Esercizio - cavaliera di un cilindro e confronto tra assonometrie

1. Cavaliera

La base anteriore sta su un piano parallelo al quadro (il piano frontale $xz$): in cavaliera le facce parallele al quadro si disegnano in vera forma, quindi la base anteriore è un cerchio vero di diametro $40$ mm.

Lo spostamento della base posteriore lungo la fuggente è la lunghezza $L = 40$ mm moltiplicata per il coefficiente $0{,}5$: $20$ mm, inclinata di $45^\circ$. Le componenti sono

$$\Delta u = 20\cos45^\circ = 14{,}14\ \text{mm}, \qquad \Delta v = 20\sin45^\circ = 14{,}14\ \text{mm}$$

Il secondo cerchio (uguale al primo, ancora di diametro $40$ mm) ha quindi il centro $14{,}14$ mm più a destra e $14{,}14$ mm più in alto. Le due basi sono collegate da due tangenti comuni, parallele alla fuggente.

Ingombro: $40 + 14{,}14 = 54{,}14$ mm in larghezza e lo stesso in altezza: $54{,}1 \times 54{,}1$ mm.

2. Isometrica

Le basi sono su piani paralleli al piano $xz$, per i quali l'asse perpendicolare è $y$: in isometrica diventano ellissi con asse minore parallelo a $y$ (cioè inclinato a $30^\circ$ sull'orizzontale) e asse maggiore perpendicolare. In scala $1:1$:

$$a = d\sqrt{\tfrac32} = 40 \cdot 1{,}2247 = 48{,}99\ \text{mm}, \qquad b = \frac{d}{\sqrt2} = \frac{40}{1{,}4142} = 28{,}28\ \text{mm}$$

Spostamento del centro posteriore: $40$ mm lungo $y$, che è inclinato di $30^\circ$ verso sinistra in alto:

$$\Delta u = -40\cos30^\circ = -34{,}64\ \text{mm}, \qquad \Delta v = 40\sin30^\circ = 20{,}00\ \text{mm}$$

L'ingombro (campionando le due ellissi) è $69{,}3 \times 64{,}7$ mm, maggiore di quello della cavaliera.

3. Dimetrica ISO

Coefficiente $0{,}5$ sulla profondità, quindi lunghezza disegnata $20$ mm, inclinata di $41{,}4^\circ$:

$$\Delta u = -20\cos41{,}4^\circ = -15{,}00\ \text{mm}, \qquad \Delta v = 20\sin41{,}4^\circ = 13{,}23\ \text{mm}$$

Anche le basi sono ellissi, di forma diversa da quelle isometriche.

4. Errore: profondità non dimezzata

Con coefficiente $1$ invece di $0{,}5$ lo spostamento sarebbe $40\cos45^\circ = 28{,}28$ mm in ciascuna direzione (invece di $14{,}14$): il cilindro apparirebbe molto più lungo di quello che è, con ingombro $40 + 28{,}28 = 68{,}28$ mm. È il motivo per cui si dimezza: la fuggente a lunghezza piena, vista di scorcio, dà l'impressione di profondità doppia.

import math
d = L = 40
cav = (L * 0.5 * math.cos(math.radians(45)), L * 0.5 * math.sin(math.radians(45)))
iso = (-L * math.cos(math.radians(30)), L * math.sin(math.radians(30)))
dim = (-L * 0.5 * math.cos(math.radians(41.4)), L * 0.5 * math.sin(math.radians(41.4)))
print([round(q, 2) for q in cav], [round(q, 2) for q in iso], [round(q, 2) for q in dim])
print("ellisse isometrica:", round(d * math.sqrt(1.5), 2), round(d / math.sqrt(2), 2), " ingombro cavaliera:", round(d + cav[0], 2))

L'uscita è [14.14, 14.14] [-34.64, 20.0] [-15.0, 13.23] e ellisse isometrica: 48.99 28.28 ingombro cavaliera: 54.14.

5. Quando usare quale

• Cavaliera: per pezzi con facce circolari o complesse parallele a un piano (una flangia, un disco, un profilo estruso): quella faccia si disegna in vera forma, come in una vista normale, e la profondità si aggiunge con le fuggenti. È la più rapida a mano.
• Isometrica (o dimetrica): per pezzi con forme circolari in più piani (cubi forati, supporti con fori in diverse direzioni), perché le tre direzioni hanno lo stesso peso e l'immagine è più naturale.

Risultati

Errori comuni

• Disegnare la base anteriore come ellisse nella cavaliera: è un cerchio vero.
• Dimenticare di dimezzare la profondità nella cavaliera.
• Usare gli stessi angoli per cavaliera ($45^\circ$) e isometrica ($30^\circ$).
• Tracciare le tangenti non parallele alla fuggente.