Esercizio 133composizione di rotazioni e cambio di riferimento

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1. Le due matrici

La rotazione di $90^\circ$ attorno a $x$ lascia fisso $e_1$ e manda $e_2 \mapsto e_3$, $e_3 \mapsto -e_2$ (guardando da $x$ positivo, $y$ va in $z$). Le colonne sono le immagini dei versori: $$R_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad R_z = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ($R_z$: $e_1 \mapsto e_2$, $e_2 \mapsto -e_1$, $e_3$ fisso). Entrambe hanno colonne ortonormali (sono permutazioni di versori, con un segno), quindi sono ortogonali, e $\det R_x = 1 \cdot (0\cdot0 - (-1)\cdot1) = 1$, $\det R_z = 1$: sono rotazioni. In ciascuna il blocco $2 \times 2$ sul piano ortogonale all'asse è $R_\theta$ con $\theta = \frac\pi2$, cioè $\cos\theta = 0$ e $\sin\theta = 1$.

2. I prodotti

$$P = R_zR_x = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},$$ $$R_xR_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .$$ (Il prodotto $AB$ si legge "prima $B$, poi $A$": $R_zR_x$ applica prima $R_x$.) Le due matrici sono diverse: le rotazioni nello spazio non commutano. Si vede anche sul versore $e_2$: con $R_zR_x$ si ha $R_x e_2 = e_3$ e poi $R_z e_3 = e_3$, quindi $e_2 \mapsto e_3$; con $R_xR_z$ si ha $R_z e_2 = -e_1$ e poi $R_x(-e_1) = -e_1$, quindi $e_2 \mapsto -e_1$. L'ordine delle rotazioni dell'albero conta. (Nel piano invece le rotazioni attorno allo stesso asse commutano.)

3. Natura di $P$

$P$ è prodotto di rotazioni, quindi ortogonale con $\det P = 1$: una rotazione. Le sue colonne dicono che $P$ permuta ciclicamente i versori: $e_1 \mapsto e_2 \mapsto e_3 \mapsto e_1$.

• Asse. $\operatorname{Ker}(P - I)$: da $P(x, y, z) = (z, x, y) = (x, y, z)$ segue $x = y = z$. L'asse è $\langle(1, 1, 1)\rangle$ (la diagonale del cubo).
• Angolo. $\operatorname{tr} P = 0 = 1 + 2\cos\theta$, quindi $\cos\theta = -\frac12$ e $\theta = \pm120^\circ$.
• Verso. Con $u = (1, 1, 1)$, $w = (1, -1, 0)$ (ortogonale a $u$) e $Pw = (0, 1, -1)$: $w \times Pw = \left((-1)(-1) - 0\cdot1,\ 0\cdot0 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot1 - (-1)\cdot0\right) = (1, 1, 1)$ e $u \cdot (w \times Pw) = 3 > 0$: antioraria. Quindi $P$ è la rotazione di $+120^\circ$ attorno a $(1, 1, 1)$.

Coerenza: tre rotazioni di $120^\circ$ fanno un giro completo, cioè $P^3 = I$ (e infatti ciclicamente $e_1 \mapsto e_2 \mapsto e_3 \mapsto e_1$ in tre passi).

Per confronto, $R_xR_z$ ha ancora traccia $0$ e determinante $1$: è una rotazione di $120^\circ$, ma l'asse è un altro, $\operatorname{Ker}(R_xR_z - I) = \langle(1, -1, 1)\rangle$ (da $(-y,\ -z,\ x) = (x, y, z)$ segue $y = -x$ e $z = x$, cioè $(x, y, z) = x\,(1, -1, 1)$). Le due composizioni sono rotazioni dello stesso angolo attorno ad assi diversi.

4. Componenti nel riferimento ruotato

I versori del nuovo riferimento sono $e_1' = Pe_1 = e_2$, $e_2' = Pe_2 = e_3$, $e_3' = Pe_3 = e_1$ (colonne di $P$). Poiché sono ortonormali, le componenti di $v$ sono i prodotti scalari con essi: $$v' = (v\cdot e_1',\ v\cdot e_2',\ v\cdot e_3') = (v\cdot e_2,\ v\cdot e_3,\ v\cdot e_1) = (2, 3, 1),$$ cioè $v' = P^Tv = \begin{pmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = (2, 3, 1)$. Controllo: $\|v'\|^2 = 4 + 9 + 1 = 14 = \|v\|^2$: il modulo non dipende dal riferimento.

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Errori comuni

• Leggere $R_zR_x$ da sinistra a destra ("prima $R_z$"): si applica prima la matrice a destra, che è quella adiacente al vettore.
• Credere che le rotazioni nello spazio commutino.
• Per le componenti nel riferimento ruotato usare $Pv$ invece di $P^Tv = P^{-1}v$.