Esercizio - spina trasversale di sicurezza e scelta del collegamento albero-mozzo

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a) Coppia massima e pressione

La spina attraversa albero e mozzo perpendicolarmente all'asse: le due sezioni di taglio sono le due interfacce albero-mozzo (una a ciascun lato dell'albero). Ciascuna trasmette una forza $F$ e le due forze formano una coppia con braccio $d$ (la distanza tra le due sezioni): $$T = F\,d \quad\Rightarrow\quad F = \frac{T}{d}$$ La tensione tangenziale in ciascuna sezione di area $\frac{\pi d_p^2}{4}$ è $\tau = \dfrac{F}{\pi d_p^2/4}$, quindi $$T_{max} = \tau_{adm}\,\frac{\pi\,d\,d_p^2}{4} = 80\cdot\frac{\pi\cdot 20\cdot 5^2}{4} = 31\,416\ \text{N mm} = 31{,}4\ \text{N m}$$ La forza corrispondente è $F = T/d = 31\,416/20 = 1571$ N. Pressione sul foro del mozzo (area proiettata $d_p\,t$): $$p = \frac{F}{d_p\,t} = \frac{1571}{5\cdot 10} = 31{,}4\ \text{MPa}$$ valore basso (le pressioni ammissibili sono dell'ordine di $100$ MPa): comanda il taglio.

b) Spina di sicurezza

Si cerca il diametro per cui $\tau_u$ è raggiunta a $T_{rott} = 40$ N m $= 40\,000$ N mm: $$d_p = \sqrt{\frac{4\,T_{rott}}{\pi\,d\,\tau_u}} = \sqrt{\frac{4\cdot40\,000}{\pi\cdot20\cdot400}} = \sqrt{6{,}366} = 2{,}52\ \text{mm}$$ Il diametro normalizzato più vicino è $d_p = 2{,}5$ mm. La coppia effettiva di rottura è $$T_{rott} = \tau_u\,\frac{\pi\,d\,d_p^2}{4} = 400\cdot\frac{\pi\cdot20\cdot2{,}5^2}{4} = 39\,270\ \text{N mm} = 39{,}3\ \text{N m}$$ Con $\tau_u$ tra $360$ e $440$ MPa ($\pm10\%$): $T_{rott}$ varia tra $35{,}3$ e $43{,}2$ N m. La dispersione della resistenza è quindi la stessa della coppia di intervento: una spina di sicurezza è un limitatore approssimativo, adatto a proteggere l'organo da sovraccarichi molto maggiori del normale (per esempio il doppio), non a tarare con precisione.

c) Scelta del collegamento

1. Ruota dentata, $400$ N m, smontabile: linguetta parallela (ISO 773) con tolleranza forzata P9 se ci sono inversioni; per coppie più alte o in serie, profilo scanalato. Il forzamento non è smontabile senza riscaldare il mozzo.
2. Manicotto scorrevole sotto coppia: profilo scanalato a fianchi paralleli o a evolvente (centraggio e scorrimento assiale; una linguetta scorrevole ha poca portata e si consuma).
3. Cuscinetto, carico assiale $200$ N: anello elastico di arresto in gola: il carico assiale è piccolo; per carichi maggiori una ghiera con rosetta.
4. Disco di freno, posizionamento ripetibile: spine (cilindriche o coniche, ISO 2338 e ISO 2339) come spine di riferimento, fori alesati insieme; il serraggio con viti. La spina conica è la più indicata perché si rimonta ogni volta nella stessa posizione.

d) Spina a due sezioni e dimensionamento

Sotto coppia il mozzo preme sulla spina in due punti, uno per parte rispetto all'albero, con due forze $F$ uguali e opposte (da un lato in un verso, dall'altro nel verso contrario: è una coppia di forze). L'albero reagisce con forze distribuite sul tratto di spina che lo attraversa, opposte a quelle del mozzo su ciascuna metà. Il materiale della spina è quindi tagliato nelle due sezioni che coincidono con le interfacce albero-mozzo, ciascuna con la forza $F$ e area $\pi d_p^2/4$. La coppia vale $F d$, perché le due forze $F$ sono separate dalla distanza $d$ (il diametro dell'albero), e non $2F\,d/2$ con una sola sezione.

Una spina di sicurezza fa da fusibile meccanico: se fosse dimensionata per il carico normale (con coefficiente di sicurezza e senza limite superiore) sarebbe troppo robusta e non romperebbe prima dell'organo da proteggere. Deve avere la coppia di rottura maggiore di quella di esercizio (con margine per urti e dispersione) e minore di quella che danneggia gli altri organi.

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Risultati

• a) $T_{max} = \mathbf{31{,}4\ N\,m}$; $F = 1571$ N; $p = 31{,}4$ MPa.
• b) $d_p = \mathbf{2{,}5\ mm}$; $T_{rott} = 39{,}3$ N m, tra $35{,}3$ e $43{,}2$ N m.
• c) Ruota: linguetta (o scanalato); manicotto: scanalato; cuscinetto: anello elastico; disco di freno: spine.

Errori comuni

• Contare una sola sezione: la spina trasversale lavora a due sezioni e la forza è $T/d$ per sezione.
• Usare $\tau_{adm}$ per una spina di sicurezza: serve la resistenza a rottura.
• Usare un anello elastico per carichi assiali pesanti: la gola è un intaglio e l'anello ha poca portata.