Esercizio - coordinate isometriche e ellissi di una staffa

1. Coordinate dei vertici

Con $x$ e $y$ inclinati di $30^\circ$ sull'orizzontale (verso destra e verso sinistra) e $z$ verticale, il punto $(x, y, z)$ ha coordinate

$$u = (x - y)\cos30^\circ = 0{,}8660\,(x - y), \qquad v = z + (x + y)\sin30^\circ = z + 0{,}5\,(x + y)$$

Il perché di queste formule: spostarsi di $x$ lungo l'asse $x$ muove il punto di $x\cos30^\circ$ a destra e di $x\sin30^\circ$ in alto; spostarsi di $y$ lungo $y$ lo muove di $y\cos30^\circ$ a sinistra (da cui il segno meno in $u$) e di $y\sin30^\circ$ in alto; spostarsi di $z$ lo muove solo in verticale.

Controllo: $A$ e $B$ distano $\sqrt{51{,}96^2 + 30^2} = 60$ mm, cioè la lunghezza vera: in scala $1:1$ le lunghezze lungo gli assi sono vere.

2. Ingombro

Tra tutti i vertici della staffa, il valore minimo di $u$ è $-34{,}64$ (punti con $x = 0$, $y = 40$) e il massimo è $51{,}96$ (punti con $x = 60$, $y = 0$); il minimo di $v$ è $0$ (in $A$) e il massimo $70$ (in $G$). Ingombro:

$$\text{larghezza} = 51{,}96 + 34{,}64 = 86{,}6\ \text{mm}, \qquad \text{altezza} = 70{,}0\ \text{mm}$$

• scala $1:1$: $86{,}6 \times 70$ mm: entra in $267 \times 190$ mm;
• scala $2:1$: $173{,}2 \times 140$ mm: entra ancora (con spazio per l'eventuale distinta).

3. Ellisse del foro

Centro: $(x, y, z) = (40, 20, 10)$, quindi

$$u = 0{,}866\,(40 - 20) = 17{,}32\ \text{mm}, \qquad v = 10 + 0{,}5\,(60) = 40{,}00\ \text{mm}$$

Il cerchio sta su un piano orizzontale: in scala $1:1$ l'ellisse ha asse maggiore e minore

$$a = d\sqrt{\tfrac32} = 14 \cdot 1{,}2247 = 17{,}15\ \text{mm} \quad (\text{orizzontale}), \qquad b = \frac{d}{\sqrt2} = \frac{14}{1{,}4142} = 9{,}90\ \text{mm} \quad (\text{verticale})$$

Il loro rapporto è $b/a = 0{,}577 = 1/\sqrt3$, come previsto per qualunque ellisse isometrica.

4. Con la riduzione vera

Il coefficiente è $k = \sqrt{2/3} = 0{,}8165$, e tutte le lunghezze si moltiplicano per $k$.

• Ingombro: $86{,}6 \cdot 0{,}8165 = 70{,}7$ mm per $70 \cdot 0{,}8165 = 57{,}2$ mm.
• Ellisse: $a = 17{,}15 \cdot 0{,}8165 = 14{,}0$ mm $= d$ e $b = 9{,}90 \cdot 0{,}8165 = 8{,}08$ mm $= d/\sqrt3$.
• Spigolo da $60$ mm lungo $x$: $60 \cdot 0{,}8165 = 49{,}0$ mm.

Il disegno in scala $1:1$ è semplicemente ingrandito di $1/k = 1{,}2247$ rispetto a quello ridotto.

5. Direzione dell'asse minore

Il cerchio sul piano orizzontale ha come direzione perpendicolare l'asse verticale $z$. L'asse minore dell'ellisse è sempre parallelo all'asse perpendicolare al piano del cerchio: qui $z$, quindi verticale. Per un foro sulla faccia anteriore ($y = 0$, piano $xz$) l'asse perpendicolare è $y$, inclinato di $30^\circ$ sull'orizzontale verso sinistra in alto: l'ellisse è identica ma con l'asse minore inclinato di $30^\circ$ (e il maggiore perpendicolare a esso).

import math
c, s = math.cos(math.radians(30)), math.sin(math.radians(30))
iso = lambda x, y, z: ((x - y) * c, z + (x + y) * s)
pts = [(0,0,0), (60,0,0), (60,0,10), (60,40,10), (0,40,0), (0,40,40), (20,40,40)]
print([tuple(round(q, 2) for q in iso(*p)) for p in pts])
print(round(14 * math.sqrt(1.5), 2), round(14 / math.sqrt(2), 2), tuple(round(q, 2) for q in iso(40, 20, 10)))

Risultati

Errori comuni

• Usare $45^\circ$ al posto di $30^\circ$ per gli assi $x$ e $y$.
• Dimenticare il segno meno nella coordinata $u$ dei punti con $y > x$.
• Disegnare il foro come cerchio: sulla faccia superiore è un'ellisse con asse minore verticale.
• Mescolare scala $1:1$ sugli assi (ingrandimento $1{,}225$) e riduzione vera $0{,}816$.