Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale

Prerequisiti: CampiUn campo è un insieme di numeri con somma e prodotto che rispettano le regole usuali (associativa, commutativa, neutri, opposti, inversi, distributiva): è ciò che serve per risolvere le equazioni di primo grado. Esempi: Q, R, C e i campi finiti.Campi →; trigonometria delle superiori (seno, coseno, angoli in radianti). Si usano nel corso per gli autovalori complessi (Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →, DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione →) e per le equazioni di grado $\ge 2$ con discriminante negativo. Esercizi svolti: Esercizio 120 · operazioni, coniugato, modulo e quoziente di numeri complessi, Esercizio 121 · forma trigonometrica ed esponenziale e formula di De Moivre, Esercizio 122 · radici n-esime e equazioni zⁿ = w, Esercizio 123 · equazioni nei complessi, coniugati e oscillatore smorzato.

Perché servono

L'equazione $x^2 + 1 = 0$ non ha soluzioni reali: un quadrato reale è sempre $\ge 0$. Si inventa allora un numero $i$ con $i^2 = -1$, e si chiede che con $i$ valgano ancora tutte le regole di un campoUn campo è un insieme di numeri con somma e prodotto che rispettano le regole usuali (associativa, commutativa, neutri, opposti, inversi, distributiva): è ciò che serve per risolvere le equazioni di primo grado. Esempi: Q, R, C e i campi finiti.Campi → (somma, prodotto, opposto, inverso). Il campo che ne esce si chiama $\mathbb{C}$. Non è un artificio inutile: in ingegneria meccanica compaiono ovunque nelle equazioni delle vibrazioni (un'oscillazione smorzata ha esponenti complessi), e in algebra lineare un autovalore può essere complesso anche se la matrice è reale.

Forma algebrica

Definizione. Un numero complesso è un'espressione $z = a + ib$ con $a, b \in \mathbb{R}$. Si chiamano $a = \operatorname{Re}(z)$ la parte reale e $b = \operatorname{Im}(z)$ la parte immaginaria (un numero reale, non "$ib$"). Due complessi sono uguali se e solo se hanno uguali parte reale e parte immaginaria. I numeri reali sono i complessi con $b = 0$.

Esempio. $z = 2 - 3i$ ha $\operatorname{Re}(z) = 2$ e $\operatorname{Im}(z) = -3$.

Somma e prodotto. Si calcola come con i polinomi nella lettera $i$, sostituendo alla fine $i^2 = -1$. Per $z = 2 - 3i$ e $w = 1 + i$:

$$z + w = (2 + 1) + (-3 + 1)\,i = 3 - 2i,$$ $$z \cdot w = (2 - 3i)(1 + i) = 2 + 2i - 3i - 3i^2 = 2 - i + 3 = 5 - i .$$

(Il termine $-3i \cdot i = -3i^2 = +3$ perché $i^2 = -1$: da qui il segno.) In generale $(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$.

Potenze di $i$. Si ripetono con periodo $4$: $i^0 = 1$, $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, e così via. Per calcolare $i^n$ si sostituisce $n$ con il resto della divisione per $4$: $i^{27} = i^3 = -i$ perché $27 = 4 \cdot 6 + 3$.

Coniugato e modulo

Definizione. Il coniugato di $z = a + ib$ è $\bar z = a - ib$ (si cambia segno alla parte immaginaria). Il modulo è $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, un numero reale $\ge 0$.

Per $z = 2 - 3i$: $\bar z = 2 + 3i$ e $|z| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

La prima proprietà si verifica subito: $(a + ib)(a - ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2$ (prodotto notevole, con $i^2 = -1$). Serve per dividere.

Quoziente. Per $w \ne 0$, si moltiplicano numeratore e denominatore per $\bar w$, così il denominatore diventa il numero reale $|w|^2$:

$$\frac{z}{w} = \frac{z\,\bar w}{w\,\bar w} = \frac{z\,\bar w}{|w|^2}, \qquad \frac{1}{w} = \frac{\bar w}{|w|^2} .$$

Con $z = 2 - 3i$ e $w = 1 + i$ (quindi $\bar w = 1 - i$, $|w|^2 = 2$): $\dfrac{z}{w} = \dfrac{(2 - 3i)(1 - i)}{2} = \dfrac{2 - 2i - 3i + 3i^2}{2} = \dfrac{-1 - 5i}{2} = -\dfrac12 - \dfrac52\, i$. Controllo: $w \cdot \frac zw = (1 + i)\left(-\frac12 - \frac52 i\right) = -\frac12 - \frac52 i - \frac12 i - \frac52 i^2 = -\frac12 + \frac52 - 3i = 2 - 3i$ ✓.

Il piano complesso

Il numero $z = a + ib$ si disegna come il punto $(a, b)$ del piano (piano di Argand-Gauss): asse orizzontale per la parte reale, verticale per la parte immaginaria. La somma è la somma di vettori (regola del parallelogramma), il coniugato è il simmetrico rispetto all'asse reale, il modulo è la distanza dall'origine, e $|z - w|$ è la distanza tra i punti $z$ e $w$. Da qui la disuguaglianza triangolare: in un triangolo un lato non supera la somma degli altri due.

Forma trigonometrica

Un punto del piano si individua anche con la distanza dall'origine e l'angolo con il semiasse reale positivo (coordinate polari). Per $z = a + ib \ne 0$:

$$z = r(\cos\theta + i \sin\theta), \qquad r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta .$$ L'angolo $\theta$ è l'argomento di $z$, definito a meno di multipli di $2\pi$; l'argomento principale è quello in $(-\pi, \pi]$. Per $z = 0$ l'argomento non è definito.

Come si trova $\theta$. Si cerca l'angolo con $\cos\theta = \frac ar$ e $\sin\theta = \frac br$ entrambi. Non basta la formula $\theta = \arctan\frac ba$: la funzione $\arctan$ restituisce solo angoli in $\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$, cioè nei quadranti con $a > 0$, e per $a < 0$ sbaglia di $\pi$. Si disegna sempre il punto per vedere il quadrante.

Esempio 1. $z = -1 + i\sqrt3$. Il modulo è $r = \sqrt{1 + 3} = 2$; $\cos\theta = -\frac12$ e $\sin\theta = \frac{\sqrt3}{2}$ danno $\theta = \frac{2\pi}{3}$ (secondo quadrante). Quindi $z = 2\left(\cos\frac{2\pi}3 + i \sin\frac{2\pi}3\right)$. (Con l'arcotangente: $\arctan\frac{\sqrt3}{-1} = -\frac\pi3$, che è sbagliato: manca $\pi$ perché $a < 0$.)

Esempio 2. $z = -2 - 2i$. Qui $r = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt2$, $\cos\theta = \sin\theta = -\frac{\sqrt2}{2}$, terzo quadrante: $\theta = -\frac{3\pi}4$ (oppure $\frac{5\pi}4$). L'arcotangente darebbe $\arctan 1 = \frac\pi4$, che è il punto opposto.

Prodotto e quoziente in forma trigonometrica

Se $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ e $w = s(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, allora

$$z w = rs\,[(\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + i(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi)] = rs\,[\cos(\theta + \varphi) + i\sin(\theta + \varphi)],$$

per le formule di addizione di seno e coseno. In parole: nel prodotto i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano; nel quoziente i moduli si dividono e gli argomenti si sottraggono. Moltiplicare per $w$ equivale a una rotazione di angolo $\varphi$ seguita da un ingrandimento di fattore $s$. Esempio: moltiplicare per $i = 1\cdot(\cos\frac\pi2 + i\sin\frac\pi2)$ ruota di $90$ gradi (di $\frac\pi2$) senza cambiare la lunghezza: $1 \mapsto i \mapsto -1 \mapsto -i \mapsto 1$.

Forma esponenziale

Si pone, per ogni $\theta \in \mathbb{R}$,

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \qquad \text{(formula di Eulero)},$$

e ogni complesso non nullo si scrive $z = r e^{i\theta}$. Per ora è una notazione, ma è scelta bene: il prodotto e il quoziente si leggono come per le potenze, $e^{i\theta} e^{i\varphi} = e^{i(\theta + \varphi)}$ (è esattamente la regola di addizione degli angoli), e $\overline{r e^{i\theta}} = r e^{-i\theta}$.

Casi da ricordare: $e^{i0} = 1$, $e^{i\pi/2} = i$, $e^{i\pi} = -1$, $e^{i3\pi/2} = -i$, $e^{2\pi i} = 1$. L'ultima è nota come identità $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Le tre forme si convertono tra loro:

Potenze: la formula di De Moivre

Elevare alla $n$-esima, con $n$ intero, vuol dire moltiplicare $n$ volte: i moduli si moltiplicano $n$ volte (danno $r^n$) e gli argomenti si sommano $n$ volte (danno $n\theta$).

Formula di De Moivre. $\;\big[r(\cos\theta + i\sin\theta)\big]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$, cioè $\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}$.

È molto più comoda dello sviluppo del binomio quando $n$ è grande.

Esempio 1. $(1 + i)^8$. Da $1 + i = \sqrt2\left(\cos\frac\pi4 + i\sin\frac\pi4\right)$: $(1 + i)^8 = (\sqrt2)^8\left(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\right) = 16$. Controllo: $(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$, $(2i)^2 = -4$, $(-4)^2 = 16$ ✓.

Esempio 2. $(\sqrt3 - i)^5$. Qui $r = \sqrt{3 + 1} = 2$, $\cos\theta = \frac{\sqrt3}2$, $\sin\theta = -\frac12$, quindi $\theta = -\frac\pi6$. Allora $$(\sqrt3 - i)^5 = 2^5\left(\cos\left(-\tfrac{5\pi}6\right) + i\sin\left(-\tfrac{5\pi}6\right)\right) = 32\left(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12\, i\right) = -16\sqrt3 - 16i .$$

Esempio 3. $\left(1 + i\sqrt3\right)^9$: $r = 2$, $\theta = \frac\pi3$, $2^9\left(\cos 3\pi + i\sin 3\pi\right) = 512 \cdot (-1) = -512$.

Potenze negative. $z^{-n} = r^{-n}e^{-in\theta}$: con $|z| = 1$ è il coniugato di $z^n$.

Radici n-esime

Dato $w = s\, e^{i\varphi} \ne 0$ e $n \ge 1$ intero, si cercano i $z$ con $z^n = w$. Scrivendo $z = r e^{i\theta}$ e usando De Moivre, $r^n e^{in\theta} = s e^{i\varphi}$: due complessi sono uguali se hanno lo stesso modulo e argomenti che differiscono per un multiplo di $2\pi$. Quindi $r^n = s$ e $n\theta = \varphi + 2k\pi$.

Radici n-esime. L'equazione $z^n = s e^{i\varphi}$ ha esattamente $n$ soluzioni $$z_k = \sqrt[n]{s}\; e^{i\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .$$ Hanno tutte modulo $\sqrt[n]{s}$ e argomenti distanti $\frac{2\pi}{n}$: sono i vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto nella circonferenza di raggio $\sqrt[n]{s}$. Per $k = n$ si ritrova $z_0$ (l'angolo aumenta di $2\pi$), quindi non ce ne sono altre.

Il simbolo $\sqrt[n]{s}$ è la radice reale positiva del modulo; non c'è "la" radice $n$-esima di un complesso, ce ne sono $n$.

Esempio 1: $z^3 = 8i$. Si ha $8i = 8 e^{i\pi/2}$, quindi $z_k = 2\, e^{i\left(\frac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right)} = 2\, e^{i\left(\frac\pi6 + \frac{2k\pi}3\right)}$:

• $k = 0$: $2\left(\cos\frac\pi6 + i\sin\frac\pi6\right) = \sqrt3 + i$;
• $k = 1$: angolo $\frac\pi6 + \frac{2\pi}3 = \frac{5\pi}6$: $2\left(-\frac{\sqrt3}2 + \frac i2\right) = -\sqrt3 + i$;
• $k = 2$: angolo $\frac\pi6 + \frac{4\pi}3 = \frac{3\pi}2$: $2(0 - i) = -2i$.

Controllo su una: $(-2i)^3 = -8 i^3 = -8(-i) = 8i$ ✓.

Esempio 2: $z^4 = -16$. $-16 = 16 e^{i\pi}$, quindi $z_k = 2 e^{i\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}2\right)}$: gli angoli sono $\frac\pi4, \frac{3\pi}4, \frac{5\pi}4, \frac{7\pi}4$ e le radici $\pm\sqrt2 \pm i\sqrt2$ (le quattro combinazioni di segno), vertici di un quadrato.

Esempio 3: $z^2 = 3 + 4i$. Per le radici quadrate si può evitare la trigonometria: si cerca $z = x + iy$ con $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = 3 + 4i$, cioè $x^2 - y^2 = 3$ e $xy = 2$; confrontando i moduli, $x^2 + y^2 = |3 + 4i| = 5$. Da $x^2 - y^2 = 3$ e $x^2 + y^2 = 5$ segue $x^2 = 4$ e $y^2 = 1$, e da $xy = 2 > 0$ i segni sono concordi: $z = \pm(2 + i)$. Controllo: $(2 + i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$ ✓.

Radici dell'unità. Le soluzioni di $z^n = 1$ sono $e^{2k\pi i/n}$, $k = 0, \dots, n - 1$: per $n = 2$ sono $\pm 1$, per $n = 4$ sono $\pm 1, \pm i$, per $n = 3$ sono $1$ e $\frac{-1 \pm i\sqrt3}{2}$. Le radici di un $w$ qualunque si ottengono moltiplicando una radice di $w$ per le radici dell'unità.

Teorema fondamentale dell'algebra

Con i complessi ogni equazione polinomiale ha soluzioni. Si enuncia senza dimostrazione:

Teorema fondamentale dell'algebra. Ogni polinomio di grado $n \ge 1$ a coefficienti complessi ha almeno una radice in $\mathbb{C}$. Di conseguenza si scompone come $p(z) = c(z - z_1)^{m_1}\cdots(z - z_s)^{m_s}$ con $m_1 + \dots + m_s = n$: ha esattamente $n$ radici contate con molteplicità.

Conseguenze:

• Se i coefficienti sono reali e $z_0$ è una radice, anche $\bar z_0$ lo è (perché $p(\bar z_0) = \overline{p(z_0)} = 0$, usando che il coniugato rispetta somme e prodotti e i coefficienti reali non cambiano). Le radici non reali vengono quindi a coppie coniugate con la stessa molteplicità, e un polinomio reale di grado dispari ha almeno una radice reale.
• Un polinomio reale si scompone in fattori reali di grado $1$ e di grado $2$ (questi ultimi con $\Delta < 0$). Esempio: $z^4 + 4$ ha radici $\pm1 \pm i$ e $z^4 + 4 = (z^2 + 2z + 2)(z^2 - 2z + 2)$.
• Il polinomio caratteristico di una matrice $n \times n$ ha $n$ radici in $\mathbb{C}$ (contate con molteplicità): è per questo che la somma delle molteplicità algebriche dà $n$ solo sui complessi, e che una matrice reale può non avere autovalori reali (Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →).

Equazione di secondo grado. $az^2 + bz + c = 0$ ($a, b, c$ reali) ha sempre due radici $\frac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}$, con $\sqrt\Delta = i\sqrt{|\Delta|}$ se $\Delta < 0$ (perché $(i\sqrt{|\Delta|})^2 = -|\Delta| = \Delta$). Per esempio $z^2 + 2z + 10 = 0$: $\Delta = 4 - 40 = -36$ e $z = \frac{-2 \pm 6i}{2} = -1 \pm 3i$.

Un'applicazione alla meccanica

Oscillatore smorzato. Un blocco di massa $m = 1$ kg su una molla di rigidezza $k = 10$ N/m con uno smorzatore di coefficiente $c = 2$ N s/m ha equazione del moto $\ddot x + 2\dot x + 10x = 0$. Cercando soluzioni $x(t) = e^{\lambda t}$ si ottiene $\lambda^2 + 2\lambda + 10 = 0$, le cui radici sono $\lambda = -1 \pm 3i$ (calcolate sopra). Poiché $e^{(-1 + 3i)t} = e^{-t}(\cos 3t + i\sin 3t)$, le soluzioni reali sono $x(t) = e^{-t}(A\cos 3t + B\sin 3t)$: una oscillazione di pulsazione $3$ rad/s la cui ampiezza decade come $e^{-t}$. La parte reale delle radici ($-1$) comanda lo smorzamento, la parte immaginaria ($3$) la pulsazione. Se $c$ fosse abbastanza grande da avere $\Delta \ge 0$ le radici sarebbero reali e non ci sarebbero oscillazioni.

Ampiezza e fase. Una somma $a\cos\omega t + b\sin\omega t$ è la parte reale di $(a - ib)e^{i\omega t}$ (infatti $(a - ib)(\cos\omega t + i\sin\omega t)$ ha parte reale $a\cos\omega t + b\sin\omega t$). Se $a - ib = Re^{-i\varphi}$, la somma vale $R\cos(\omega t - \varphi)$. Per $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$: $3 - 4i$ ha modulo $5$ e argomento $-\arctan\frac43$, quindi la somma è $5\cos(\omega t - \varphi)$ con $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0{,}927$ rad.

Domande d'esame

• Scrivere $z = \frac{(1 + i)^{10}}{(1 - i\sqrt3)^{3}}$ in forma algebrica: si passa in forma esponenziale, $\sqrt2^{\,10} e^{i10\pi/4}$ e $2^3 e^{-i\pi}$, e si dividono moduli e argomenti: $\frac{32 e^{i5\pi/2}}{8 e^{-i\pi}} = 4e^{i7\pi/2} = 4e^{-i\pi/2} = -4i$.
• Risolvere $z^3 = -8$, $z^4 = 1$, $z^6 = 64i$ e rappresentare le soluzioni.
• Risolvere $\bar z = z^2$ o $z^2 + |z|^2 = 2$: si pone $z = x + iy$ oppure si usa la forma esponenziale.
• Vero o falso: se $p$ è un polinomio a coefficienti reali e $1 + 2i$ è radice, lo è anche $1 - 2i$ (vero); un polinomio reale di grado $3$ può non avere radici reali (falso).
• Enunciare il teorema fondamentale dell'algebra e dire quante radici ha $z^5 - 3z^2 + 1$ (cinque, con molteplicità).

Errori comuni

• Scrivere $\theta = \arctan\frac ba$ senza guardare il quadrante: per $a < 0$ l'argomento è sbagliato di $\pi$.
• Dimenticare che $i^2 = -1$ nel prodotto, o dimenticare il segno nel termine $-3i \cdot i = +3$.
• Dire che $\operatorname{Im}(z) = ib$ invece di $b$.
• Elevare a potenza sommando i moduli (per De Moivre i moduli si elevano a $n$ e gli argomenti si moltiplicano per $n$).
• Per le radici: trovarne una sola. Sono $n$, con argomenti a passo $\frac{2\pi}{n}$.
• Scambiare $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ per numeri negativi, o scrivere $\sqrt{-9} = -3$: le soluzioni di $z^2 = -9$ sono $z = \pm 3i$.