ ; $\tau_{max} = 1{,}184\cdot\frac{8\cdot200\cdot32}{\pi\cdot 64} = 302$ MPa.