Esercizio - gradi di libertà e accoppiamenti di un assieme albero-cuscinetto

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Testo. Si vuole assemblare nel CAD un gruppo formato da un supporto (con alesaggio e spallamento), un cuscinetto radiale rigido a sfere 6208 ( $40\times80\times18$ ), un albero con spallamento e una linguetta $12\times8\times56$ alloggiata in una cava dell'albero. Il supporto è il primo componente inserito.

a) Con quale accoppiamento si vincola il supporto? Quanti gradi di libertà (DOF) rimangono?

b) Si scrivano gli accoppiamenti per il cuscinetto e per l'albero e si conti, a ogni passo, quanti DOF rimangono. Quanti restano alla fine? È giusto?

c) La linguetta: quali accoppiamenti la vincolano alla cava e quanti DOF tolgono?

d) Cosa succede se si aggiunge un accoppiamento concentrico direttamente tra albero e alesaggio del supporto? E se si aggiunge una coincidenza tra due piani già resi coincidenti?

e) Si compili la distinta base del gruppo e si dica cosa si fa con le viti di fissaggio del coperchio che non sono state modellate.

Teoria: Modellazione solida parametrica - schizzi, feature, assiemi e messa in tavola; i componenti: Organi delle macchine - cuscinetti, ruote dentate, molle e tenute, Collegamenti albero-mozzo - linguette, profili scanalati, spine e anelli elastici.

a) Supporto

Il primo componente è fissato all'origine dell'assieme (opzione Fissa): ha $0$ DOF. Non servono accoppiamenti per esso. Tutti gli altri componenti si vincolano, direttamente o no, al supporto.

b) Cuscinetto e albero

Un componente libero ha $6$ DOF ( $3$ traslazioni, $3$ rotazioni).

Cuscinetto.

Concentrico tra la superficie cilindrica esterna del cuscinetto e l'alesaggio del supporto: toglie $4$ DOF (due traslazioni perpendicolari all'asse e due rotazioni attorno agli assi perpendicolari). Restano $6 - 4 = 2$ : traslazione lungo l'asse e rotazione attorno all'asse.
Coincidente tra la faccia del cuscinetto e lo spallamento del supporto: toglie la traslazione assiale (le due rotazioni erano già bloccate). Restano $2 - 1 = 1$ : rotazione attorno all'asse.

Albero.

Concentrico tra la superficie cilindrica dell'albero e l'alesaggio dell'anello interno del cuscinetto: $6 - 4 = 2$ .
Coincidente tra lo spallamento dell'albero e la faccia dell'anello interno: $2 - 1 = 1$ (rotazione).

Alla fine l'assieme ha $2$ DOF: la rotazione del cuscinetto (modellato come un unico corpo rigido) e la rotazione dell'albero attorno allo stesso asse. È corretto: l'albero deve poter ruotare nel supporto, quindi l'assieme è giustamente sotto-definito. Se si vuole una posizione ferma (per esempio per la messa in tavola), si può aggiungere un accoppiamento di angolo, oppure si lascia com'è, perché la rotazione non cambia le viste.

c) Linguetta

La linguetta è un parallelepipedo libero, $6$ DOF. Si vincola alla cava dell'albero con:

Coincidente tra la faccia inferiore della linguetta e il fondo della cava: piano su piano, toglie $3$ DOF (una traslazione e due rotazioni). Restano $3$ : due traslazioni nel piano e rotazione attorno alla normale al fondo.
Coincidente tra una faccia laterale della linguetta e la parete laterale della cava: toglie $2$ DOF (traslazione perpendicolare alla parete e rotazione attorno alla normale al fondo). Resta $1$ : traslazione lungo l'asse dell'albero.
Distanza (o coincidente) tra la testa della linguetta e l'estremità della cava: toglie l'ultima traslazione. Resta $0$ DOF relativi all'albero: la linguetta è solidale all'albero e ruota con esso.

Totale: $3 + 2 + 1 = 6$ DOF tolti, nessuna ridondanza.

d) Accoppiamenti ridondanti

Concentrico albero–supporto in aggiunta: l'asse dell'albero è già allineato con l'asse del supporto tramite il cuscinetto (concentrico albero–cuscinetto e cuscinetto–supporto). Il nuovo accoppiamento toglie $4$ DOF che sono già nulli: è ridondante. Se i diametri nominali non sono perfettamente coassiali (per esempio per un errore di modello) l'accoppiamento diventa anche in conflitto e l'assieme risulta sovra-definito (errore rosso).
Seconda coincidenza tra piani già coincidenti: toglie DOF già tolti, quindi ridondante; in genere il programma lo accetta se è coerente ma peggiora la robustezza, perché a ogni ricalcolo i vincoli possono entrare in conflitto. Regola: ogni DOF si toglie una sola volta.

e) Distinta base

pos.	descrizione	q.tà	riferimento
1	Supporto	1	disegno proprio
2	Cuscinetto a sfere 6208	1	$40\times80\times18$
3	Albero	1	disegno proprio
4	Linguetta A $12\times8\times56$	1	ISO 773

I componenti normalizzati (cuscinetto, linguetta, viti) si prendono dalla libreria (Toolbox) e si numerano con un palloncino sul disegno. Le viti di fissaggio del coperchio non modellate si inseriscono dalla libreria con il foro filettato (Hole Wizard sul supporto) e si accoppiano con coincidenza e concentricità: si mettono nella distinta come "Vite M8×25 ISO 4762" con la quantità; si può usare una matrice di componenti per inserirne più di una.

Risultati

Supporto: fisso, $0$ DOF.
Cuscinetto: concentrico ( $6 \to 2$ ) + coincidente ( $\to 1$ ). Albero: concentrico ( $\to 2$ ) + coincidente ( $\to 1$ ). Restano giustamente le rotazioni.
Linguetta: $3 + 2 + 1 = 6$ DOF tolti, $0$ relativi all'albero.
Un secondo concentrico albero–supporto è ridondante e può dare un errore di conflitto.

Errori comuni

Contare $3$ DOF per il concentrico: toglie $4$ (due traslazioni e due rotazioni).
Ritenere "errata" la rotazione residua dell'albero.
Aggiungere accoppiamenti "per sicurezza": producono ridondanza.
Non inserire i componenti normalizzati nella distinta.

Versione ripasso

Testo. Supporto, cuscinetto 6208, albero con spallamento e linguetta $12\times8\times56$ . Si conta il numero di DOF rimasti dopo ogni accoppiamento, si discutono ridondanze e distinta base.

Teoria: Modellazione solida parametrica - schizzi, feature, assiemi e messa in tavola.

Soluzione

Supporto: primo componente, fisso, $0$ DOF.
Cuscinetto: concentrico con l'alesaggio ( $6 - 4 = 2$ ), coincidente con lo spallamento ( $2 - 1 = 1$ , resta la rotazione). Albero: concentrico con l'anello interno ( $\to 2$ ), coincidente con lo spallamento ( $\to 1$ ). L'albero deve poter ruotare: la rotazione residua è giusta.
Linguetta: piano su piano nella cava ( $-3$ ), faccia laterale ( $-2$ ), testata ( $-1$ ): $6$ DOF tolti, linguetta solidale all'albero.
Un concentrico albero–supporto aggiunto è ridondante: toglie $4$ DOF già tolti e può dare conflitto. Ogni DOF si toglie una sola volta.
Distinta: supporto, cuscinetto 6208 ( $40\times80\times18$ ), albero, linguetta A $12\times8\times56$ (ISO 773) con palloncini; viti e cuscinetti dalla libreria (Toolbox), viti del coperchio con Hole Wizard e quantità in distinta.
Conteggio: concentrico toglie $4$ DOF (due traslazioni e due rotazioni perpendicolari all'asse), coincidente su facce piane fino a $3$ , ma cumulativi: dopo il concentrico la coincidenza assiale toglie solo $1$ . Rotazione residua dell'albero: voluta, non un errore.
Seconda coincidenza su piani già coincidenti: ridondante, può rendere l'assieme sovra-definito in conflitto.

Errori tipici: concentrico contato $3$ ; rotazione residua giudicata errore; accoppiamenti ridondanti; distinta incompleta.